Bài toán 1: Sử dụng phương pháp logarit hóa và ñưa về cùng cơ số.. Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi logarit ta có thể logarit hóa theo cùng một cơ số cả 2 vế của phương trình, bất phư
Trang 1A Chuyên ñề 1: phương trình Logarit
1 Bài toán 1: Sử dụng phương pháp logarit hóa và ñưa về cùng cơ số
1.1 Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi logarit ta có thể logarit hóa theo cùng một cơ số
cả 2 vế của phương trình, bất phương trình Chúng ta lưu ý các phép biến ñổi cơ bản sau
( )
b
a
< ≠
= ⇔ >
Dạng 2: log ( ) log ( ) 0( ) 1 ( )
0
a
f x g x
< ≠
Chú ý :
- Việc lựa chọn ñiều kiện f x >( ) 0 hoặc g x >( ) 0 tùy thuộc vào ñộ phức tạp của f x( ) và g x( )
- Khi cơ số a là một hằng số thỏa mãn 0< ≠ thì không cần kiểm tra ñiều kiện mà biến ñổi a 1 tương ñương luôn
1.2 Bài tập áp dụng :
1 Bài toán 2: Đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các phương trình sau
2 log x =log x.log 2x+ − 1 1
2 log3x+log4 x=log5x
3 2.log5(3x− + =1) 1 log35(2x+ 1)
4 log2x+log3x+log4x=log2x.log3x.log4x
1
Chuyên ñề : Phương trình – Bất phương
Trình – Hệ phương trình logarit
Trang 2Biên soạn: Lê Kỳ Hội
2 1
log x 4 2
+
log x−1 +log 2x− =1 2
8 log 2 2 logx + 2x4=log 2x8
2
2 log x+ −1 log 3−x −log x−1 = 0
2 3 27
16.log 3.log x 0
log x+1 + =2 log 4− +x log 4+x
log x+log x −2x+ −1 log x −4x+4 −log x− =1 0
13 log3x+log9x+log27 x=11
2
log −4x +13x−5 −log 3x+ = 1 0
3
1
2
17 log3(4.16x+12x)=2x+ 1
18
3
2 3
x
3
1
logx 2
+
20 logx(cos sin ) log1(cos cos 2 ) 0
x
2 Bài toán 2: Sử dụng phương pháp ñặt ẩn phụ (các phương pháp tương tự như phương trình mũ)
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1 log 55( x−4)= − 1 x
Trang 32 ( 2 ) ( )2
log x− 2x + − +x 1 logx+ 2x−1 =4
2
1 log 4 4 log 4 1 log
8
log 3x−1 log 3x+ −3 = 6
1
2 log 1 log log
4
6 3 log3x−log 33 x− = 1 0
log x−3 log x+ = 2 0
2 log x −5 log 9x + = 3 0
9 log 3 1 log 3 2
2 x+ +2 x− = x
10 log2(2x+4)− =x log2(2x+12)− 3
Bài 2: Giải các phương trình sau
lg x−lg logx 4x +2 log x=0
log x+ x−12 log x+11− =x 0
3 log 2 2 log 6 2
6.9 x+6x =13.x
.log 2 1 log 4 0
log x+ x−1 log x= −6 2x
6 log 2(2 ) log 2 2
x
7 4 log3 x− −1 log3 x = 4
log x +3x+2 +log x +7x+12 = +3 log 3
Bài 3: Giải các phương trình sau
1 log7x=log3( x+2)
2 log3(x+ +1) log5(2x+ =1) 2
Trang 4Biên soạn: Lê Kỳ Hội
3 log 7( 3)
4 x+ =x
4 log 9 2 2 log 2 log 3 2
.3 x
log x+ 9 12+ x+4x +log x+ 6x +23x+21 = 4
log x− x −1 log x+ x −1 =log x− x − 1
7 log2(x− +3) log3(x−2)=2
8 ( log 6 )
log x+3 x =log x
9 log 12( + x)=log3x
3 Bài toán 3: Sử dụng tính ñơn ñiệu (phương pháp tương tự như phương trình mũ)
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1 6x = +1 2x+3log6(5x+1)
2 log5(x+3)= −3 x
log x − −x 6 + =x log x+2 + 4
4 2 log 2 log 2
5 log2(3 x− )=x
6 log 2
2.3 x 3
3log 1 x+ x =2 log x
log 1+ x =log x
9 log2x+log3(x− =1) 3
10
2
2
3
4 Bài toán 4: sử dụng phương pháp ñánh giá
Bài 1 : Giải các phương trình sau
Trang 51 log3 2( 4− +x x+5)= 1
log 2x +4x+2 −log x= +1 4x−2x
3
2 1 3 2
2 3
8
+ + − =
log x− x −1 log x+ x −1 =log x− x − 1
5 log ( 1) lg 3
2
+ =
5 Bài toán 5: Phương trình chứa tham số
Bài 1 : Tìm m ñể các phương trình sau :
log x +4mx =log 2x−2m− có nghiệm duy nhất 1
2 log2(4x−m)= + có hai nghiệm phân biệt x 1
log x− m+2 log x+3m− =1 0 có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x x =1 2 27
2 log 2x − +x 2m−4m =log x +mx−2m có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 2 2
x +x >
5 log32x+ log23x+ −1 2m− =1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ñoạn 1, 3 3
4 log x +log x+m= có nghiệm thuộc khoảng 0 ( )0,1
6 Bài toán 6: Bài tập tổng hợp
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1 log2x.log3x=log3x3+log2 x− 3
x+ x − −x = + x+
3 log2(log log3( 2x) )=1
log 5x−1 log 5x+ −5 = 1
5 log3(x+ +1) log5(2x+ =1) 2
Trang 6Biên soạn: Lê Kỳ Hội
log x+ +1 x−5 log x+ −1 2x+ =6 0
2
logx x +40 log x x−14 log x x =0
5 5
log 4x−6 −log 2x−2 = 2
9 logx9x+1−4.3x−2=3x+1
log x+2 +log x +4x+ =4 9
2 log x− +2 log x+ +5 log 8= 0
3
4
1 log
x
x
x
log x−1 +log 2x− =1 2
14 log2 2 1 1 2
x
x
x x
−
= + −
log + x + +1 x +log − x + −1 x = 6
16 log2+x2(2+x)+log 2+x x= 2
ln 2x−3 +ln 4−x =ln 2x−3 + ln 4−x
18 logx(cos sin ) log1(cos os2 ) 0
x
x
2 log x+ x =log x
B Chuyên ñề 2: Bất phương trình Logarit
1 Phương pháp: Ta sử dụng các phép biến ñổi tương ñương sau
Dạng 1: với bất phương trình :
Trang 7( ) ( )
( )
1
b
a
b
a
f x a
f x b
a
f x a
>
>
> ⇔ < <
<
Dạng 2: với bất phương trình :
( )
1 0
b
a
b
a
f x a
f x b
a
f x a
>
< <
< ⇔ < <
>
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
0 0
0
a a
f x
f x g x
g x a
< ≠
>
< <
< < − − >
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
0 0
0
a a
f x
f x g x
g x a
< ≠
>
< <
Chú ý : Trong trường hợp cơ số chứa ẩn thì
+ loga f x( )>0 ⇔ (a−1) ( ) (f x − >1) 0
log
log
a
a
f x
g x > ⇔ − − >
2 Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau (ñưa về cùng cơ số)
1 log 1 25( − x)< +1 log 5(x+ 1)
2 log 1 2 log2( − 9x)<1
log 5− <x log 3−x
3
1 2
1
x x
+
Trang 8Biên soạn: Lê Kỳ Hội
5 log2 log 6
6 x+x x≤12
6 log2(x+3)≥ +1 log2(x−1)
8
2
3
x− + x− >
8 logx−1(x+ >1) logx2−1(x+1)
3
1
2
x
x x
+
−
10 (4x 12.2x 32 log) 2(2 1) 0
x
Bài 2 : Giải các bất phương trình sau (ñặt ẩn phụ)
1 log2x +2 log 4 3x − ≤ 0
2 log 64 log 162x 2 3
x
3 log 2.logx 2x2.log 42 x > 1
4 21 1 2
log x+log x < 0
2
2
6
1
4 log x+2 log x ≤
2
log x−6 log x+ ≤ 8 0
8 log32x−4 log3x+ ≥9 2 log3x−3
9
2
3
3
1 log
1
1 log
x
x
+ >
10
2 16
1 log 2.log 2
x
>
−
Bài 3 : Giải các bất phương trình sau (Sử dụng tính ñơn ñiệu)
Trang 92 log2(2x+ +1) log3(4x+2)≤ 2
3 x(3log2x−2)>9 log2x−2
4
5
lg
2x 3x 1
x
x
+
− <
Bài 3 : Tìm m ñể bất phương trình sau
5 logm x+1 logm x<
log 7x +7 ≥log mx +4x+m nghiệm ñúng với mọi x
log x −2x+m+4 log x −2x+m ≤5 nghiệm ñúng ∀ ∈x [ ]0, 2
1 2
x − +m x+ m≤ x m− x có duy nhất một nghiệm
3 Bài tập tổng hợp : Giải các phương trình sau
1 2
log
x
x
x
−
2 3
log
x
x
x
≥
logx 5x −8x+3 > 2
2
3
x
x x
+
−
2 25
16
24 2
14
x
x x
−
− − >
6 2 log29 log23 1
4
x
3
logx 5x −18 16+ > 2
Trang 10Biên soạn: Lê Kỳ Hội
3
1
2 log 2x−1 log 2x+ −2 > −2
10
3
1
1 log 9 3x 3
x −
≤
C Chuyên ñề 3: Hệ phương trình Logarit
1 Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Đặt ñiều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa
Bước 2: Sử dụng các phép thể ñể từ hệ 1 phương trình theo ẩn x hoặc ẩn y Đôi khi có thể theo cả
2 ẩn x và y
Bước 3: Giải phương trình nhận ñược bằng các phương pháp ñã biết ñối với phương trình chứa
căn thức
Bước 4: Kết luận về nghiệm của hệ phương trình
Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau
1
3
3 4 1.3
x
x
2
2 2
3
2 2
2 2
x y xy
+ −
4
2 2
1
25
y x
y
+ =
6
x
y
2
9 log2 x+ =y 3log8( x− +y 2)
2 4
log 2 log 3
16
Trang 11Bài 2 : Giải các hệ phương trình sau (phương pháp hàm số)
2
2
+ = +
3
2 2
2 2
2013 2012
2013
y x
x y
−
D Một số bài trong các ñề thi ñại học và cao ñẳng:
Bài 1: Cho phương trình : log32x+ log23x+ −1 2m− =1 0 (m là tham số)
a Giải phương trình khi m =2
b Tìm m ñể phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc ñoạn 1, 3 3
(Khối A - 2002)
Bài 2: Giải bất phương trình : logx(log 93( x−72) )≤ 1 (Khối B - 2002)
Bài 3: Giải hệ phương trình :
1
x
x
y
+
=
(Khối D- 2002)
Bài 4: Giải phương trình : 2x2−x−22+ −x x2 = 3 (Khối D- 2003)
Bài 5: Giải hệ phương trình : 1( ) 4
4
2 2
1
25
y x
y
+ =
(Khối A - 2004)
Bài 6: Giải hệ phương trình :
(Khối B - 2005)
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi a > , hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 0
e x e y ln 1( x) ln 1( y)
y x a
− =
(Khối D- 2006)
Bài 8: Giải phương trình : 2 2 2
2x +x−4.2x−x−2 x+ = 4 0 (Khối D- 2006)
Bài 9: Giải bất phương trình : 3( ) 1( )
3
2 log 4x−3 +log 2x+3 ≤ 2 (Khối A - 2007)
Trang 12Biên soạn: Lê Kỳ Hội Bài 10: Giải phương trình : ( 2 1− ) (x+ 2 1+ )x−2 2 = (Khối B - 2007) 0
Bài 11: Giải phương trình : 2( ) 2
1
4.2 3
x
− (Khối D- 2007)
Bài 12: Giải phương trình : ( 2 ) ( )2
log x− 2x x− +1 logx+ 2x−1 =4 (Khối A - 2008)
Bài 13: Giải bất phương trình :
2 0,7 6
4
x
<
(Khối B - 2008)
Bài 14: Giải bất phương trình :
2 1 2
x
− + ≥ (Khối D- 2008)
2 2
,
3x xy y 81
x y R
− +
=
(Khối A - 2009)
Bài 16: Giải hệ phương trình : 2( )
2
4x 2x 3
y
(Khối B - 2010)
Bài 17: Giải phương trình : 42x+ x+2 +2x3 =42+ x+2 +2x3+4x−4 (Khối D- 2010)
Bài 18: Giải hệ phương trình :
2
,
x y R
2 log 8−x +log 1+ +x 1−x − = (Khối D- 2011) 2 0
============ HẾT============
Gạo đem vào giã bao đau đớn Gạo giã xong rồi trắng tựa bông Sống trên đời con người cũng vậy Gian nan rèn luyện mới thành công Hồ Chí Minh