Luyện thi đại học chuyên đề phương trình hàm số mũ

Bài toán 2: Sử dụng phương pháp logarit hóa và ñưa về cùng cơ số.. Đặc biệt : Cơ số khác nhau nhưng số mũ bằng nhau - Phương pháp áp dụng khi có dạng tích – thương của các hàm số mũ..

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

a

a a

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

+ Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0

+ khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương

II Các dạng toán thường gặp :

1 Bài toán 1: Sử dụng phương pháp biến ñổi tương ñương

1.1.Phương pháp: Ta sử dụng phương pháp biến ñổi tương ñương sau

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

- Khi b ≠ mà b có thể biểu diễn thành 1 c f x( ) c ( )

+

0, 5 x+ 0, 5 − x = 2

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

43

23

2 2

−

=

−+

Loại 2: Khi cơ số là một hàm của x

Giải các phương trình sau :

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

2 Bài toán 2: Sử dụng phương pháp logarit hóa và ñưa về cùng cơ số

2.1 Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ lũy thừa ta có thể logarit theo cùng một cơ số

2.3 Dạng 2: Phương trình dạng cơ số khác nhau và số mũ khác nhau

a f x( )=b g x( ) ⇔ loga a f x( )=loga b g x( ) ⇔ f x( )=g x( ).loga b

Hoặc logb a f x( ) =logb b g x( ) ⇔ f x( ).logb a=g x( )

Đặc biệt : Cơ số khác nhau nhưng số mũ bằng nhau

- Phương pháp áp dụng khi có dạng tích – thương của các hàm số mũ

- Một số phương trình cần rút gọn trước khi logarit hóa

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

3 Bài toán 3: Sử dụng phương pháp ñặt ẩn phụ - dạng 1

3.1.Phương pháp: Dùng ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng 1 ẩn phụ ñể chuyển phương trình

ban ñầu thành một phương trình với một ẩn phụ

Ta lưu ý các phép ñặt ẩn phụ thường gặp sau ñây

 

=  

  , ñiều kiện t > , ta ñược 0 α1t2+α2t+α3 = 0

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Mở rộng : Với phương trình mũ có chứa các nhân tử : 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( )

f x f x

a b ab , ta thực hiện theo các bước sau

- Chia 2 vế phương trình cho b2f x( ) >0 (Hoặca 2 f x( ), ( )f x( )

Chú ý : Ta sử dụng ngôn từ ñiều kiện hẹp t > cho trường hợp ñặt 0 t=a f x( ) vì :

- Nếu ñặt t=a x thì t > là ñiều kiện ñúng 0

- Nếu ñặt t=2x2+1 thì t > chỉ là ñiều kiện hẹp, bỡi thực chất ñiều kiện cho t phải là 0 t ≥ 2

Điều kiện này ñặc biệt quan trọng cho lớp các bài toán có chứa tham số

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

4 Bài toán 4: Sử dụng phương pháp ñặt ẩn phụ - dạng 2

4.1 Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 2 là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn chứa x

Phương pháp này thường sử dụng ñối với những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho 1 biểu

thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn ñược triệt ñể qua ẩn phụ ñó hoặc nếu biểu diễn ñược thì công thức biểu diễn quá phức tạp

Khi ñó thường ta ñược 1 phương trình bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc theo ẩn x) có biệt số ∆ là một số chính phương

=



 =

Biên soạn: Lê Kỳ Hội 4.2 Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau

5 Bài toán 5: Sử dụng phương pháp ñặt ẩn phụ - dạng 3

5.1 Phương pháp: Dùng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức mũ trong phương trình và khéo léo biến ñổi phương trình thành phương trình tích

x x

x x

u

u v v

− + + +

Vậy phương trình có 4 nghiệm

5.2 Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

6 Bài toán 6: Sử dụng phương pháp ñặt ẩn phụ - dạng 4

6.1 Phương pháp: Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 4 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một hệ phương trình với k ẩn phụ

Trong hệ mới thì k – 1 phương trình nhận ñược từ các mối liên hệ giữa các ñại lượng tương ứng Trong trường hợp ñặc biệt là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một

hệ phương trình với 1 ẩn phụ và một ẩn x, khi ñó ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1: Đặt ñiều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình

Bước 2: Biến ñổi phương trình về dạng : f x ,ϕ ( )x =0

Bước 3: Đặt y=ϕ ( )x ta biến ñổi phương trình thành hệ : ( )

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x =log 32 và log2 21 1

7 Bài toán 7: Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số

7.1 Phương pháp: Dựa vào tính ñơn ñiệu của hàm số ñể chứng minh nghiệm là duy nhất

Xét phương trình Ta có 3 phương pháp ñể áp dụng

Phương pháp 1 : Thực hiện các bước sau :

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng : f x( )=k

Bước 2: Xét hàm số y= f x( ) Dùng lập luận khẳng ñịnh hàm số ñơn ñiệu (giả sử ñồng biến)

Bước 3: Nhận xét :

+ Với x=x0 ⇔ f x( )= f x( )0 =k do ñó x=x0 là nghiệm

+ Với x>x0 ⇔ f x( )> f x( )0 =k do ñó phương trình vô nghiệm

+ Với x<x0 ⇔ f x( )< f x( )0 =k do ñó phương trình vô nghiệm

Vậy x=x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Phương pháp 2 : Thực hiện các bước sau :

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng : f x( )=g x( )

Bước 2: Xét hàm số y= f x( ) và y=g x( ) Dùng lập luận ñể khẳng ñịnh hàm số y= f x( ) là ñồng biến còn hàm số y=g x( ) là hàm hằng hoặc nghịch biến

Xác ñịnh x sao cho 0 f x( )0 =g x( )0

Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=x0

Biên soạn: Lê Kỳ Hội Phương pháp 3 : Thực hiện các bước sau :

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng : f u( )= f v( )

Bước 2: Xét hàm số y= f x( ) Dùng lập luận ñể khẳng ñịnh hàm số ñơn ñiệu

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Ví dụ : Giải phương trình : 3x2+2x+3+4x2+2x+2+5x2+2x+1=14

Giải :

Ta có :

( ) ( ) ( )

2 2

2

2 2

+ +

+ + +

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = − 1

8.2 Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau

9 Bài toán 9: Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

9.1 Phương pháp: Với phương trình có chứa tham số : f x m( , )=g m( ) ( ) 1 Chúng ta thực hiện các bước sau

Bước 1: Lập luận số nghiệm của phương trình ( )1 là số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( )C :

Biên soạn: Lê Kỳ Hội Bước 3: Kết luận

+ Phương trình có nghiệm ⇔min f x m( , )≤g m( )≤max f x m( , )

+ Phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ ( )d cắt ( )C tại k ñiểm phân biệt

+ Phương trình vô nghiệm ⇔( ) ( )d ∩ C =φ

3 Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2x+ =3 m 4x+ 1

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Dạng tổng quát 2: u+ = +v 1 uv

( 1)( 1) 01

1

u v

10.2 Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau

Giải : Điều kiện : 1 9− x≥0 ⇔ 0≤9x ≤1 ⇔ x≤0 *( )

Biến ñổi phương trình về dạng :

4 cos t−3cost= 1 cos− t

cos 3 sin cos

2

 

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

( )

0 2

t k

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Bài 7: Tìm m ñể các phương trình sau :

a .16m x+2.81x =5.36x có 2 nghiệm dương phân biệt

b 16x 8x (2 1 4) x 2x

c 4x2−2x2+2+ =6 m có 3 nghiệm phân biệt

d 9x2 −4.3x2 + = có 3 nghiệm phân biệt 8 m

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

Bài 3: Giải các bất phương trình sau (Sử dụng tính ñơn ñiệu)

− +

− +

2 x 6 x

13

1

93

x x

Biên soạn: Lê Kỳ Hội

+

 

C Chuyên ñề 3: Hệ phương trình – bất phương trình mũ

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

y y

x x

y y

y x