Luyện thi đại học chuyên đề lượng giác

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ 1... Một số phương tình lượng giác thường gặp 1... Cách 2: biến ñổi ñưa về phương trình bậc hai theo tan hoặc cot Kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm

A CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

1 sin a ( + b ) = sin a cos b + sin b cos a

2 sin a ( − b ) = sin a cos b − sin b cos a

3 cos a( +b)=cos a cos b−sin a sin b

4 cos a( −b)=cos a cos b+sin a sin b

t

8 cot g a( b) cot ga cot gb 1

+

III Công thức góc nhân ñôi :

1 sin 2a=2 sin a cos a =(sin a+cos a)2 − = −1 1 (sin a−cos a)2

2 cos 2a=cos a2 −sin a2 =2 cos a2 − = −1 1 2 sin a2

2 cot ga

−

IV Công thức góc nhân ba :

1 sin 3a = 3 sin a − 4 sin a3 2 cos3a = 4 cos a3 − 3 cos a

3.

3 3

3tga tg a tg3a

cot g a 3 cot ga cot g3a

2

1 cos 2a tg a sin a

2

1 cos 2a cot g a cos a

VII Công thức biểu diễn sin x, cos x, tgx qua x

VIII Công thức biến ñổi tích thành tổng :

1 cos a cos b 1 cos a( b) cos a( b)

12 cot ga−tga =2 cot g2a

X Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan ñặc biệt :

1 Góc ñối:

( ) ( ) ( ) ( )

XI Công thức bổ sung :

1 cos sin 2 cos 2 sin

4 A sin a+B cos a = A2 +B sin a2 ( + α =) A2 +B cos a2 ( − β), A( 2 +B2 >0)

5 1+sin 2α =(cosα +sinα)2

XII Bảng giá trị của hàm số lượng giác của các góc cung ñặc biệt :

Góc

Hàm số

0

00

/ 6π

030

/ 4π

045

/ 3π

060

/ 2π

090

Với R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp △ABC

XV Công thức tính diện tích tam giác :

Gọi h△ là ñường cao thuộc cạnh trong △ABC

R là bán kinh ñường tròn ngoại tiếp △ABC

R là bán kính ñường tròn nội tiếp △ABC

II Một số phương tình lượng giác thường gặp

1 Phương trình bậc hai theo một hàm số lương giác

4) sin22x – 2cos2x + 3

4 = 0 5) 2cos2x + 4sinx + 1 = 0 6) cos4x = cos2x

2 Phương trình bậc nhất theo sin và cos có dạng: asinx + bcosx = c

Cách giải: chia 2 vế phương trình cho

2 2

a +b ta ñược:

Ví dụ: Giải các phương trình:

Cách 2: (biến ñổi ñưa về phương trình bậc hai

theo tan hoặc cot)

Kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm của phương

trình hay không

Khi cosx ≠0 chia 2 vế phương trình cho cos2x ta

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1 3sin2x – 2sin2x – 3cos2x = 2

2 cos3x + sin3x = sinx + cosx

ñược: atan2x + btanx + c = d(1 + tan2x)

21sin cos

( )

a sinx - cosx + bsinxcosx + c = 0 thì ta cũng

5 Phương trình lượng giác không mẫu mực :

ðây là loại phương trình rất khó giải vì nó không tuân theo mẫu mực nào cả Ở ñây chúng ta thường gặp (không phải là ñã ñủ) 9 dạng phương trình sau:

Dạng 1: Phương trình bậc chẵn : Ta dùng phương pháp hạ bậc nâng cung

00

2

2

2

13cos1cos

1

x

x x

0cos

x x

Khi ñó pt ⇔ cosx−cos2 x+ cos3x−cos23x =1

Vì

4

10

)2

1(4

4

13cos3

2

13cos3cos2

1cos

x x

2

13cos

2

1cos

4

13cos3cos

4

1coscos

2 2

Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm

Dạng 6: ðoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất (Nhờ tính ñơn ñiệu, bất ñẳng thức, …)

Phương trình f(x)=0 có 1 nghiệm x=α∈( b a, ) và hàm f ñơn ñiệu trong ( b a, ) thì f(x)=0 có nghiệm duy nhất là x=α

Phương trình f(x)=g(x) có 1 nghiệm x=α∈( b a, ), f (x) tăng (giảm) trong ( b a, ), g (x) giảm (tăng) trong ( b a, ) thì phương trình f(x)=g(x) có nghiệm x=α là duy nhất

Ví dụ 1 : Giải phương trình:

21cos

2

x

x= − với x>0 Giải :

Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm x=0

2cos)(

2

−+

x

f có ñạo hàm f x'( )= −sinx+ ≥ ∀ ≥x 0, x 0 (vì x > sinx,∀x)

⇒ Hàm f luôn ñơn ñiệu tăng trong [0;+∞)

⇒ f(x)=0 có 1 nghiệm duy nhất trong [0;+∞)

Vậy phương trình ñã cho có 1 nghiệm duy nhất x=0

Ví dụ 2: Giải phương trình:

02tan

Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm x=0

ðặt f(x)=sinx+tanx−2x liên tục trên 

0cos

)1cos)(cos

1(cos)(

x x

x x

x x

f

2

511cos02

5

x x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Dạng 7: Phương pháp dùng bất ñẳng thức (Nguyên lý cực biên)

Dạng 9: Phương pháp ñổi biến

Ví dụ : Giải phương trình 32 cos6 sin 6 1

t= , phương trình trở thành: 1(1 cos 3 ) cos 2

triển ñể giải tiếp)

C Bài tập áp dụng :

I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1 2 sin 3x− =1 0 2 3−2 sinx=0 3 2 sin 2x+ =1 0

Bài 3: Giải các phương trình sau:

1 sin 2x=cosx 2 sin 2 cos 0

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ðỐI VỚI MỘT LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1 sin2x – 2cosx = 0 2 2sin2x + cos3x = 1

5 tan2x – tanx = 0 6 cos2(x – 300) = 3

4

III PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ðỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1 sin2x + 2sinx – 3 = 0 2 2sin2x + sinx – 1 = 0

3 2sin22x + 5sin2x + 2 = 0 4 2cos2x – 3cosx – 2 = 0

7 3tan2x – tanx – 4 = 0 8 5 + 3tanx – tan2x = 0

9 -5cot2x – 3tanx + 8 = 0

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1 3sin22x + 7cos2x – 3 = 0 2 5sin2x + 3cosx + 3 = 0

7 cos2x + cosx + 1 = 0 8 3sin2x – 4cos4x = -1

11 9sin2x – 5cos2x – 5sinx + 4 = 0 12 cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0

1 sinx - 3 cosx = 2 2 sin 2 3 sin( 2 ) 1

5 sin5x + cos5x = -1 6 sin6x + cos6x + 1

2sin4x = 0

7 1 + sinx – cosx –sin2x + 2cos2x = 0 8 8cos4x – 4cos2x + sin4x – 4 = 0

V PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ðỐI VỚI SINX VÀ COSX

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1 sin2x – 2sinxcosx – 3cos2x = 0 2 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2

3 sin2x – 2sin2x = 2cos2x 4 2sin2x – 3sin4x + cos22x = 2

5 4cos2x +3sinxcosx - sin2x = 3 6 4sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 1

VI PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG BẬC NHẤT ðỐI VỚI SINX VÀ COSX

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1 1 sin− 3x+cos3x=sin 2x 2 2 sin 2x(sinx+cosx)=2

3 1 sin 23 cos 23 3sin 4

3 A=cos4x+sin4x+sin cosx x+1

1cos

MaxA MinA

8 y=2 sin2x−4 cos2x+8sin cosx x−1

9 y=3sin2x+sin cosx x+cos2x

HD: Sử dụng phương trình cổ ñiển sin a x b+ cosx suy ra

10 y=sin2x−cos2x

HD: Biến ñổi lượng giác ñưa về tam thức bậc 2

Bài 2: giải các phương trình

5 sin 2x+2 cos 2x= +1 sinx−4 cosx 6 2 sin (1 cos 2 ) sin 2x + x + x= +1 2 cosx

7 sin3x− 3 cos3x=sin cosx 2x− 3 sin2xcosx

(1 sin+ x) cosx+ +(1 cos x) sinx= +1 sin 2x

9 (2 cosx−1)(2 sinx+cos )x =sin 2x−sinx

18 cos 2x− 3 sin 2x+2 3 sinx−2 cosx+ =1 0

19 tan2 tan 2

cot 3

x x

4 sin x+4 sin x+3sin 2x+6 cosx=0

24 sin 3x+ 3 cos 3x+cos 2x− 3 sin 2x=sinx+ 3 cosx

29 sin 2x= +1 2 cosx+cos 2x

30 cos 7x+sin 8x=cos 3x−sin 2x

Bài 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình: 5 sin cos 3 sin 3 cos 2 3

Bài 3: Tìm x∈[0;14]nghiệm ñúng của phương trình: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4= 0

Bài 4: Xác ñịnh m ñể phương trình 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x + m = 0

có ít nhất 1 nghiệm thuộc ñoạn 0;

Bài 7: Cho phương trình: 4cos3x + (m – 3)cosx – 1 = cos2x

1 Giải phương trình khi m = 1

2 Tìm m ñể phương trình có ñúng 4 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;

E Lượng giác qua các kỳ thi cao ñẳng và ñại học :

Bài 1: Khối A – 2002: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình

Bài 2: Khối A – 2003: Giải phương trình : cos 2 2 1

Bài 4: Khối A – 2006: Giải phương trình : ( 6 6 )

ðS: 5 2

4

x= π +k π

Bài 5: Khối A – 2007: Giải phương trình : ( 2 ) ( 2 )

1 sin+ x cosx+ +1 cos x sinx= +1 sin 2x

x

ππ

Bài 9: Cð Khối A – 2009: Giải phương trình : ( )2

1 2 sin+ x cosx= +1 sinx+cosx

x= − +π k π x= π +kπ x= π +kπ

Bài 10: Khối A – 2010: Giải phương trình :

(1 sin cos 2 )sin

14

cos

x x

Bài 11: Cð Khối A – 2010: Giải phương trình : 5 3 ( )

ðS:

3

x= ± +π kπ

Bài 18: Khối B – 2004: Giải phương trình : ( ) 2

5sinx− =2 3 1 sin− x tan x

Bài 21: Khối B – 2007: Giải phương trình : 2

2 sin 2x+sin 7x− =1 sinx

Bài 28: Khối D – 2002: Tìm x thuộc ñoạn [0,14] nghiệm ñúng của phương trình

cos 3x−4 cos 2x+3cosx− =4 0

Bài 29: Khối D – 2003: Giải phương trình : 2 2 2

Bài 31: Khối D – 2005: Giải phương trình : 4 4 3

Bài 33: Khối D – 2007: Giải phương trình :