Luyện thi đại học chuyên đề khảo sát hàm số

Gọi k là hệ số góc của PTTT tại M.. Vậy PTTT tại M là: ' f x =a Nghiệm của phương trình này chính là hoành ñộ tiếp ñiểm... = − Nghiệm của phương trình này chính là hoành ñộ tiếp ñiểm..

+ Nếu a<0 thì y,=0 phải có hai nghiệm thỏa mãn :

y = phải có hai nghiệm thỏa mãn :

Dạng 3: Cho hàm số y= f x( ) có chứa tham số m ðịnh m ñể hàm số ñồng biến trên (α β, ) m∀

Trang 2

( )( )

( )( )

2 0 0 0

2

a f

a f S

a f

a f S

α β β

α β α

( )( )

' '

' '

0

2 0

a f

a f S

α β β

α β α

(α β, ) m∀

trên trên khoảng có ñộ dài bằng d

Phương pháp :

TXð : D = R

Ta có: y,=ax2+ +bx c ðồ thị hàm số có cực trị khi phương trình y,=0 có 2 nghiệm phân biệt và y ,

ñổi dấu khi ñi qua 2 nghiệm ñó 0

luôn luôn có cực trị

00

tại x 0

trị M x y( 0, 0)

Phương pháp :

TXð: D = R

Ta có: , '( ) '( )

0

y = f x ⇒ f x

Gọi k là hệ số góc của PTTT tại M Suy ra k = '( )

0

f x Vậy PTTT tại M là: '( )( )

f x =a (Nghiệm của phương trình này chính là hoành ñộ tiếp ñiểm)

Tính y tương ứng với mỗi 0 x tìm ñược 0

Suy ra tiếp tuyến cần tìm là : y=a x( −x0)+y0

y = f x

Dạng 13: Cho hàm số y= f x( ) có ñồ thị ( )C và M x y( 0, 0) ( )∈ C Viết PTTT tại ñiểm M x y( 0, 0)

Dạng 14: Cho hàm số y= f x( ) có ñồ thị ( )C Viết PTTT ( )d của ( )C , biết tiếp tuyến

= − (Nghiệm của phương trình này chính là hoành ñộ tiếp ñiểm)

Tính y tương ứng với mỗi 0 x tìm ñược 0

Suy ra tiếp tuyến cần tìm là : ( 0) 0

- ðường phân giác của góc phần tư thứ nhất là y=x

- ðường phân giác của góc phần tư thứ hai là y= −x

Dạng 15: Cho hàm số y= f x( ) có ñồ thị ( )C Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên [ ]a b,

trên ñi qua với mọi m

Giải ( )a hoặc ( )b tìm x rồi suy ra y tương ứng

Dạng 17: Giả sử ( )C là ñồ thị của hàm số 1 y= f x( ) Và ( )C2 là ñồ thị của hàm số y=g x( ) Biện

luận số giao ñiểm của hai ñồ thị ( )C và 1 ( )C2

+ Khi ñó số nghiệm phân biệt của ( )3 là số tiếp tuyến kẽ từ A tới ñồ thị ( )C

+ Do ñó từ A kẽ ñược n tiếp tuyến tới ñồ thị ( )C ⇔ có n nghiệm phân biệt ⇒ ñiểm A (nếu có)

Phương pháp :

Ta có: , 2

y =ax + +bx c

Dạng 22: Tìm ñiểm A, từ A kẽ ñược n tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số y= f x( ), ( )C

+ ðịnh ñiều kiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có các ñiểm cực trị M1(x y1, 1) và M2(x y2, 2) x , 1 x là 2

nghiệm của phương trình '

2 Nếu ñường thẳng ( )d là trục Ox thì yêu cầu bài toán ⇔ y Cð.y CT <0 ⇔ f x( ) ( )1 f x2 <0

3 Nếu ñường thẳng ( )d là ñường thẳng x=mthì yêu cầu bài toán '( )

+ ðịnh ñiều kiện ñể ñồ thị hàm số bậc 3 có các ñiểm cực trị M1(x y và 1, 1) M2(x y2, 2) x , 1 x là 2

nghiệm của phương trình y'=0 ⇒ > 0∆

1. Nếu ñường thẳng ( )d là trục Oy thì yêu cầu bài toán

a f S

x x

x x

a f S

2 Nếu ñường thẳng ( )d là trục Ox thì yêu cầu bài toán ⇔ y Cð.y CT >0 ⇔ f x( ) ( )1 f x2 >0

m x x

a f m S m

+ Tính khoảng cách từ M ñến ñường tiệm cận thứ nhất là d 1

+ Tính khoảng cách từ M ñến ñường tiệm cận thứ nhất là d 2

+ Vậy tổng khoảng cách từ M ñến hai ñường tiệm cận là d= +d1 d2

- TH2: x0 ≤L bằng phương pháp ñạo hàm suy ra ñược kết quả

nhất

không tìm ñược hai ñiểm cực trị

Trang 12

Phương pháp :

+ Tập hợp các cách ñều hai trục tọa ñộ là trong Oxy là những ñường thẳng y=x và y= −x Do ñó: + Tọa ñộ của ñiểm thuộc ( )C :y= f x( ) ñồng thời cách ñều hai trục tọa ñộ là nghiệm của hệ phương trình

( ) ( )

+ Lập phương trình ñường thẳng ( )d ñi qua hai ñiểm cực trị

+ Gọi I là trung ñiểm ñoạn nối hai ñiểm cực trị

+ Yêu cầu bài toán ( )

Dạng 29: Tìm trên ñồ thị hàm số ( )C :y= f x( ) tất cả các ñiểm cách ñều hai trục tọa ñộ

ñườ ng thẳng y=mx+n (m≠0)

Dạng 31: Tìm 2 ñiểm thuộc ñồ thị ( )C :y= f x( ) ñối xứng nhau qua ñiểm I x y ( 0, 0)

Dạng 1: Tính ñơn ñiệu của hàm số

Dạng 2: Cực trị của hàm số

2 lần khoảng cách từ cực tiểu ñến gốc tọa ñộ O

3 2 m

y= −x x −mx+ C

tạo với ñường thẳng x+4y− =5 0 một góc 0

Trang 16

b Tìm m ñể ñường thẳng ( )d :y=1 cắt ñồ thị hàm số ( )C m tại ba ñiểm phân biệt A( )0,1 ; ; B C

sao cho các tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ( )C m tại B và C vuông góc với nhau

3 4

y= −x x + C

b Gọi ( )d là ñường thẳng ñi qua A( )2, 0 có hệ số góc k Tìm k ñể ( )d cắt ( )C tại ba ñiểm phân

biệt ; ; A B C sao cho các tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ( )C m tại B và C vuông góc với nhau

b Cho ñiểm I(−1, 0) Xác ñịnh giá trị m ñể ñường thẳng ( )d :y=mx+m cắt ñồ thị ( )C tại 3

ñiểm phân biệt , , I A B sao cho AB<2 2

b Tìm m ñể ñường thẳng ( )d : 2x+2y− =1 0 cắt ( )C m tại hai ñiểm phân biệt , A B sao cho tam

giác OAB có diện tích bằng 3

8

1

ứng nằm về 2 phía của trục hoành

vuông góc với ñường thẳng ( )d :x+2y− =3 0

1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ( )C

1

Bài 38: Cho hàm số y= −x3 3mx2+9x−7 ( )C m

3

y= −x mx −mx ( )C m

b Tìm m ñể ( )C m cắt ñường thẳng ( )d :y= +x 2 tại ba ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành cấp

số nhân

Bài 40: Cho hàm số 4 ( ) 2

y=x − m+ x + m+ ( )C m

y=x − m+ x + m ( )C m

2

y=x − m+ x + m+ ( )C m

1

b Tìm hai ñiểm , A B thuộc ñồ thị ( )C sao cho tiếp tuyến của ( )C tại A và B song song với

nhau và ñộ dài ñoạn AB=4 2

3

y= mx + m− x + − m x+ ( )C m

tiếp tuyến tại ñó vuông góc với ñường thẳng ( )d :x+2y− =3 0

Trang 20

b Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ( )C , biết tiếp tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung

tại hai ñiểm phân biệt , A B sao cho tam giác OAB cân tại gốc tọa ñộ O

1

( )C tại M cắt hai tiệm cận tại , A B sao cho tam giác IAB ñạt giá trị nhỏ nhất

1

b Viết phương trình tiếp tuyến tại ñiểm M thuộc ( )C , biết rằng tiếp tuyến ñó cắt tiệm cận ñứng

và tiệm cận ngang lần lượt tại , A B sao cho  4

17

Cos ABI = với I là giao ñiểm của hai tiệm cận

1

Trang 22

1

Dạng 6: ðiểm ñặc biệt của ñồ thị

Một số ñề thi ñại học các năm

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi ( )C và hai trục tọa ñộ.

c Tìm m ñể ñồ thị hàm số ( )C tiếp xúc với ñường thảng y=x (Khối D – 2002)

Bài 69: Cho hàm số

2

1

mx x m y

b Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ( )1 khi m = 2. (Khối B – 2003)

12

y x

y= x − x + x

a Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ( )1

b Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của ñồ thị ( )1 tại ñiểm uốn và chứng ∆ là tiếp tuyến của ñồ thị

giữa hai ñiểm ñó bằng 20 (Khối B – 2005)

b Gọi M là ñiểm thuộc ñồ thị ( )1 có hoành ñộ bằng – 1 Tìm m ñể tiếp tuyến của ( )1 tại ñiểm

M song song với ñường thẳng 5x− =y 0 (Khối D – 2005)

x x y

Bài 79: Cho hàm số 3 2 ( )

3 2 1

y= −x x +

a Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ( )1

ñồ thị ( )1 tại 3 ñiểm phân biệt (Khối D – 2006)

12

với gốc tọa ñộ O tạo thành một tam giác vuông tại O (Khối A – 2007)

y= − +x x + m − x− m − ( m là tham số )

a Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ( )1 khi m = 1

11

x y x

=+

x y x

tam giác OAB có diện tích bằng (Khối B – 2010)