HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍTBÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN I... Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy thừa dạ
Trang 1HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN
I LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
1
1
3
: 2
y x y
x x y xy y
( đáp số : D=1 )
b
2
B
Giải
a/
1 1
2
1
2
2
x x y xy y
1
x y x y
b/
2
9
Bài 2 Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a b a b
a b a b
1
ax 4
a x a x
B xa
a x a x
Giải
a
4
a b b a
A
2 2
1 -1
2
ax
x a
B xa
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ Bài 1 Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức sau
2
1 1
2 2
b a
b
a a b b
a a b b
Trang 2
2 2
2 2
2
2
a a b b
a a
a a b b a a b b
Bài 2 Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức sau :
a 3 a3b a 23 b23 3 ab
1 1
3 3 : 2 3 a 3 b
a b
b a
Giải
a/ 3a3b a 23 b23 3ab3 a3b 3a 2 3a b3 3b 2 3 a 3 3b 3 a b
b/
: 2
2
a b a b a b a b
a b
b a
Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a
1 1
3 2
4 4
b a a b
b
2 2 2
4 4 4 2
a B
a a
a
Giải
a/
3
b a a b
2
2
4
a a
B
a a
Bài 4 Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )
1
2
b
5 3
3
5 2
10 5
2 3
y
y
Với y = 1,2
Giải
Trang 3HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
1
Với x= 3,92 x2 3,92 4 x2 0,08 2 4 x2 0,16
5 3
1
3 3
1 1 5
2
1 1 5
5 2
y y
Với y=1,2 suy ra 2
1, 44
y
Bài 5 Rút gọn biểu thức sau :
a
2
3 3
3
8
1 2
a
a ab b
ĐS: A=0
b
6
B
a b a a b b
Giải
1
3
3
8 8
a a b
a
0 8
a b
a a b a b a b a b b
b/
2
a b a b
B
a b a a b b b a b a b a
2
2 2
3 3
2
b a b a a b
b a
Bài 6 Rút gọn biểu thức sau
a
1
Trang 4b 4 0,25 1 2 3
4
B
Giải
a/
1
2
b/
3
B
Bài 7 Rút gọn biểu thức sau :
a
1 1
2 2
4 4
:
a b a b
a a b a b
b
1 1
2 2
a b a b
a b
Giải
a/
1
a
a a b
b/
Bài 8 a Rút gọn các biểu thức sau :
1
2
1 1
2 2
ax
C
x a
x a
(đáp số C=1)
b Chứng minh : a23 a b4 2 b23b a4 2 3 a2 3b23
Giải
Trang 5HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
2
1 1 1
2 2 2
ax
x a x x a a
x a
2
1 1
2 2
2
1 1
2 2
1
x a
x a
b Chứng minh : a23 a b4 2 b23 b a4 2 3 a2 3b23
a2 3 a b4 2 b2 3 a b2 4 2 2a b2 2 a2 3a b2 4 b2 3 a b4 2 a2 33 a b4 2 33 a b2 4 b2
Bài 9.
a Không dùng bảng số và máy tính hãy tính : 3 847 3 847
( đáp số : =3 )
b Chứng minh rằng : 8 8 4 4
8 8
1
Giải
3125
27
b/ 1 8382 83 8 2 4342 3 2 ; VP 43 42 4342 3 2
Bài 10 Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
5 3
a A b B a a a a a: 1611 a0
c C4 x2 3 x x0 d D 5 b a3 ab 0
a b
Giải
3 1 3
a A
Trang 6b/
1 1
11 16
a
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ Bài 1 Đơn giản các biểu thức :
a
2 1
2 1
a
a
a d 2 1,3 3 3 2
a a a
Giải
2 1
2 1
a
1 1 2
2 4
a
c/ 3 3 3 3 3
a a a d/ 2 1,3 3 3 2 2. 1,3 1,3
2
a
Bài 2 Đơn giản các biểu thức :
a
2 2 2 3
2
a b
a b
4 3 3
1
a a
(đáp số : a 3 1)
c
2 5 3 7 2 7
a b
a a b b
(đáp số : a 35 b37 ) d
1 2
4
(đáp số : a b
Giải
a/
2
a b
a b
3
1
a
c/
a b
a b
d/ a b 2 41ab a2 b2 2a b 4a b a b 2 a b
DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số , sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha
Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy thừa dạng bất đẳng thức
Trang 7HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Bài 1 Hãy so sánh các cặp số sau :
a 330 520 b 45 37 c 17 328
d 413 5 23 e
Giải
a/ 330 5 20 Ta có
3
15 3 15 3 5
b/ 45 3 7 Ta có :
3 12
4 12
c/ 17 3 28 Ta có :
6 3 6
3
6 2
d/ 413 523 Ta có :
20 5 20 4
5 4
20 4
e/
Vì
f/ 4 5 4 ;7 7 5 4 5 4 7
Bài 2 Hãy so sánh các cặp số sau :
a 1,7 0,8
1,7 0,8
d
5
2
5
1
7
e
2,5
12 1 2
2
Giải a/ 21,7 2 ;0,8 vi:1,7 0,8 21,7 20,8 b/
2
do
c/
2
do
d/
5 0
7
do
;
Trang 8e/ 12 1 12 6, 25 12 2,52 6,25
f/
5 5 4 1
6 36 36 3
0 0,7 1
do
Bài 3 Chứng minh :202303 2
Giải
Ta có :
20 20
20 30 30
30
Bài 4 Tìm GTLN của các hàm số sau
a y 3 x x
b sin2
y
Giải
a/ y 3 x x
Do vậy : y 3 x x 314 43 GTLNy 43
b/ sin2
Bài 5 Tìm GTNN của các hàm số sau “
a y 2x 2x b y 2x 1 23 x
x x
y e
Giải
GTNNy
b/
1 3
1 3
c/
sin os sin os
x c x
1
y e e e e x
VẼ ĐỒ THỊ Bài 1 Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục
a y x 4 y x 14 b 5 5
y x y x
( Học sinh tự vẽ đồ thị )
Trang 9HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Bài 2 Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu :
2
y
Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?
Giải
Giả sử :
1 2
1 2
x x
1 2
y x y x
Vậy hàm số luôn đồng biến trên R
Bài 3 Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ?
a
3
x
y
x y
e
x
y
x x
y
Giải
a/
3
x
y
Do 1
x y
Là một hàm số đồng biến b/ 2
x
y
e
Do 0 2 1 2
x y
Là một hàm số nghịch biến
x
y
x
d/
3
3
x
x x
x
y
là một hàm số đồng biến ( 3 2 3 )
BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT
I SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau :
2
1 log
5
x y
x
2
5
1
3
x y
x
1
x y
x
2 0,3 3
2
5
x y
x
2
1
1
x
x
2
1
6
x x
x y
x
Giải
2
1 log
5
x y
x
Điều kiện :
1 2
1
0
1 1
x
x
x
x x
Vậy D=1;
Trang 10b/
2
5
1
3
x y
x
Điều kiện :
2 3
2
1
3
x
x
x
Phần còn lại học sinh tự giải
Bài 2 Tính giá trị của các biểu thức sau :
1 1log 4
log 8 log 2
4 2
4
1log 3 3log 5
1 log 5 2
1log 9 log 6
log 4 2
Giải
log 4 log 8 log 2 4 log 4 2log 2 2log 2
1
2 3log 2
1 log 4 3 log 4 3
4
4
1log 3 3log 5
2 1 log 5 log 3 6log 5
1log 9 log 6
log 4 log 9 2log 6 2log 4
36 16
II SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
2
6
1
2
4
log log 4.log 3
D
Giải
6
Trang 11HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
4
Bài 2 Hãy tính
A c
1
3
x
Giải
1
A c c
c/ C=log tan 4 log cot 4 log tan 4.cot 410 10 log1 0
Bài 3 Hãy tính :
b Chứng minh :
log
1 log
a
bx
x
2
1
k k
Giải
a/
A
log 2011!x
Nếu x=2011! Thì A=log2011!2011! 1
b/ Chứng minh : ax
log
1 log
a
bx
x
log
x
2
1
k k
2log
k
a
k k
x
Bài 4 Tính :
a Aloga a3 a a5 b Bloga a a3 2 5a a c
5 3 3 2
log
a
a a a
a a
d log tan10log tan 20log tan 30 log tan 89 0
Trang 12a/
1 1 3
2 5 10
A a a a a
b/
1
1 1
2
3
c/
3 2 1
2 4
a a
d/ log tan10log tan 20log tan 30 log tan 89 0 log tan1 tan 89 tan 2 tan 87 tan 45 0 0 0 0 0 0
tan 89 cot1 tan1 tan 89 tan1 cot1 1; Tương tự suy ra kết quả
1 log 2.log 3.log 4 log 14.log 15 log 15.log 14 log 4.log 3.log 2 log 2
4
Bài 5 Chứng minh rằng :
a.Nếu : a2b2 c a2; 0,b0,c0,c b 1, thì :
logc b alogc b a2logc b a.logc b a
b Nếu 0<N1thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
a b c
c Nếu : log ,log ,logx a y b z ctạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
2log log
b
x z
d Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn : a2b2 7ab Chứng minh : ln ln ln
a b a b
Giải
a/ Từ giả thiết : a2 c2 b2 c b c b 2 log ac b logac b
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b2 ac
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
( đpcm ) c/ Nếu : log ,log ,logx a y b z ctạo thành cấp số cộng thì logx alogz c2logy b
2log log
log
b
x z y
2 2
3
a b
a b ab a b ab ab
Lấy lê be 2 vế ta có :
Trang 13HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
a b
III SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ Bài 1 Tính
a.A log 166 Biết : log 27 x12
b B log 30125 Biết : log 3a;log 2b c C log 1353 Biết: log 52 a;log 32 b
d D log 356 Biết : log 527 a;log 78 b;log 32 c e Tính : log 3249 Biết : log 14 a2
Giải
(*)
Do đó :
4
6
log 16
Thay từ (*) vào ta có : A=
2
log 3
C
6
log 3.log 5 log 7
log 35
b a
b a b D
e/ Ta có : log 142 a 1 log 72 a log 72 a 1
Vậy :
5 2
log 32
Bài 2 Rút gọn các biểu thức
a Aloga blogb a2 log a b logab blogb a1
b 2 log log 2 1 2 4
1
2
c C loga plogp a2 log a p logap p loga p
Giải
2
log
a
a
b
b
a
b
b
a
Trang 14c/
2 2
Bài 3 Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính loga x , biết loga b3;loga c2:
a x a b 3 2 c b x a b4 33
c
2 4 2
4 3
a bc x
ab c
Giải
2
4 3 3
a b
c
c/ Ta có :
2 4 2 4 3
a bc
ab c
Bài 4 Chứng minh
2
a b a b ab
b Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
log2a b log2a c
Trong ba số : log2a ;log2b ;log2c
b c a luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Giải
a/ Từ giả thiết : a3b0;a29b2 10ab a2 6ab9b2 4ab a 3b2 4ab
Ta lấy log 2 vế : 2log 3 2log 2 log log log 3 log 2 1log log
2
a b a b a b a b
b/ Chứng minh : log2a b log2a c
c b
* Thật vậy :
* log log loga b b c c a 1 log loga b b aloga a1
* Từ 2 kết quả trên ta có :
2
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
IV BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
Trang 15HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1)
và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn một số b nào đó Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b Từ đó suy ra kết quả
Ví dụ 1: so sánh hai số : 3 4
1
3
Ta có :
Ví dụ 2 So sánh : 3log 1,1 6 7log 0,99 6 Ta có :
log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99
Bài 1 Không dùng bảng số và máy tính Hãy so sánh :
5
1 log log 3 2
2
2log 5 log 9
5 log 3 log 11
h 3 1
9
8
log 2 log
9
1 log 2 log 5 2
3
1
18 6
Giải
4 5 Ta có :
5
1 log
log 3 2
2 3 Ta có :
5
5
log 3 log 1 0
1
2
1 log 3 log
2
log 3 log 2
1 log 3 2
log 11 log 3 log 11 log 9 2
f/ 2 1
2
2log 5 log 9
25 2log 5 log 9 log
9
2
2
g/ log 3 log2 4 5
11
9 11 5
5 1 5 log 9 log log log 3 log 2log 3 log
5 11
5 5
5 log 3 log 11
Trang 16h/ 3 1
9
log 2 log
9
Ta có :
3 3
3 9 9
log 2 log 2log 2 log log 2 log log
8
1
log 2 log 5
1
18 6
1
2 log 2 log 5 log 10 log
3
Bài 2 Hãy so sánh :
e
Giải
log 10 log 8 3
log 10 log 30 log 30 log 36 3
log 5 log 3 1
log 5 log 4 log 4 log 7 1
e
Ta có :
3
3
1
1
e
e e
e
Bài 3 Hãy chứng minh :
2
1
2
b log 7 5 log 4 5
d log 5 2 log 3 2
Giải
2
1
2
2
b/ 4log 7 5 7log 4 5 Ta có : 5
log 7 log 4 log 7.log 4 log 4
4 7 7 7 Vậy 2 số này bằng nhau
3
1
log 7
d/ 3log 5 2 5log 3 2 Ta có : 2
2 log 3 log 5 log 5.log 3 2
Trang 17HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
1 log 3 log 10 log 3 log 3 10 log 900 2
Ta có : 5 7 5 7 log5 7 log 5 7 log 5 log 7
Bài 4 Hãy so sánh :
Giải
a/Ta có :
3 1
1
log 9 log 17 3
9 17
log e log Ta có : 1 1
1
e
HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I ĐẠO HÀM : Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau :
e e y
e e
d 2
y x e y ln x
x
Giải
a/ yx2 2x2e x y'2x 2e xx2 2x2e x x e2 x
b/ sinx-cosx 2x ' cosx+sinx 2x 2 sinx-cosx 2x 3sin osx 2x
4 '
e e e e e e e e
e e
d/ 2
2
2
1
x
x
lnx 1 ln x 1 2ln x
Trang 18Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau :
a y x 2ln x21 b 2
2
ln
y x
4 log
4
x
y
x
2 3
9 log
5
x y
x
2
x y
x
Giải
2
1 ln 2
x
x x
3
x x x
d/
2
x x x
ln10
II GIỚI HẠN Bài 1 Tìm các giới hạn sau :
0
lim
x
x
0
lim sin 2
x
x x
0
lim
x
x x
d 5 3 3
0
lim
2
x
x
e e
x
e lim0 1
1 1
x x
e x
0
ln 1 lim
2
x
x x
Giải
a/
3
sin 2
2
x x
x
x
4
5
3
x x
e
e
1 1
x x x
Bài 2 Tìm các giới hạn sau
0
lim
tan
x
x
x
0
lim 5
x
e e x
c 3 0
1 lim
x x
e x
Trang 19HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
d
1
x
x x
x
c x x
Giải
2
tan tan
x x
x
x
5
2
c/
3
1
1
x
e
xe x x e
x
e/ lim0sin 3 lim 30 sin 3 3
3
2 2 2
5 2sin
2
4 5
25 2
x
c x
Bài 3 Tìm các giới hạn sau :
a lim0 osx 2os3
sin
x
c c x
x
b
2
1
os
x
d
4
2 2cos lim
sin
4
x
x x
Giải
2
2sin 2 sin
b/
2
1
os
Đặt :
2
c
2
2sin
t
t t
c
2
tan
2
t x
t
t
c/ lim 2 sin 3
x
Đặt :
Trang 20d/
4
2 2cos
lim
sin
4
x
x x
2 2cos
4
sin
4
c x
t x
t
Vậy :
4
2 2cos
2 sin
4
t o x
x