HƯỚNG DẪN ÔN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

trong các trường hợp sau :... Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số :0 x y.

Phần 1: Khái niệm và các kí hiệu.

x

x x

x x

Ví dụ 63:      

 

2 4 2

x x

Ví dụ 70:

5 4 1

1lim

1

x

x x

1lim

1

x

x x

t t

1lim

1

x

x x

1lim

1

x

x x

x x

x x

x x

1 02 0

x

x x

x

x x

3

3sin

3

x x

x x

 Công thức số (3):

Ví dụ 28:

2 2

3 2

e x

0

1lim

Cho hàm số yf x có tập xác định là D với x o thuộc D

Cho x o một số gia đối số  x

Khi đó số gia hàm số y f x o x f x o f 2 x f x o 2 2  x 3 2.2 3   2 x

Ví dụ 3: Cho y f x 2x2

Tính số gia hàm số y tại x o=-1

GiảiCho x o=-1 một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số  y f x o  x f x o f  x 1 f 1 2 x 122 2 x x 2 

Ví dụ 4: Cho y f x  3x3

Tính số gia hàm số y tại x o=2

GiảiCho x  o 2một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số  y f x o  x f x o f  x 2 f  2 3 x 2  3  3.2 3   3 x

Ví dụ 5: Cho y f x  x3

Tính số gia hàm số y tại x  o 2

GiảiCho x  o 2 một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số  y f x o  x f x o f  x 2 f   2   x 23 23x12 6   x x2

Ví dụ 6: Cho y f x  x3

Tính số gia hàm số y tại x  o 2

GiảiCho x  o 2 một số gia đối số x

GiảiCho x  o 1một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số  y f x o  x f x o f 4 x f  4  4 x  4  4 x  2

Ví dụ 13: Cho yf x  3 x

Tính số gia hàm số y tại x  o 1

GiảiCho x  o 1 một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số y f x o x f x o f 1 x f  1    3 x 1 1

Ví dụ 14: Cho yf x  4 x

Tính số gia hàm số y tại x  o 1

GiảiCho x  o 1 một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số  y f x o  x f x o f 1 x f  1 41  x 1

Ví dụ 15: Cho yf x  2

Tính số gia hàm số y tại x  o 1

GiảiCho x  o 1một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số  y f x o  x f x o f  x 1 f 1  2 2 0.

Ví dụ 16: Cho yf x  10

Tính số gia hàm số y tại x  o 2

GiảiCho x  o 2 một số gia đối số x

3

o

x   một số gia đối số x

Cho x  o 1 một số gia đối số x

Khi đó số gia đối số  y f x o x  f x o f  x 1 f  1 e x 1 e e e  x e

Ví dụ 25: Cho y f x  ex

Tính số gia hàm số y tại x  o 1

GiảiCho x  o 1 một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số      8  8 log2 8 log82 log2 8

trong các trường hợp sau :

b, Cho x  o 0một số gia đối số x

Vậy y x '    3 x2

Bài tập 5: Cho yf x  x4

Tính f ' 1 ; ' 0 ; ' 1  f   f  

Bài giảiCho x  o 1 một số gia đối số x

Ta có : limx 0 y x limx 0 x x x 1 limx 0 x1 1 1

22

Vậy f ' 1  3.Cho x  o 1 một số gia đối sô x

Cho x  o 1 một số gia đối số x

Khi đó số gia hám số

Bài tập 15: Cho yf x   x.Tính f ' 1 ; ' 4  f  

Bài giảiCho x  o 1 một số gia đối số x

Cho x  o 4 một số gia đối số x

Vậy 31 2

' 3

Cho x  o 8 một số gia đối số x

Tổng quát: Cho x một số gia đối số  x

x



Vậy 31 4

' 3

Tổng quát: Cho x một số gia đối số  x

Khi đó số gia đối số    

    sin sin 2cos sin

Cho x  o 0 một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số  y f x o  x f x o f x f  0 sin x sin 0 sin x

Ta có : lim0 lim0sin 1

Tổng quát: Cho x một số gia đối số  x

Khi đó số gia hàm số     sin   sin 2cos sin

Tổng quát: Cho x một số gia đối số  x

Khi đó số gia hàm số     cos   cos 2sin sin

6

o

x   một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số     sin sin 2cos sin

Tổng quát: Cho x một số gia đối số  x

Khi đó số gia hàm số     sin sin   2cos sin

Khi đó số gia hàm số     cos cos 2sin sin

Tổng quát: Cho x một số gia đối số  x

Khi đó số gia hàm số     cos cos   2sin sin

4

o

x   một số gia đối số x

Khi đó số gia hàm số

    tan tan sin

Vậy 12

' cos

x y

x y

Vậy 12

' sin

Cho x  o 0 một số gia đối số x

Tổng quát: Cho x một số gia đối số  x

Khi đó số gia hàm số        1  log 1  ln 1 

x a

Khi đo số gia hàm số  y f x o  x f x o f  x 1  f  1 ln x 1 ln1 ln  x 1

Khi đó số gia hàm số  y f x o  x f x o f  x 1 f  1 ln1 ln  x 1  ln x 1

1, Quy tắc đạo hàm của một tổng và hiệu

Bài toán 1: Cho hàm số yf x  u x v x 

Tính y x' 

Bài giảiCho x một số gia đối số x

B2, Giả sử  1 đúng với n=k nghĩa là ta có  x k k x k 1

B3, Ta đi chứng minh  1 đúng với n k 1

Nghia là ta phải chứng minh x k1' k1x k

Ta có: y'e xsinx' e xsinx'e xsinx e xcosxsinx.

Nếu f x'   0 x D thì y f x  đồng biến trên D

Nếu f x' 0, x D thì yf x  nghịch biến trên D

Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số :

0

x y

Giải ' 0 2 4 2 0 1

23

x y

Ta có: ' 0 1

1

x y

1

x y

Ta có y ' 0  x R vậy hàm số nghịch biến trên R





21

x x

y

x x

4x 3'

2

x y

* Cực trị bao gồm cực đại hoặc cực tiểu

Định lý: Cho hàm số yf x  có tập xác định D với x  o D

Hàm số yf x  đạt cực đại tại xx o nếu f x'  đổi dấu từ   sang   khi đi qua x o

Hàm số yf x  đạt cực tiểu tại xx o nếu f x'  đổi dấu từ   sang   khi đi qua x o

* Tìm cực trị của các hàm số sau: