Giải phương trình trên ta được t=1 suy ra x=0.. Phương trình tương đương với: f x =0 Dễ thấy phương trình có x=0;x=1 là nghiệm.
Trang 115 bài tập ôn tập hàm số mũ
1 Giải phương trình: 2x2−x−22+ −x x2 =3
Đặt 2
2x x 0
t= − ⇒ >t
Khi đó phương trình trở thành: 4 2 ( )( )
t
2x−x= ⇔4 x − = ⇔ = −x 2 x 1 hay x=2 Do đó phương trình có 2 nghiệm là : x= −1 ; x=2 -
2 Giải hệ phương trình:
1
4 2
2 2
x
x
y y y
+
=
HPT
x
hay
-
3 Tìm a để bất phương trình ( ) 2
.9x 1 3x 1 0
a + −a + + − >a được nghiệm đúng với mọi x
9 1
1
9 1
t a
t t
+
⇔ >
+ +
Bất phương trình đã cho sẽ được nghiệm đúng ∀ ⇔x ( )1 đúng ∀ >t 0
Xét hàm số ( ) 2
9 1
9 1
t
f t
t t
+
= + + Ta có : ( )
2 2 2
9 2
9 1
t t
t t
Do đó xét bảng biến thiên ta được ( )1 đúng ∀ > ⇔ ≥t 0 a max f t( )⇔ ≥a 1
-
4 Giải phương trình: 125x+50x=23x+1
PT ⇔ + = ⇔ + − =
Đặt 5 0
2
x
t= >
PT thành
3 2
2 0
t + − =t Giải phương trình trên ta được t=1 suy ra x=0 -
5 Tìm m để bất phương trình m.92x2−x−(2m+1)62x2−x+m.42x2−x≤0 nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn
điều kiện 1
2
x ≥
BPT
( )
( )
Đặt
2
2
3
2
x x
t
−
= do điều kiện 1
2
x ≥ ( )
2
2
x x
−
⇒ = − luôn cùng dấu với 4x−1
t
⇒ lấy các giá trị trong [1;+∞) ( ) 2 2 ( )
1 ⇔mt −(2m+1)t+ ≤ ⇔m 0 m t( − + ≤2t 1) 1 2
( )1 đúng 1 ( )
2 2
x
∀ ≥ ⇔ đúng ∀ ∈ +∞t [1; )
( )2
1
1
t
−
-
6 Giải phương trình: 3x+ =5x 6x+2
Đặt ( ) 3x 5x 6 2
f x = + − x− Phương trình tương đương với: f x( )=0
Dễ thấy phương trình có x=0;x=1 là nghiệm
Trang 2Ta có f '( )x =3x.ln 3+5x.ln 5−6 và ( ) 2 2
" 3x.ln 3 5 lx.n 5 0
f x = + > với ∀ ∈x ¡
Suy ra f'( )x là hàm liên tục, đồng biến và nhận cả giá trị âm, cả giá trị dương trên ¡ nên phương trình
( )
f x = có nghiệm duy nhất x o
Từ bảng biến thiên của hàm f x( )⇒ f x( )=0 có không quá hai nghiệm
Vậy phương trình có đúng hai nghiệm : x=0;x=1
Chú ý : Có thể chứng minh phương trình f '( )x =0có nghiệm như sau :
Ta có : f' 0( )=ln 3 ln 5 5+ − <0và f' 1( )=3ln 3 5ln 5 6+ − >0
Suy ra phương trình f '( )x =0có nghiệm duy nhất x o∈( )0;1
-
7 Giải phương trình:
1
5 8 500
x
−
=
( ) ( )
1
1
3
3
3 3
5
1
log 2
x
x
x
x
x x
PT
x
−
−
−
−
− =
-
8 Giải phương trình: 4x− x2−5−12.2x− −1 x2−5 + =8 0
Đặt 2
2 5
2
3
4
x x
x
t t
-
9 Giải phương trình: ( 2 3) ( 2 3) 4
Đặt ( 2 3)
x
− =t (t>0) phương trình trở thành : 1 4 2 3 2
2
2 3
t
x
+ = ⇔ = + ⇒ = −
-
10 Giải phương trình:(7 5 2) ( 2 5 3 2 2)( ) (3 1 2) 1 2 0
2
1 2 ; 0
x
1
1 2
x t
=
-
11 Giải phương trình:( 3 2) ( 3 2) ( )5
1
Trang 3+Nếu x≥0 : u x>0; v x≥ ⇒1 VT >1
+Nếu x<0 : u x≥1; v x > ⇒0 VT >1
Vậy PT vô nghiệm
-
12 Giải phương trình: 2 ( ) 2
3.16x 3 10 4x 3
Đặt 2
4x− =t (t>0) Pt trở thành :
2
4 2
2
1 1
2
x
x
x t
x
−
−
-
13 Tìm m để phương trình 2m x+2−x− =5 0 có nghiệm duy nhất
Đặt t=2 ,x t>o Pt trở thành : 1 2 ( )
t
+ Nếu 0 : 1
5
m= t= (t.m)
+ Nếu m≠0 :
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình ( )* có duy nhất 1 nghiệm dương Xét 3 TH :
1 2
0 và 0
m m
t t
-
14 Tìm a để phương trình ( 5 1) ( 5 1) 2
x
a
+ + − = có nghiệm duy nhất
Đặt t= 5 1
2
x
(t>0) phương trình trở thành :
2
a
t
+ = ⇔ − + =
Đáp số : 0 1
4
a≤ hay a=
-
15 Tìm m để phương trình 16m x+2.81x=5.36x có nghiệm duy nhất
Đặt 9 ; 0
4
x
t= t>
Phương trình trở thành 2 ( )
*
2t − + =5t m 0
* ⇔ = −m 2t +5t
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình ( )* có đúng một nghiệm dương Khảo sát hàm số 2
2 5
y= − t + t trên (0;+∞) ta được 25; 0
8
m= m≤