BÀI TẬP HÀM SỐ MŨ FULL

Rút gọn biểu thức sau: a.. Rút gọn biểu thức sau: a.. Bài tập 5: Đơn giản biểu thức sau giả thiết tất cả đều có nghĩa a... » Trong một vài trường hợp khó, ta có thể dung bất đẳng thứ

BÀI TẬP RÚT GỌN HÀM LŨY THỪA Nhóm công thức cơ bản hàm số mũ

Nhóm 1: Công thức cơ bản

n

m

a



Nhóm 2: Công thức cùng cơ số

m

n

a

a

Nhóm 3: Công thức khác cơ số

m m

m m

m



Bài tập 1: Đơn giản biểu thức sau ( giả thiết tất cả đều có nghĩa)

a    

1

1

3

: 2







b

2

B

Bài tập 2: Đơn giản biểu thức sau ( giả thiết tất cả đều có nghĩa)

1

ax 4



Bài tập 3: Cho a, b là các số dương Rút gọn biểu thức sau:

a

2

b







Bài tập 4: Cho a, b là các số dương Rút gọn biểu thức sau:

a 3 a3b a 23 b23 3 ab

  b

Bài tập 5: Đơn giản biểu thức sau ( giả thiết tất cả đều có nghĩa)

a

3

       

b

2

2 2

4 4 4 2

a B

a a

a







Bài tập 6: Tính giá trị các biểu thức sau:

a  

1

2



với x  3,92

b

5 3

3

5 2

10 5

2 3

y

y





với y 1, 2

Bài tập 7: Rút gọn biểu thức sau:

a

2

3 3

3

8

1 2

a





b

6

B

Bài tập 8: Rút gọn biểu thức sau:

a

1

A=3 5 : 2    : 16 : 5 2 3 

1 2

4

B



Bài tập 9: Rút gọn biểu thức sau:

a

1

:



b



Bài tập 10: a Rút gọn biểu thức:  

1

2

ax

C

x a



b Chứng minh: 2 3 4 2 2 3 4 2 3 2 3 23

Bài tập 11:

a Không dùng máy tính và bảng số hãy tính 3 847 3 847

8 8

1

Bài tập 12: Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau:

a 5 3

2 2 2

A  b B a a a a a: 1611 a0

c C4 x2 3 x x0 d D 5 b a3 ab 0

a b

Bài tập 13: Đơn giản biểu thức

a

2 1

a

a



 

 

  b a.4a a2: 4  c  a 3 3 d a 2..a1,3:3a3 2

Bài tập 14: Đơn giản biểu thức

a

2





 b  2 3   2 3 3 3 3

1



c



d a b 2 41ab



SO SÁNH CÁC SỐ MŨ

Kiến thức cần nhớ:

1 Nếu a1:a m a n  m n 2 Nếu 0a1:a ma n  m n

3 Nếu 0a b a : m b m m 4 Nếu 0 0a b a : m b m m0

» Nếu so sánh hai căn số không cùng chỉ số, ta đưa hai số về cùng chỉ số rồi so sánh

» Trong một vài trường hợp khó, ta có thể dung bất đẳng thức Cauchy (cô si)

Bài tập 1: So sánh các cặp số sau:

a 330  5 20 b 45  3 7 c 17  328

d 413 5 23 e



    f 4 5  4 7

Bài tập 2: So sánh các cặp số sau:

a 21,7  20,8 b





d

5

2

5

1 7



 



 

 

e

2,5

2

2

  

  f 0,765  0,713

Bài tập 3: Chứng minh: 202303 2

Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau:

a y 3 x x

y  c 2x 2x

y  

d y 2x 1 23 x

5 x 5c x

x x

y e 

VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ

Khảo sát hàm số y a x

1 Tập xác định hàm số D 



x y ' 0 nÕu a > 1 hµm sè t¨ng

y ' a ln a

y ' 0 nÕu 0 < a < 1 hµm sè gi¶m

3 Giới hạn:

  







0 nÕu a >1 lim

nÕu 0 < a <1

x

 









nÕu a >1 lim

0 nÕu 0 < a <1

x

 y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

4 Bảng biến thiên

5 Giá trị đặc biệt: Cho x 0 y1; cho x 1 y a

6 Đồ thị

y a tăng khi a 1, giảm khi 0a1 Hàm số x

y a luôn dương với mọi x

Bài tập 1: Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một đồ thị:

a y x 4  y x 14 b y x5 y x 5

Bài tập 2: Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu : 2 2

2

y







Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?

Bài tập 3: Các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?

a

3

x

y  

x

y e

 

 

x



x x



BÀI TẬP LOGARIT

y

0

'

y





0

y

x



  '

y





Định nghĩa: Hàm số yloga x xác định khi 0

x a









log  §N  b

a x b x a (b được gọi là logarit cơ số a của x)

Chú ý: Khi cơ số a e 2, 7 thì log a xlnx (đọc là log nê be x ) logarit tự nhiên.

Khi cơ số a 10 thì log a xlgx (đọc là log x ) logarit thập phân.

Nhóm công thức cơ bản hàm số logarit

Nhóm 1: Công thức cơ bản



Nhóm 2: Công thức tích thành tổng (Qui tắc tính)

x

y

c«ng thøc

Nhóm 3: Công thức đổi cơ số

logc logloga log loga c log ;a loga log1

x

Nhóm 4: Công thức liên hệ giữa hàm số mũ và logarit

loga x x

Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau :

2

1 log

5

x y

x





2

5

1 log log

3

x y

x



1

x y

x







2

1

1

x

x



2

1

6

 

f

2

2 log log

5

x y

x



  g log 1

x y

x







Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau :

a 9 125 7

1 1

log 4 log 8 log 2

4 2



4

1 log 3 3log 5

1 log 5 2



1log 9 log 6

log 4 2

72 49  5 



Bài tập 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :

a A log 15 log 18 log 109  9  9 b 1 1 1 3

1

2

6

1

2

4

log log 4.log 3

D 

Bài tập 4: Tính giá trị của các biểu thức sau :

a log 2sin2 log os2

1

3

x

Bài tập 5: Tính giá trị của các biểu thức sau :

b Chứng minh:

1 ax 

log

1 log

a

bx

x







2

1

k k



Bài tập 6: Tính giá trị của các biểu thức sau :

a Aloga a3 a a5 b Bloga a a3 2 5 a a c

log

a

a a

lg tan1 lg tan 2 lg tan 3 lg tan 89

e B log 2.log 3.log 4 log 14.log 153 4 5 15 16

Bài tập 7: Chứng minh rằng

a Nếu a2b2 c a2; 0,b0,c0,c b 1 thì logc b alogc b a2logc b a.logc b a

b Nếu 0<N1thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :

a b c





c Nếu log ,log ,logx a y b z c tạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :

2log log

b



d Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn : a2b2 7ab Chứng minh : ln ln ln



Bài tập 8: Tính theo a b c x, , , các logarit được chỉ ra:

a .A log 166 Biết : log 27 x12  b B log 30125 Biết : log 3a;log 2b

c C log 1353 Biết: log 52 a;log 32 b

d D log 356 Biết : log 527 a;log 78 b;log 32 c e Tính : log 32 Biết : 49 log 14 a2 

Bài tập 9: Rút gọn biểu thức sau:

a Aloga blogb a2 log  a b logab blogb a1

1

2

c C loga plogp a2 log a p logap p loga p

Bài tập 10: Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính loga x , biết loga b3;loga c2:

a x a b c 3 2 b x a4 33b

c



Bài tập 11: Chứng minh

a log 3  log 2 1log log 

2

a b   a b với: a3b0;a29b2 10ab

b Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có:

1 log2a b log2a c

c  b log log loga b b c c a 1

2 Trong ba số: log2a ;log2b ;log2c

b c a luôn có ít nhất một số lớn hơn 1

BÀI TẬP VỀ SO SÁNH

Để so sánh hai số logarit, ta có 2 phương pháp cơ bản sau:

Phương pháp 1: Trường hợp 2 số có cùng cơ số, ta áp dụng qui tắc sau:

1 Nếu a1: loga xloga y xy

2 Nếu 0a1: loga xloga y x y

Phương pháp 2: Trường hợp 2 số khác cơ số, ta so sánh với số trung gian, suy ra kết luận.

 Ví dụ 1: so sánh hai số : 3 4

1

3

log 4 log 3 1;log log 4 1 log 4 log

 Ví dụ 2 So sánh : log 1,1 6 log 0,99 6

Bài tập 1: Không dùng bảng số và máy tính Hãy so sánh:

a log0,4 2  log 0,340,2 b 5 3

5

1 log

d log 2 log 33  2 e log 3 log 112  3 f 2 1

2

2log 5 log 9





g 2 4

5 log 3 log

11

4   18 h 3 1

9

8 log 2 log

9



1 log 2 log 5

1

18 6



 



 

 

Bài tập 2: Không dùng bảng số và máy tính Hãy so sánh:

a log 10 log 302  5 b log 5 log 43  7 c 3 1

2lne 8 ln

e

 

Bài tập 3: Hãy chứng minh:

a 1 3

2

1

2

d log 5 2 log 3 2



Bài tập 4: Hãy so sánh:

a 3 3

log 9 log 17 c 1 1

log e log  d log2 5 log2 3

ĐẠO HÀM HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Một số công thức cơ bản

 a x 'a xlna  a u 'a uln 'a u

 e x 'e x  e u 'e u u '

lnx' 1 lnu' 1 'u ln f x  ' f x'   

log ' 1 log ' '

u

Bài tập 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a yx2 2x2e x b sinx-cosx 2x

c

y











x

Bài tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a y x 2ln x21 b  2 

2

ln

4 log

4

x y

x





2 3

9 log

5

x y

x



2

x y

x

VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số yloga x

1 Tập xác định D 0;

2 Đạo hàm    



y ' 0 nÕu a>1 1

y '

x ln a y ' 0 nÕu 0<a<1

3 Giới hạn



 







0

nÕu a>1 lim log

nÕu 0<a<1

a

 





 



nÕu a>1 lim log

nÕu 0<a<1

a

4 Bảng biến thiên

5 Điểm đặc biệt Cho  x a y1, cho  x 1 y0

x

y

'

y

 





 

'

6 Vẽ đồ thị

Bài tập 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a. ylog2 x b. ylog3x c. 1

2

log

Bài tập 2: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a. 2

2

log

1

x y

x





d. ylog2x1