Luận văn thạc sĩ khoa học vật chất đại số lượng tử su

Gần đây nhóm lượng tử và đại số của chúng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán bởi vì những quan điểm ứng dụng của chúng trong các mẫu vật lý và tron

LOI CAM ON

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc dén PGS.TSNguyén Thi Ha Loan,

người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau

Đại học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư,

Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, tryền đạt cho tôi những kiến thứcquý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời g1an qua

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân

trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Hà Nói, 15 tháng 07 năm 2013

Tác giá

Nguyễn Thị Vân Anh

LOI CAM DOAN

Tên tôi là: Nguyễn thị Vân Anh, hoc viên cao học khóa 2011 — 2013

chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toãn — Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan đề tài: “Đại số lượng tử SU(3)”, là kết quả nghiên cứu

và thu thập của riêng tôi Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác Nếu có gì không trung thực trong luận

văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đông khoa học

Hà Nội,I5 tháng Ø7 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Vân Anh

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cỨu + 2© 2 k+ EE£keEe£k£EeEErkerrkrreee 2

5 Phương pháp nghiÊn CỨU - - - - G G G52 0031883 91018 1 1011 19 0 1 ngờ 2

6 Câu trúc luận văn tt Sex SxSEE E111 118 1131 111kg re rke 2

NOI DUNG wu ::++£ŸÝ- 3

Chương 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 3

1.1 Dao động tử điều hòa . ¿5-52 Se SE EEE E1 1 113111 11 xe 3 ISDHN) a6: 0n 3 1.1.2 Dao động tử Fermion - (Go ng rrh 8 1.2 Dao động tử biến dạng dq -. - 2 k4 SE E3 v11 kg rrreở 9 1.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q - ©- - 7< scxesexcecxd 9 1.2.1.1 Dao động tử Boson biển dạng đơn mode s-s-s5s 9 1.2.1.2 Dao động tử Boson biến dạng ẵa mode - 5-5 55+ 16 1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q 5© 2s 2 szSe£ 18 1.2.2.1 Dao động tử Fermion biến dạng đơn mode - 18 1.2.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng ẵa mode - 20 1.2.3 Dao động tử có thống kê vô hạn ¿- + 5-5 5s cscc+£scse£ 22 1.3 Dao động tử biến dạng pD,d - + 52 ©<Se SE E3EEEkE E1 cv rkg 23

Chương 2: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(), 5c 55c55cccccsecse2 26

5?» 18.806) 0 4 31

Churong 3: DAI SO LUQNG TU SU(3)pq «-+s+sessessesssessessessessecsessesseeseesessen 34

3.1 Đại số SU(3)pq va biểu diễn đao động của đại số SU();¿ 34

3.2 Hệ thức khối lượng của tắm hạt Baryon seceseceeceeeucesceeceeusecsesaueuecesseeeees 36

KẾT LUẬN . - 5 SE E3S S31 3 1131115111111 1511.1111 1L, 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 2-2-5 2 S4 EE£E+EE+EEEEEEEeEErEersrkrseee 44

MO DAU

1 Ly do chon dé tai

Lý thuyết đối xứng đóng vai trò cơ bản trong vậtlý lý thuyết Ngôn ngữ toán học của đối xứng là lý thuyết nhóm Sau sự phát triển của mẫu quark là

lý thuyết Gauge không abelian của tương tác mạnh và tương tác điện yếu, sự

hiểu biết những nhóm Lie đã trở thành cân thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết

hạt cơ bản Nhóm Lie ngày càng trở thành công cụ chủ yếu của vật lý lý thuyết hiện đại như giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lý thuyết nhóm

vô hạn

Đại số của nhóm Lie xuất hiện đã lâu song gần đây do đòi hỏi ứng dụng của nó trong nghiên cứu vật lý mà V I Drinfeld đã lượng tử hóa đại số của

nhóm Lie lam nay sinh cầu trúc đại số biến dạng hay còn gọi là đại số lượng

tử Gần đây nhóm lượng tử và đại số của chúng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán bởi vì những quan điểm ứng dụng của chúng trong các mẫu vật lý và trong mối liên quan với lời giải các phương trình vi phân phi tuyến Chúng liên quan đến những vẫn đề đa dạng như nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang-Baxter lượng tử, lý tuyết trường comformal hữu tỷ lý tuyết trường hai chiều với những thống kê phân số Đại

số lượng tử có thê được xem như sự biến dạng phụ thuộc vào một hoặc nhiều

tham số của đại số Lie thông thường

Đại số lượng tử có thé duoc xem như sự biến dạng của đại số Lie cổ

điển Trong trường hợp tổng quát sự biễn dạng này có thể phụ thuộc vào một hoặc nhiều thông số Đại số lượng tử SU(3) mô tả đối xứng spin đồng vị của các hạt cơ bản Và từ đại số SU(3) có nhu cầu mở rộng thành SU@) biến dạng

phụ thuộc một thông số hoặc nhiều thông số Sự biến dạng phụ thuộc vào một

thông số q đưa đến đại số biễn dạng SU(3), Dai số lượng tử SU(3),¿ được

khảo sát như sự biến dạng phụ thuộc hai thông số (p,q) của đại số Lie thông thường của nhóm Unita SU(Q3), để đạt được điều này chúng tôi xây dựng dao

động điều hòa biến dạng hai thông số (p,g) Đại số lượng tử SU(3),„ là một trường hợp đặc biệt của đại số SU(3),„ trong trường hợp giới hạn p=q Khi

thông số biễn dạng tiến đến một gia tri gidi han nào đó thì đại số biễn dạng sẽ trở về đại số chưa biến dạng, và như thế đại số biến dạng sẽ tong quat hon dai

số chưa biến dạng Từ đó hy vọng đại số biến dạng sẽ mô tả hiện tượng vật lý gân với thực nghiệm hơn

Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “đgi số lượng tử SU(3)”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài: “ đại số lượng tử SU@)” là đi nghiên cứu đại số lượng tử SU@3) biến dạng một hoặc nhiều thông số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đại số lượng tử SU(3), biểu diễn của đại số lượng tử SU@)

4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Nghiên cứu đại số SU@), đại số lượng tử SU(3), va dai số lượng tử SU(3)pq

5 Phuong pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của vật lý lý thuyết và vậy lý toán Sử dụng các phương pháp của nhóm đối xứng và đại số lượng tử

6 Cấu trúc luận văn

Chương 1: Hình thức luận dao động tử lượng tử

Chương 2: Đại số lượng tử SU(3),

Chương 3: Đại số lượng tử SU(3)pq

NOI DUNG

CHƯƠNG 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ

Trong chương này, chúng tôi sẽ viết tổng quan về các dao động tử

lượng tử, dao động Boson biến dạng, dao động tử Fecmion biến dạng, dao

động tử p,q và tính phố năng lượng của các dao động tử

1.1 Dao động tử điều hòa

=a Nhu vay:

Dua vao khong gian Fock voi \n) là trạng thái riêng của toán tử số hạt

có n dao động tử ứng với trị riêng n:

_(#) In) =" 0)

Ta phái chứng minh biêu thức (1.1.6) đúng với n = k+1:

la(a'}” |=a'|a(ø`} |+[a«e* ]'}

=a'k(a'} +(a*)

=(k+1U)(a'}

Vậy phương trình (1.1.6) đúng với n = k+1 Suy ra (1.1.6) đúng với mọi n

Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P liên hệ với các toán tử hủy, sinh dao động 4,” như sau:

Thé (1.1.1) vao (1.1.7) suy ra:

Toan tr Hamiltonian mo ta dao động tử điều hòa được biểu diễn theo

các toán tử sinh, hủy dao động tử 4”, znhư sau:

Nhận xéi: Công thức (1.1.10) là công thức xác định năng lượng của dao

động tử điều hòa một chiều

1.1.2 Dao dong tw Fermion

Hệ thức phản giao hoán của dao động từ Fermion có dạng:

{b,b`} =1

2 +

b? =(b*) =0 Trong do:

b: la toan tử hủy dao động tử b”: là toán tử sinh dao động tử Toán tử số đao động N co dang:

Đại số (1.1.13) có thể thực hiện trong khoảng không gian Fock với cơ

sở là vector da chuan hoa cua toan tử sô dao động N:

1.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q

1.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q

1.2.1.1 Dao động tử Boson biến dạng don mode

Dao động tử Boson don mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy và sinh dao động tử a,a” tuân theo hệ thức giao hoán sau:

trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động

10

Trong phuong trinh (1.2.1) néu q=1 thì trở về hệ thức dao động tử điều hòa (1.1.1):

|a,a* |=1 Toán tử số dao động tử N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:

Đưa vào không gian Fock với |n) là trạng thái riêng của toán tử số hạt

có n dao động tử ứng với trị riêng n:

Như vậy phương trình (1.2.6) đúng với n=0, 1, 2

Giả thiết phương trình (1.2.6) vẫn đúng với n=k, tức là:

a'a|9, =[*],|k),

Bây giờ ta chứng minh nó sẽ đúng với n=k +1 nghĩa là:

Tính hệ thức giao hoán của toán tử số N với A và A”:

Từ hệ thức giao hoán biến dạng cơ bản (1.2.1) và công thức (1.2.8) ta

lam bién déi sau:

trong đó: [m] =4 5 = là hàm cấu trúc (ở đây ký hiệu B dành cho Boson) a?—

Trong không gian Fock ta có:

ta có thê kêt luận răng các toán tử hủy, sinh của hệ Boson q — biên dạng và

không biến dạng có thê biểu diễn qua nhau nhờ hệ thức (1.2.14).

n=0,1,2,

16

1.2.1.2 Dao động tử Boson bién dang da mode

Đối với các dao động tử Boson biến dạng q với định nghĩa (1.2.1), (1.2.11) việc mở rộng cho hệ đa mode hoàn toàn đơn giản

Dao động tử Boson biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy z;,a, theo hệ thức giao hoán sau:

a,a; -| (q-1)6, +1 aja, = 6,9 (1.2.19) Khi z=l thì phương trình (1.2.31) tré thanh:

17

Khi i= jthi | N,.a7 |=a",

Hay | N,a* |=a"

Khi đó hệ thức giao hoán giữa toán tử sô N, với các toán tử sinh, hủy

a, ,a; lai tro về dao động tử Boson đơn mode thông thường

Để khử N, trong phương trình (1.2.19) ta dùng các toán tử sinh, hủy

A; ,A, được định nghĩa theo công thức đưa vào toan tử A;, A, có liên hệ với

+

đ,,đ, theo hệ thúc:

A,=q""a,,A; =a;q" (1.2.26) Biểu diễn a;,ø, thong qua A*, A:

Tính hệ thức giao hoán của toán tử sô N, với toán tử A;,A Ji

|M,.A, | = |A,.4”5a, |

18

_ _N;/2 +

=q "0,4;

= 6A;

Thay (1.2.27) vào phương trình (1.2.19) ta có:

a;a; — IG — 1)6, + 1| aa; = ông ”" ,

q 2A.Arad "2 —|(a—1)ố,+1 |4 "2A?a 7A, = 5,q™,

4 ”AA? ~[(a~1)ãi +1]Ajg "A =öjg ”,

A,A; -| (q? -1)6, +1 | AFA, = 6)

Suy Ta:

và thỏa mãn hệ thức giao hoán:

IN,.A,|=-8;A,| M,.A; |=ổ;A7: (1.2.30) 1.2.2 Dao động tứ Fermion biến dạng q

1.2.2.1 Dao động tử Fermion biến dạng đơn mode

Dao động tử Fermion biến dạng q được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy b”,b như sau:

Khi q=l ta có dao động tử Fermion théng thuong bb” +b b=1 và

nguyên ly Pauli là hệ quả trực tiếp tr b’ =(b*) =0

Toán tử Hamiltonmian được biêu diễn qua toán tử tọa độ Q và toán tử

n

h | t[N +1} )|n), =E

1.2.2.3 Dao động tử Fermion biến dạng đa mode

Dao động tử Fermion biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử

sinh, hủy ƒ j> ƒ,theo hệ thức giao hoán sau:

ƒ77 +|(a-=1)8¡+1|7?#=ô", (1.2.39)

Khi g =1 thì phương trình (1.2.39) trở thành:

Khi đó thống kê biễn dạng q trở về thống kê Fermi — Dirac

Khi đó hệ thức giao hoán giữa toán tử số N, với các toán tử sinh, hủy

ƒ; › ƒ; lại trở về dao động tử fermion đơn mode thông thường

Toán tử số dao động tử điều hòa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị

trong phương trình (1.2.39) ta dùng các toán tử sinh, hủy Ƒ,F, được định

nghĩa theo công thức đưa vào toán tử # 7 oF co lién hé voi f > f, theo hé l

1.2.3 Dao động tử có thông kê vô hạn [10]

Khải niệm vô hạn được Greenberg định nghĩa (năm 1990) là biểu diễn

qua những số hạng của toán tử sinh a”, toán tử hủy a trong khuôn khổ lý thuyết trường:

1.3 Dao động tử biến dang p,q

Xét những toán tử z,,z, liên hợp của chúng 2;,a; được định nghĩa

24

O đầy N, được gọi là toán tử số đao động được định nghĩa từ những

toán tử a,,4; như sau:

Từ (1.3.3) có thể chứng minh được rằng ø?,z, là những toán tử sinh và

hủy tương ứng Tác dụng của những toán tử đó lên những trạng thái riêng

|), có thê được chọn sao cho:

25

Nhờ những hệ thúc:

a(at} = *(a Ÿ 4 +[e]„(á} ah

1

as(as) =a" (03) 05 +f0], (as) a"

Có thê chứng minh các trạng thái riêng (1.3.7) là trực chuẩn Những

26

CHUONG 2: DAI SO LUQNG TU SU(3),

Trong chương này chúng tôi sé trinh bay, dai s6 SU(3) va dai sé SU(3)q

đại số SU(3) qua các toán tử boson

[G,,£, |=0,

[G;.E„|= £„Fa

[Gi.F„|=—£e„¿F2

[G,,F,]=0, [G,,H, |=-G, [G,,H,]=G,,

30

=> aa; =1+a;a,

| a,,a; |=1=> 4,0} — aja, =]

=> a,a, =1+a,a, Có:|a,,a;|=0 => a4; =a,a,

[E,.F,]=a; (1+ aja, )a, -a} (1+ aya, )a,

=a, a,+a,/a,a,a, —da a, —a,a,aa,

=a; (1+a}a,)a,— a; (1+a/a, Ja,

=) a, + a; a;a,a, — a;a, —a;a; a,a,

31

2.2 Đại số SU(3)„

Đại số lượng tử SU@), có các vi tử Z,, F,, H, (@=1,2) ma ching

tuân theo những hệ thức giao hoán

Biến đạng q của hình thức luận dao động diéu hoa cho SU(3) „ được

thực hiện bằng cách đưa vào hai loại dao động a,,ø,,a, và b,,b,,b, cùng với

những liên hợp héc mít của chúng, thỏa mãn những quy tắc giao hoán

32

|N,], =a,a,—b,b.,

Na, | =-4,Ô,,

|N,,b, |= b,ỗ;, Đại số (2.1.6) có thể được thực hiện bằng cách đặt

E.=aia,—b;b, h=a¿a-bb,,

M =a) RE + F,E, -[R„F,||E„E,]+2(H? +H}+H,H,)+H, LH, bà

1) BF + E,F, -[E.E,][F.F;]+-(H; +H} +H,H,)-H, Hy} 3

(2.2.4)

rdf BR +E,F, -[R„E;||E„E,]+2(H? +H? + HyHl,)* Hy}

1° :Ả 1Ã LÀ

nhóm tám baryon 2) được biêu diên băng

~~ Ọ ~~ ;b;) À3; ~

34

CHUONG 3: DAI SO LUQNG TU SU(3)p,

Trong chương nay chúng tôi sẽ nghiên cứu về đại số SU(3)pq va biéu

+

diễn dao động của đại số SU(3);„, hệ thức khối lượng tám hạt Baryon ;

3.1 Đại số SU(3),„ và biểu diễn dao động của đại số SU(3)„„

Tương tự đại số biến dạng một thông số chúng tôi đưa ra khái niệm nhóm lượng tử SU(3),„¿ mà đại số của nó sinh ra bởi những toán tử E„,Ƒ, H_(œ =1,2) tuần theo những hệ thức giao hoán [7]:

Hé thirc (3.1.1) ding voi p, q tong quat E,,F,,H,(a=1,2) la nhiing

hàm sinh Trong trường hợp giới hạn p=q thi [x] —>[x] và đại số lượng tử

SUG@),„ (3.1.1) trở về đại số lượng tử SG), (2.1.6)