Chuyên đề khảo sát hàm số luyện thi đại học

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐA. CÁC KIẾN THỨC VỀ ĐỒ THỊ:a. Định nghĩa : Hàm số y = f(x) xác định trong khoảng ( a ; a) được gọi là hàm số chẵn nếu f(x) = f(x), x ( a ; a) b. Tính chất:•Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung•Đồ thị các hàm số f(x) và f(x) đối xứng nhau qua trục hoànhB. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ VẼ ĐỒ THỊ: Bài toán 1: Biết đồ thị (C): y = f(x). Hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình g(x,m) = 0 Phương pháp:Biến đổi phương trình g(x,m) = 0 về dạng f(x,m) = (m)Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C) và đường thẳng (): y = (m)

a < 0 y

x

S O

02

02

∆ ≤



III PHƯƠNG TRÌNH HOÀNH ĐỘ GIAO ĐIỂM:

Cho hai đường cong (C):y = f(x) và (C’) : y = g(x)

Phương trình f(x) = g(x) (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong (C) và (C’)

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’):

(*) có n nghiệm x1, x2, ,xn ⇔ (C) và (C’) cắt nhau tại n điểm có hoành độ

x1, x2,…,xn

(*) vô nghiệm ⇔ (C) và (C’) không cắt nhau

(*) có nghiệm kép x = xo ⇔ (C) và (C’) tiếp xúc nhau taị điểm có hoành độ

• Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung

• Đồ thị các hàm số f(x) và -f(x) đối xứng nhau qua trục hoành

Biến đổi phương trình g(x,m) = 0 về dạng f(x,m) = α(m)

Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của (C) và đường thẳng (∆): y = α(m)

0)x(),x(neáuneáu

)x(

)x(

)x(

ax,ax

)x(

neáuneáu

(C’) gồm :

• (C’1) :phần của (C) với x > a

• (C’2) : đối xứng với phần của (C) với x < a qua trục hoành

• (C’2) : đối xứng của (C’1) qua Ox

C CÁC BƯỚC KHẢO SÁT TỔNG QUÁT:

1 Tìm miền xác định của hàm số

2 Xét tính chẵn lẻ, tuần hoàn của hàm số để thu hẹp khoảng cần khảo sát (nếu có)

3 Tính đạo hàm y’ và giải phương trình y’ = 0 để tìm các điểm cực trị

4 Lập bảng biến thiên: xét dấu y’ và khảo sát tính đơn điệu của hàm số…

5 Tính y’’ và giải phương trình y’’ = 0 để tìm điểm uốn (nếu thấy cần thiết)

6 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)

7 Xác định các điểm đặc biệt (thường là giao điểm của đồ thị và các trục)

D KHẢO SÁT CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN

I HÀM SỐ BẬC BA : y = ax 3 + bx 2 + cx + d

a Lý thuyết tóm tắt:

• Xác định ∀x

• Hàm số đơn điệu hoặc có hai cực trị ( 1 cực đại và 1 cực tiểu)

• Chia y cho y’ thì y = (ax + e)y’ +Ax + B Khi đó y = Ax + B là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

• Đồ thị có điểm uốn U với xU = b

y’ < 0

 BÀI TẬP :

1) Cho hàm số y = x3 + x -1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số

b) Chứng minh rằng nếu xo là nghiệm của phương trình : x3 + x – 1 = 0 thì ta có

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với a, b, c vừa tìm được

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : cosx(sin2x + 2) + m = 0

a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 2

b) Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu

13) Cho hàm số y = (x – a)(x – b)(x – c)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a = b = 1 và c = 4

b) Với mọi a < b < c, chứng minh rằng hàm số luôn đạt cực trị tại hai điểm x1, x2

thỏa điều kiện a < x1 < b < x2 < c

14) Cho hàm số y =

3xm

− + 3mx2 – 2 với m ≠ 0Định m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1 , 0) làm tâm đối xứng Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với giá trị m vừa tìm

y’ = 0

có 3 nghiệm(a < 0) y’ = 0

O

a) Tìm a, b để A(1 , -6) là điểm cực trị của đồ thị hàm số

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với a, b vừa tìm được

c) Chứng minh tam giác tạo nên bởi các điểm cực trị của đồ thị (C) là tam giác vuông

4) Cho hàm số y = 2x2 – x4

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 – 2x2 + m = 0

5) Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c

a) Tìm a, b, c biết chia ax4 + bx2 + c cho x2 – 1 thì dư 1, hàm số đạt cực trị tại

x = 1 và đồ thị hàm số đi qua điểm (0 , 2)

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) với a, b, c vừa tìm được

c) Vẽ đồ thị (C’): y = - x4 + 2x2 – 2

 ĐS : a) a = 1, b = -2, c = 2

6) Cho hàm số y = x4 – 6ax2 + a2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với a = 1

b) Với a là tham số, tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2 ; 1]

7) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 1x4 3x2 5

III.HÀM HỮU TỈ : y = ax b

cx d

++ ( a,c ≠ 0, ad – bc ≠ 0)

• Hàm số xác định ∀x ≠ −dc

ad bc(cx d)

−+ ⇒ Hàm số đơn điệu

x 1

+

22

x 3

−+2) Cho hàm số y = ax b

x 1

++a) Tìm a, b để đồ thị hàm sô có đường tiệm cận ngang là y = 2 và hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm x = 0 bằng 4

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 2, b = -2

b) Chứng minh (H) có tâm đối xứng

c) Lập phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) và trục hoành4) Cho hàm số (H) : y = 2x 1

x 1

++a) Tìm điểm trên (H) có tọa độ nguyên

x 1

+

−a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x 4 m

x 1

+

=

−6) Cho hàm số y = 2x 1

x 2

++a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Vẽ đồ thị (C’) : y = 2 x

x 1−c) Dùng (C’) biện luận theo m số nghiệm của phương trình (m – 2)x - m = 08) Cho hàm số y = f(x) = mx 1

2x m

−+a) Chứng minh rằng: với ∀m, hàm số luôn tăng trong từng khoảng xác địnhb) Định m để tiệm cận đứng của đồ thị qua A(-1, 2)

b) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ là những số nguyên

10) Cho hàm số y = ax+b

cx+d (c ≠ 0)a) Tìm hàm số trên biết đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là I(2 , 2) và qua A1

• Hàm số đơn điệu hoặc có hai cực trị ( 1 cực đại và 1 cực tiểu)

• Đường thẳng đi qua 2 cực trị y = 1(2ax b)

+

• Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

y’ = 0 có 2 nghiệm

y’ = 0 có 2 nghiệm

 BÀI TẬP:

1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

22x 3x 3

x 2

+ −+b) Chứng minh phương trình : 2tg2t + (3 – m)tgt – (2m + 3) = 0 luôn có 2

nghiệm thuộc khoảng ,

x 1−a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b)Tìm tất cả các giá trị của a sao cho x2 – ax + a > 0, ∀x > 1

c) Vẽ đồ thị (C’) : y =

2x

x 1−3) Cho hàm số y =

2

x 5x 15

x 3

+ ++a) Tìm điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên

b) Biện luận theo tham số m số nghiệm thuộc đoạn [0 , π]

của phương trình : cos2t – (1 + m)cost + m + 4 = 0

5) Cho hàm số y =

2

x 3x 42x 2

− +

−a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) M là điểm tùy ý trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng tại A và tiệm cận xiên tại B, chứng tỏ rằng M là trung điểm của đoạn AB và tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vào m, với I là giao điểm của hai tiệm cậnc) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x

6) Cho hàm số y =

22x (6 m)x 4

mx 2

+ − ++a) Định m để đồ thị hàm số qua điểm A(-1, 1)

b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

c) Chứng minh rằng (C) có một tâm đối xứng

b) Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiênc) Tìm điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ

b) Định m để hàm số đồng biến trong từng khoảng xác định

c) Định m để đường thẳng y = m + 1 cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A,

B sao cho OA vuông góc với OB

b) Tìm trên đồ thị (C) tất cả những điểm mà tọa độ là các số nguyên

c) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số không phải là một hyperbol ?

b) Định m để hàm số luôn đồng biến trong từng khoảng mà nó xác định

c) Định m để hàm số đồng biến trong (1 , ∞)

V HÀM y =

fexdx

cbxax2

2++

++

A Lý thuyết tóm tắt :

• y’ =

2 2

2

)exdx(

fe

cbxfd

ca2xed

ba

++

++

• Nếu phương trình dx2 + ex + f = 0 vô nghiệm, có1 nghiệm, có 2 nghiệm thì đồ thị lần lượt không có tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận đứng, có 2 tiệm cận đứng

• Tiệm cận ngang : y =

da

 BÀI TẬP:

1) Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau :

a) y =

1x

5x4x2

2+

+

5xx

9x12x2

1x

2 − +

−

d) y =

2xx

5x6x2

x2

2

−

−a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Đồ thị (C) cắt tiệm cận ngang tai A Đường thẳng OA cắt lại (C) tại B Tính tọa độ của A và B Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại A và B

i) ∆ < 0 : Phương trình vô nghiệm

ii) ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x = −2ba

iii) ∆ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x =

a2

b± ∆

−

II Số nghiệm của phương trình bậc ba ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1)

1) Phương trình (1) có nghiệm đặc biệt x = α

Bằng cách chia vế trái cho x – α ta được : (1) ⇔ (x – α)(ax2 + βx + γ) = 0Xét ax2 + βx + γ = 0 (2)

Ta có :

• (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) vô nghiệm

• (1) có 2 nghiệm ⇔ (2) có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm là α

• (1) có 3 nghiệm ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác α

• (1) có nghiệm kép ⇔ (2) có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm trong đó α là một nghiệm

2) Phương trình (1) không có nghiệm đặc biệt

• (1) có 1 nghiệm ⇔ Hàm số đơn điệu hoặc có 2 cực trị với ymin.ymax > 0

• (1) có 2 nghiệm ⇔ Hàm số có 2 cực trị với ymin.ymax = 0

• (1) có 3 nghiệm ⇔ Hàm số có 2 cực trị với ymin.ymax < 0

• (1) có nghiệm kép ⇔ Hàm số có 2 cực trị với ymin.ymax = 0

+

−

=++

a

dx

xx

a

cxxxxxx

a

bx

xx

3 2 1

1 3 3 2 2 1

3 2 1

III Số nghiệm của phương trình ax 4 + bx 2 + c = 0 (1)

Đặt t = x2 thì (1) ⇔ at2 + bt + c = 0 (2)

• (1) vô nghiệm ⇔ (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

• (1) có 1 nghiệm ⇔ (2) có nghiệm kép t = 0

• (1) có 2 nghiệm ⇔ (2) có nghiệm kép t > 0 hoặc (2) có 2 nghiệm trái dấu

• (1) có 3 nghiệm ⇔ (2) có 2 nghiệm t1, t2 với t1 = 0 < t2

• (1) có 4 nghiệm ⇔ (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

• (1) có nghiệm kép ⇔ (2) có nghiệm t = 0

 BÀI TẬP :

1) Cho hàm số y =

1x

4x

−

+Định a để đường thẳng y = ax + 3 không cắt đồ thị

2) Cho hàm số y =

2x

4x4

x2+

++

Tìm k để đường thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt

 ĐS : k ≠ 1

3) Cho hàm số y =

1x

1mx

x2

−

−+Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại hai điểm A, B sao cho OA ⊥ OB

mx)2m(

x2

+

−+

m)a) Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm) định trên 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8

b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3

c) Định k để đường thẳng y = k cắt (C) tại 2 điểm phân biệt E, F sao cho đoạn

EF nhắn nhất

 ĐS : c) m = 3

5) Tìm m để đường thẳng y = 3x – 2 cắt đồ thị hàm số y =

1x

3x)1m2(

mx2

−

++

1x

x2+

ax

x2+

++

−

a) Tìm a để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm A(2 , 0) Khảo sát và

vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm được

b) Tìm a để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = x -1 tại 2 điểm M1(x1, y1) và

M2(x2, y2) Tìm hệ thức liên hệ giữa y1 và y2 không phụ thuộc vào a

 ĐS : b) a< − −6 4 2 hoặc a> − +6 4 2 ; y1 + y2 + 1 = y1y2

8) Tìm m để đường thẳng y = - x + m tiếp xúc với (C) : y =

1x

4x

3x)1m(

x2+

−+

với parabol (P) : y = x2 + 5

 HD và ĐS : Tiệm cận xiên y = 2x + 1 – m ; m = - 3

b) Gọi (Dm) là tiệm cận xiên của (Cm) Tìm m sao cho (Dm) tạo với 2 trục tọa

độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đơn vị diện tích)

8) a) Chứng minh nếu đồ thị hàm số y = x3 + ax2 + bx + c cắt trục hoành tại 3 điểm

cách đều nhau thì điểm uốn của đồ thị nằm trên trục hoành

b) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 2m(m – 4)x + 9m2 – m Tìm m để đồ thị hàm số cắt

trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau

 ĐS : b) m = 1

9) Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 1 Tìm điều kiện đối với a, b để đường thẳng y = ax

+ b cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A, B, C với B là điểm giữa của AC

 ĐS : m = 1, m = 35

27, m = 4 2 6±

* Số nghiệm của phương trình ax + bx 4 + c = 0 2

1) Với những giá trị nào của tham số m thì đồ thị của hàm số :

y = x4 + 2(m – 2)x2 + m2 – 5m + 5 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

3) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + (2m + 1) cắt trục hoành tại 4 điểm cóhoành độ lập thành một cấp số cộng

 ĐS : m = 4

9

− , m = 4

4) Tìm m để (Cm) : y = x4 + 2mx2 + 3m + 4 cắt trục hoành tại 4 điểm trong đó 1 điểm

(*) có n nghiệm ⇔ có n đường cong (Cm) đi qua Mo

(*) vô nghiệm ⇔ Họ (Cm) không đi qua Mo

(*) có vô số nghiệm ⇔ Họ (Cm) luôn đi qua Mo (hay Mo là điểm cố định của

• Biến đổi y = f(x, m) thành phương trình nhận m là tham số

• Để họ (Cm) không đi qua M thì phương trình trên vô nghiệm Từ lý luận đó rút

 BÀI TẬP :

1) Tìm những điểm trên đường thẳng x = 3 sao cho hàm số :

y = x3 – 3mx2 + (2m2 – 1)x + m2 – 5m + 2 đều không đi qua

 ĐS : (3, y) với y < 74

7

−2) Cho hàm số y = (m 2)x (m2 2m 4)

x m

− − − +

− Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà

đồ thị hàm số không thể đi qua dù m lấy bất kì giá trị nào

 ĐS : x – 6 < y < x + 2

3) Tìm điểm trên đường thẳng x = 2 sao cho có đúng 1, 2, 3 đường cong :

y = x3 + (m2 + 1)x2 – 4m đi qua

 ĐS : i) 1 đường : (2, 11) ; ii) 2 đường : (2, y) với y > 11

iii) 3 đường : không có

4) Cho họ đường cong (Cm) : y = (m 1)x2 m2

Họ (Cm) có điểm cố định Mo(xo, yo) và y’(xo) không phụ thuộc m

Trường hợp này (∆) là tiếp tuyến chung của họ (Cm) Ta có

 BÀI TẬP :

1) Tìm parabol cố định tiếp xúc với họ đường thẳng (∆m) : mx – y – m2 = 0

1

2) Chứng minh họ đồ thị (Cm) của hàm số y = x3 + mx2 – (m + 1)x + m – 1 luôn tiếp xúc lẫn nhau.

b) Chứng minh các tiệm cận xiên của (Cm) luôn tiếp xúc với một parabol cố định

4

= − + − _

Chủ đề 4

HỆ SỐ GÓC - TIẾP TUYẾN

I HỆ SỐ GÓC :

1 Định nghĩa : Nếu đường thẳng (∆) nghiêng với trục

Ox một góc α thì k = tgα được gọi là hệ số góc của

y – yo = k(x – xo)

3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm :

f ’(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong y = f(x) tại điểm có hoành

6) Cho hàm số (Hm) : y = mx 4

x m

++a) Chứng minh họ (Hm) luôn qua 2 điểm cố định A, B

b) Tìm m để tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau

 ĐS : a) A(-2 , -2) , B(2 , 2) ; b) m = 0

7) Cho hàm số (C) : y = x2 2mx m

x m

− ++a) Chứng minh nếu (C) cắt Ox tại điểm có hoành độ x = xo thì hệ số góc của tiếptuyến tại đó là k = 2( o )

o

−+b) Tìm m để (C) cắt Ox tại 2 điểm A, B sao cho hai tiếp tuyến tại đó vuông góc nhau

8) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x + 2

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

x3 – (m + 3)x + 2 = 09) Cho hàm số (C) : y = mx2 (m 1)x m2 m

x m

+ − + +

−a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1, từ đó suy ra đồ thị của hàm số (C’) : y =

2 21

x x

+

−b) Tìm điểm xo để ∀m ≠ 0 tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ xo song song với một đường thẳng cố định Tìm hệ số góc của đườngthẳng cố định ấy

 ĐS : b) xo = 0 , k = -2

10) Chứng minh trên đồ thị hàm số y = 1

1

x x

+

− có vô số cặp điểm sao cho tiếp tuyến tại

đó song song nhau

11) Cho hàm số (Ck) : y = − −x4 kx2+ +k 1

a) Chứng minh (Ck) luôn đi qua 2 điểm cố định A, B

b) Tìm k để các tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau

 ĐS : a) A(1 , 0) , B(-1 , 0) ; b) k 5 , k 3

= − = −12) Tìm m để đồ thị hàm số y = (1 – m)x4 – mx2 + 2m – 1 nhận đường thẳng :

y = 2x – 2 làm tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1

 ĐS : m = 1

3

III PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :

A Tiếp tuyến tại tiếp điểm :

Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) tại A(xo, yo) :

y – yo = f ’(xo)(x – xo)

 Bài toán :

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) có hệ số góc k

 Phương pháp

• Giải phương trình f ’(x) = k ta tìm được hoành độ tiếp điểm xo

• Thay vào biểu thức hàm tìm được yo

• Tiếp tuyến có phương trình : y – yo = f’(xo)(x – xo)

 ĐS : m = -1, y = x + 1 ; m = 1, y x 3

− = −

7) Cho hàm số (C) : y = x 1

x 1

+

−a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −2x

c) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x 1 2x m

• Lập luận (*) có nghiệm kép dẫn đến ∆(k) = 0 Từ đó tìm được k

 Phương pháp 2 : (Tiếp điểm)

• Gọi (∆) là đường thẳng đi qua Mo(xo, yo) với hệ số góc k

 ĐS : y = 12x + 2

2) Cho (C) : y = x2 x 1

x

− + Chứng minh từ điểm M(2 , -1) có thể vẽ được 2 tiếp tuyếnđến (C) và 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau

3) Định m sao cho qua A(0 , 1) không có đường thẳng nào tiếp xúc với đồ thị của

hàm số : y = 2x2 mx m

x 1

+ ++ .

5) Cho (C): y = x2 x 3

x 2

+ −+ Tìm các điểm trên Ox có thể vẽ đến (C) một tiếp tuyến.

b) Tìm những điểm trên trục tung sao cho từ đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyếnđến (C)

 ĐS : ( 0 , b) với b ≤ 3

 BÀI TẬP : (Tiếp tuyến)

1) Cho (C) : y = 2x3 + 3x2 – 1 Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1, 4) và tiếp

xúc với (C)

 HD : (x – 1)(2x2 + 5x + 5 – k) = 0

ĐS : y = 15x 17

8 + 8 và y = 12x – 8 2) Cho (C) : y = x3 – 3x + 1 Viết pttt với (C) đi qua điểm M(2, 1)

5) Cho (C) : y = x3 – 3x2 + 2 Tìm trên đường thẳng (d) : y = 2 các điểm từ đó có thể

kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc

6) Cho (C) : y = 4x3 – 3x Viết pttt với (C) tại điểm uốn chứng minh các tiếp tuyến

tại các điểm khác của đồ thị không đi qua điểm uốn

Khi đó f(x) được gọi là đạt cực tiểu (cực đại ) tại xo ; f(xo) là giá trị cực tiểu (cực đại)

của f(x) ; M(xo, f(xo)) là điểm cực tiểu (cực đại) của đồ thị

Cực tiểu và cực đại gọi chung là cực trị

2) Điều kiện cần để có cực trị :

Định lí : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo và đạt cực trị tại xo thì : f

’(xo) = 0