Luyện thi đại học chuyên đề số phức

Dạng 2: Giải phương trình trên tập số phức.. Trang 7 Vậy ñể tìm căn bậc hai của số phức w= +a bi ta chỉ việc ñi giải hệ phương trình này.. Bài 4: Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực

Trang 1

I Trường số phức và số phức

1 Trường số phức :

Trường số phức ℂ={ ( )a b, , a b∈ℝ là tập hợp } ℝ× =ℝ ℝ mà trên ñó xác lập các mối 2

quan hệ bằng nhau và các phép toán tương ứng sau ñây

a Phép cộng : ( ) ( ) (a b, + c d, = +a c b d, + )

b Phép nhân : ( ) ( ) (a b, ,c d = ac bd ad− , +bc)

c Quan hệ bằng nhau : ( ) ( )a b, c d, a c

b d

=



=



d Quan hệ ñồng nhất : ( )a, 0 ≡a, 0,1( )≡i

2 Số phức :

Giả sử z=( )a b, ∈ℂ, với , a b∈ℝ Giả sử phép cộng và phép nhân ta có :

( ) ( ) ( ) ( ), , 0 , 0 0,1

0,1 0,1 1, 0 1

z= +a bi là dạng ñại số của số phức, trong ñó i ñược gọi là ñơn vị ảo

3 Phần thực và phần ảo của số phức :

+ Giả sử z= + ∈a bi ℂ trong ñó , a b∈ℝ , khi ñó a ñược gọi là phần thực, b ñược gọi là phần ảo của số phức z

+ Kí hiệu : Re( )z =a, Im( )z =b

a Tính chất :

Nếu z= +a bi z, 1= +a1 b i z1, 2 = +a2 b i2 trong ñó a b a, , , , , 1 b a1 2 b2∈ℝ

1 2

1 2

=



=

+ Re(z1+z2)=Re( )z1 +Re( )z2 và Im(z1+z2)=Im( )z1 +Im( )z2

Chuyên ñề : Số Phức

+ Re( ) λz =λRe( )z , ∀ ∈λ ℝ và Im( ) λz =λIm( )z , ∀ ∈λ ℝ

4 Các phép toán về số phức :

Cho z1= +a1 b i z1, 2 = +a2 b i2 trong ñó a1, , , b a1 2 b2∈ℝ Khi ñó ta có :

+ z1+ =z2 (a1+b i1 ) (+ a2+b i2 ) (= a1+a2) (+ b1+b i2)

+ z1− =z2 (a1+b i1 ) (− a2+b i2 ) (= a1−a2) (+ b1−b i2)

+ z z1 2 =(a1+b i1 ) ( a2+b i2 ) (= a a1 2−b b1 2) (+ a b1 2−a b i2 1)

( 1 1 )( 2 2 )

2

a b i a b i

i z

5 Số phức liên hợp :

Cho số phức z= +a bi, với , a b∈ℝ , khi ñó z= −a bi gọi là số phức liên hợp với z

a Tính chất :

+ z=z, ∀ ∈z ℂ , z= ⇔ ∈z z ℝ và z= − ⇔ ∈z z iℝ

+ z+ =z 2 Re( )z , z− =z 2 Im( )z và 2( ) 2( )

6 Môñun của số phức :

a ðịnh nghĩa : Cho số phức z= +a bi, với , a b∈ℝ , khi ñó môñun của z là 2 2

b Tính chất :

+ z2 =z z , z = z , z ≥0 và z = ⇔ =0 z 0

+ ∀z1, z2∈ℂ: z z1 2 = z1 z2 và 1 1

2

2 2

z z

z

+ ∀z1, z2∈ℂ: z1+z2 ≤ z1 + z2 và z1 − z2 ≤ z1−z2

Trang 3

7 Dạng lượng giác của số phức :

- Ta thấy tồn tại phép tương ứng 1 - 1 giữa các

phần tử của ℂ và các ñiểm nằm trên mặt phẳng

ℝ nên có thể ñồng nhất ℂ với 2 ℝ 2

Khi ñó tất cả các số phức z= +a bi ñược ứng với

ñiểm z=( )a b, trên mặt phẳng tọa ñộ ñề các Oxy

- Với z= + ≠a bi 0 (a b, ∈ℝ), kí hiệu r= =z a2+b2

Góc ϕ là góc ñịnh hướng tạo bỡi Oz với chiều dương trục Ox ñược gọi là Argument của z

Nếu ϕ là một Argument của z thì tập hợp tất cả các Arguments của z là

Argz= ϕ+k2 , π k∈ℤ Nếu ϕ là một Argument của z thỏa mãn 0≤ <ϕ 2π, thì ϕ ñược gọi là Argument chính của z và ñược kí hiệu là arg z , khi ñó ta có :

Argz=argz+2kπ, k∈ℤ

Vì a=rcos , ϕ b=rsinϕ nên dạng lượng giác của số phức z là z=r(cosϕ+isinϕ )

a Tính chất : z=r c( osϕ+i sinϕ ), z1=r c1( osϕ1+i sinϕ1), z2 =r c2( osϕ2+i sinϕ2)

+ z z1 2 =r r1 2cos(ϕ ϕ1+ 2)+isin(ϕ ϕ1+ 2) và 1 1 ( ) ( )

2 2

z =r  ϕ ϕ− + ϕ ϕ−  ≠

a Hệ quả (Công thức Moivre) :

(cosϕ+isinϕ )n =cosnϕ+isinnϕ, ∀ ∈n ℕ

8 Hàm số mũ phức :

a ðịnh nghĩa : ∀ = + ∈z x iy ℂ, (x y, ∈ℝ), thì f z( )= =e z e x(cosy i+ siny)

b Tính chất :

1

z

z

z

e

e

b

y

x

a

O

z

ϕ

9 Hàm lượng giác phức :

- Từ ñịnh nghĩa hàm số mũ phức suy ra :

Công thức Euler :

Hệ quả :

Do các vế phải của các ñẳng thức ( )* cũng xác ñịnh khi thay thế x∈ℝ bỡi z∈ℂ , nên ta có

các ñịnh nghĩa tương ứng của các hàm số phức sin, cos, tan, cot :

sin

2

i

−

cos

2

z= e +e−

cos

z

−

−

−

cos

sin

−

−

+

−

10 Hàm hypebolic phức :

sh

2

ch 2

z= e +e−

ch

z

−

−

−

ch coth

sh

z

−

−

+

−

II Các dạng bài tập

1 Dạng 1: Thực hiện cá phép tính cộng – trừ – nhân – chia

Phương pháp :

+ Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức

+ Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp ñối với các phép toán cộng và nhân

Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :

1 (4− + +i) (2 3i) (− +5 i) 2 2 1 2

3

i  i

− + − 

2 3

− − − 

e = x i+ x e− = x i− x ∀ ∈x ℝ

i

Trang 5

1

1 1

i i

+

−

a i a

a i a

+

−

11

(1 23)( )1

i

+

1 2

i i

+

−

13 a i b

i a

+

4 5

i i

− +

Bài 2: Thực hiện các phép tính :

1 ( ) ( )2 2

2+i − −3 i

3 ( )2

3

1 3

−

2 i−

7 ( ) ( )3 3

1 i−

9 ( )5

3 3i+

Bài 3: Cho số phức z= +x yi Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :

1

z i iz

+

−

Bài 4: Phân tích thành nhân tử với , , a b c∈ℝ :

3 4a4 +9b2 4 3a2+5b2

Bài 5: Tìm căn bậc hai của số phức :

3 1 2 6i− − 4 5 12i− +

3 2i

11 33 56i−

2 Dạng 2: Giải phương trình trên tập số phức

Phương pháp :

Giả sử z= +x yi Giải các phương trình ẩn z là tìm , x y thỏa mãn phương trình

Chú ý : Cách tìm căn bậc hai và giải phương trình bậc hai

a Cách tính căn bậc hai :

+ ðịnh nghĩa : Căn bậc hai của số phức w là số phức z sao cho z2 =w

+ Trường hợp 1: Nếu w là số thực

- Dễ thấy rằng căn bậc hai của 0 là 0 ⇒ số 0 có ñúng 1 căn bậc hai là 0

- Xét w≠0

z − = −w z w z+ w Do ñó z2 − =w 0 khi và chi khi z= w hoặc

z= − w Vậy w có hai căn bậc hai là w và − w

+ Khi w<0 thì 2 ( )( )

z − = − −w z wi z+ −wi Do ñó z2− =w 0 khi và chi khi z= −wi

hoặc z= − −wi Vậy w có hai căn bậc hai là −wi và − −wi

+ Trường hợp 2: Nếu w= +a bi

Gọi số phức z= +x yi là căn bậc 2 của w Khi ñó ta có z2 =w

2

2 2

2 2

2

2

⇔

=



Trang 7

Vậy ñể tìm căn bậc hai của số phức w= +a bi ta chỉ việc ñi giải hệ phương trình này Mỗi cặp

số thực ( )x y, nghiệm ñúng hệ phương trình ñó cho ta một căn bậc hai z= +x yi của số phức

w= +a bi

Cách giải hệ phương trình trên Bình phương cả hai phương trình cuối cùng ta ñược hệ :

2 2

2 2

2 2

x

y x

⇒

b Cách giải phương trình bậc hai :

0 0

ax + + =bx c a≠ Xét biệt thức : ∆ =b2−4ac

+ Nếu ∆ ≠0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

1 , 2

Trong ñó δ là một căn bậc hai của ∆

+ Nếu ∆ =0 thì phương trình có nghiệm kép

1 2

2

b

a

−

= =

Bài 1: Giải các phương trình sau :

3 z+2z= −2 4i 4 z2− =z 0

5 z −2z= − −1 8i 6 (4 5− i z) = +2 i

4

1

z i

z i

+

=

−

z

+ =− +

9 2 z −3z= −1 12i 10 ( ) (2 )

3 2− i z+ =i 3i

2

i

13 3 5i 2 4i

z

z+ i z − z+ =

z + z − + =z 16 2z3−3z2+ + − =5z 3i 3 0

Bài 2: Giải các phương trình sau ẩn x:

1 x2− 3x+ =1 0 2 3 2x2−2 3x+ 2 =0

3 3x2− + =x 2 0 4 2 ( )

x − −i x+ − =i

5 3ix2−2x− + =4 i 0 6 ix2+2ix− =4 0

7 3x3−24=0 8 2x4+ =16 0

x − −i x+ + =i

11 ix2+4x+ − =4 i 0 12 2 ( )

Bài 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là :

1 2 3i+ và 1 3i− + 2 2i và 4 4i− +

Bài 4: Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận α làm nghiệm

3 α = −2 5i 4 α = − −2 i 3

5 α = 3−i 2 6 α = +(2 i)(3−i)

2

i i

−

Bài 5: Tìm tham số m ñể mỗi phương trình sau ñây có hai nghiệm z1, z thỏa mãn ñiều kiện 2

ñã chỉ ra

1 z2−mz+ + =m 1 0, ñiều kiện z12+z22 =z z1 2+1

2 z2−3mz+ =5i 0, ñiều kiện z13+ =z23 18

3 z2+mz+ =3i 0, ñiều kiện z12+z22 =8

Trang 9

Bài 6: Cho z1, z là hai nghiệm của phương trình 2 ( ) 2 ( )

1+i 2 z − +3 2i z+ − =1 i 0 Tính giá trị của biểu thức

1 A=z12 +z22 2 B=z z12 2+z z1 22

2 1

C

= +

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau

1 12 22

1 2

4

5 2

+ = +





1 2

2 2

1 2

5 5

5 2

= − −







( )

3 5

1 2 4 2

1 2

0

z z





=

1 2 3

1 2 3

1 1 1

z z z



+ + =





1 1 3 1

z

z i

z i

z i





−



6

4 1 8

z

z i z z





−



2 2

1 2

1 2

5 2 4

 + = +



+ = −

2

1





− = −



2 2

1 2 1 2

1 2

2



+ =



Bài 8: Giải các hệ phương trình sau

3





+ = −

5

8 8

+ = −







x y

+ =





= +

2 2

1 2

i



+ = −





 + = −



2 2

6

5

 + = −





+ =





6

3 2

i

x y

+ = +











7 2 25

1 2

+ = −





1

2 3

+ =







3 Dạng 3: Tập hợp ñiểm

Phương pháp : Giả sử z= +x yi ñược biểu diễn ñiểm M x y( ), Tìm tập hợp các ñiểm M là

tìm hệ thức giữa x và y

Bài 1: Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn các

ñiều kiện sau

1 z+ + =z 3 4 2 z− + − =z 1 i 2

3 z− +z 2i =2 z i− 4 2iz− =1 2 z+3

5 2i−2z = 2z−1 6 z+ =3 1

z i

11 z+ <1 1 12 1< − <z 1 2

Bài 2: Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn các

ñiều kiện sau

3 z z =9

Bài 3: Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z sao cho 2

2

z z

− +

có một argument bằng

3

π

Trang 11

4 Dạng 4: Dạng lượng giác của số phức

Phương pháp : Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác ñể tính

Bài 1: Tìm một argument của mỗi số phức sau

− − 6 (1−i 3 1) ( )+i

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau :

3 cos 20 +isin 20 cos 25 +isin 25

3 cos120 +isin120 cos 45 +isin 45

2 cos18 +isin18 cos 72 +isin 72

cos 85 sin 85

cos 40 sin 40

i i

+

2 cos 45 sin 45

i i

+

i

i

+

+

Bài 3: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau :

3 (1−i 3 1) ( )+i 4 2i( 3−i)

1

i i

−

1

2 2i+

7 2+i 2 8 1+i 3

11 tan5

π +

Bài 4: Viết dưới dạng ñại số các số phức sau :

+

2 i+

( )(1 3 1 2 )

i

+

40

7 1 3

1

i i

i

−  

−

+

100

1

i

i i

+

+

−

1

3 i−

Bài 5: Tính

1 i+

3 ( )6

2 cos 30 isin 30

21

i i

12

+

2012

1

i

i

+

5

11 z2012 20121

z

z

+ =

Trang 13

Bài 6: Chứng minh rằng

1 sin 5t=16 sin5t−20 sin3t+5sint

cos 5t=16 cos t−20 cos t+5 cost

3 sin 3t=3sint−4 sin3t

4 cos 3t=4 cos3t−3cost

III BÀI TẬP TỔNG HỢP :

Bài 1: Thực hiện các phép tính

1 (2−i)(− +3 2i)(5 4− i) 2

+

+ + −

5 (2 4− i)(5 2+ i) (+ +3 4i)(− −6 i) 6 1+ + + + +i i2 i3 i2012

7 i2000+i1999+i201+i82+i47 8 i i i .2 3 i2012

9 5( ) ( )7 13 100 ( )94

i− − + −i i +i− + −i

Bài 2: Cho các số phức z1= +1 2 , i z2 = − +2 3 , i z3= −1 i Tính

1 z1+ +z2 z3 2 z z1 2+z z2 3+z z3 1

3 z z z1 2 3 4 z12+ +z22 z32

2 3 1

z

2 2

1 2

2 2

2 3

+ +

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau :

A= +z iz − + i z + + +z i với z= +2 3i

B= − +z z z − +z z với 1( )

3 2

z= −i

Bài 4: Tìm các số thực , x y sao cho :

1 (1 2− i x) (+ +1 2y i) = +1 i 2 3 3

i i

− + − =

2

Bài 5: Tìm các căn bậc hai của số phức sau :

2

1

1

i i

+

−

2

3

i i

i i

− +

1 i+1 i

+ −

Bài 6: Tìm các căn bậc ba của các số phức sau

Bài 7: Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau

Bài 8: Giải các phương trình sau

1 z3−125=0 2 z4+ =16 0

z − i=

Bài 9: Gọi u1, u là hai căn bậc hai của 2 z1= +3 4i và v1, v là hai căn bậc hai của 2 z2 = −3 4i

Tính u1+ + +u2 v1 v2

Bài 10: Giải các phương trình sau trên tập số phức

1 z2+ =5 0 2 z2+2z+ =2 0

Trang 15

z − + =z

5 −2z2 + − =3z 1 0 6 ( )( )z+z z− =z 0

7 z2+ + =z 2 0 8 2z+3z= +2 3i

2 3+ z +2 z+2i − =3 0 10 4z2+8z2 =8

1+i z + +2 11i=0

Bài 11: Giải các phương trình sau trên tập số phức

2

z+ i z− z + + =z

5 z2−2iz+ − =2i 1 0 6 z2−80z+4099 100− i=0

Bài 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức

x + +i x− − =i

3 3x2+ + =x 2 0 4 x2+ + =x 1 0

Bài 13: Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo

1 z3−iz2 −2iz− =2 0 2 3 ( ) 2 ( )

z + −i z + − i z− + =i

Bài 14: Tìm m ñể phương trình sau : ( ) ( 2 2 )

z+i z − mz+m − m =

1 Chỉ có ñúng một nghiệm thực

2 Chỉ có ñúng một nghiệm phức

3 Có 3 nghiệm phức

Bài 15: Tìm m ñể phương trình 3 ( ) 2 ( )

z + +i z − −z m i+ = có ít nhất một nghiệm thực

Bài 16: Tìm tất cả các số phức z sao cho (z−2) ( )z+i là số thực

Bài 17: Giải các phương trình trùng phương

z + +i z + + =i

Bài 18: Cho z1, z là 2 nghiệm của phương trình 2 2 ( )

z − +i z+ − =i Tính giá trị các

1 z12+z22 2 z z12 2+z z1 22

5 z z2 13+z z1 23 6 1 2

2 1

z + z

Bài 19: Cho z1, z2 là hai nghiệm của phương trình x2− + =x 1 0 Tính giá trị các biểu thức sau :

1 x12012+x22012 2 x12013+x22013

3 x1n+x2n với n∈ℕ

Bài 20: Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn hệ thức sau :

z i =

2 2

1

z +z =

z

=

Bài 21: Hãy tính tổng S = + + + + +1 z z2 z3 z n−1 biết z cos2 isin2

Bài 22: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau

1 i4+ + + +i3 i2 i 1 2 ( )(1−i 2+i)

3 2

1

i i

+

2

π α

< <

Trang 17

2

π α π< <

Bài 23: Tìm môñun và một acgument của các số phức sau :

8

6

+

4

i

3 (1+i 3) (n+ −1 i 3)n 4 sin cos

5 2 2 3i− + 6 1 sin− α +icosα với 0

2

π α

< <

8

6

+

4

i

− +

+

9 (1 3) (1 3)

Bài 24: Chứng minh các biểu thức sau có giá trị thực

+

Bài 25: Trong các số phức z thoar mãn ñiều kiện 2 3 3

2

z− + i = Tìm số phức z có môñun nhỏ

nhất

Bài 26: Xét các ñiểm , , A B C trong mặt phẳng phức theo thứ tụ biểu diễn các số phức sau :

1

i

i− , ( )(1−i 1 2+ i), 2 6

3

i i

+

−

1 Chứng minh ABC∆ là tam giác vuông cân

2 Tìm số phức biểu diễn bỡi ñiểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông

Bài 27: Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo

Bài 28: Cho ña thức ( ) 3 ( ) 2 ( )

1 Tính p( )−3i

2 Giải phương trình p z( )=0

Bài 29: Giải phương trình

2

1 2 7

z z

z

+

= − 

−

  , biết rằng z= +3 4i là một nghiệm của phương trình

Bài 30: Chứng minh rằng nếu z ≤1 thì 2 1

2

z i iz

− ≤

Bài 31: Cho các số phức z1, , z2 z Chứng minh rằng 3

1 z1+z22+ z2+z32+ z3+z12 = z12+ z22+ z3 2+ + +z1 z2 z3 2

z +z z + −z z = + z + z

z −z z − −z z = − z − z

4 Nếu z1 = z2 =c thì z1+z22+ −z1 z22 =4c2

Bài 32: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau

50 49

1 3

i i

+

5

3 z10 110

z

z

+ =

Bài 33: Cho z1, z là các nghiệm phức của phương trình 2 2z2 −4z+ =11 0 Tính giá trị của biểu

2

A

+

=

Trang 19

IV Số phức qua các kỳ thi ñại học và cao ñẳng :

Bài 1: Gọi z1, z là hai nghiệm của phương trình 2 z2+2z+ =10 0 Tính giá trị biểu thức

A= z1 2 + z2 2 (Khối A - 2009)

Bài 2: Tìm số phức z thỏa mãn z− + =(2 i) 10 và z z =25 (Khối B - 2009)

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy , tìm tập hợp ñiểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn ñiều

kiện : z− −(3 4i) =2 (Khối D - 2009)

Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn ñiều kiện : ( )3

1

z

i

−

=

− Tìm môñun của số phức z+iz

(Khối A - 2010) Bài 5: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z , biết ( ) (2 )

z= +i − i (Khối A - 2010)

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy , tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn :

z i− = +( )1 i z (Khối B - 2010)

Bài 7: Tìm số phức z thỏa mãn : z = 2 và z2 là số thuần ảo (Khối D - 2010)

Bài 8: Tìm tất cả các số phức z , biết z2 = z2+z (Khối A - 2011)

Bài 9: Tính môñun của số phức z , biết : (2z−1 1)( )+ + +i ( )z 1 1( )− = −i 2 2i (Khối A - 2011)

Bài 10: Tìm số phức z , biết : z 5 i 3 1 0

z

+

− − = (Khối B - 2011)

Bài 11: Tìm phần thực và phần ảo của số phức

3

1

i z

i

= 

+

  (Khối B - 2011)

Bài 12: Tìm số phức z , biết : z− +(2 3i z) = −1 9i (Khối D - 2011)

============== Hết ==============