NGHIÊN CỨU VAI TRÒ CỦA ISOSPIN TRONG CHẤT HẠT NHÂN BẤT ĐÔI XỨNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ

Thực tế thì cả hai hình thức luận là tương đươngnhau trong việc giải quyết các bài toán cụ thể, mặc dù trong một số trường hợp thìhình thức này có thể có ưu thế hơn hình thức luận kia: V

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý trường ĐH SưPhạm Hà Nội, cũng như các thầy cô trong trường đã giảng dạy, giúp đỡ chúng tôinhiệt tình trong khoá học này.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn phòng Sau đại học, các phòng ban, thư việntrường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ, và cũng xin chânthành cảm ơn những bạn bè, đồng nghiệp, đoàn thể cơ quan trường THPT Lạc Thủy

B đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi để tôi hoàn thành luận văn này

Do được hoàn thành trong một khoảng thời gian hạn chế và mới bước đầulàm quen với nghiên cứu khoa học độc lập, luận văn không tránh khỏi những thiếusót Tôi rất mong nhận được mọi ý kiến đóng quý báu và chỉ bảo của thầy cô, bạn bè

và đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh hơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Tác giả

Đỗ Thanh Phong

STT Kí hiệu viết tắt Chú thích

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích đề tài 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ của đề tài 2

5 Phương pháp nghiên cứu của đề tài 2

6 Cấu trúc của luận văn 2

Chương I: THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 3

1.1 Hình thức luận tích phân đường và thời gian ảo 4

1.2 Hình thức luận toán tử 11

1.3 Hàm phổ ρ(kk0) 12

1.4 Hàm truyền Matsubara (khoặc thời gian ảo) 14

1.5 Hàm truyền trật tự thời gian (kthời gian thực) 16

1.6 Việc lấy tổng theo tần số 17

Chương II: LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Ở NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN 21

2.1 Trường vô hướng thực trung hòa 21

2.1.1 Định lý Wick và hàm truyền 22

2.1.2 Hiệu chỉnh cấp một: hàm truyền và tổng thống kê 25

2.1.3 Các quy tắc Feynman 30

2.2 Hình thức luận thời gian thực 31

2.2.1 Tích phân đường 31

2.2.2 Tích phân đường và hàm truyền 35

2.2.3 Quy tắc Feynman với hàm truyền đối xứng 39

2.3 Năng lượng riêng trong hình thức luận thời gian thực 41

2.4 Tái chuẩn hóa ở nhiệt độ khác không 44

Chương III: VAI TRÒ CỦA BẬC TỰ DO ISOSPIN TRONG CHẤT HẠT

NHÂN BẤT ĐỐI XỨNG 47

3.1 Thế hiệu dụng ở gần đúng một loop 47

3.2 Các phương trình trạng thái 52

3.3 Nghiên cứu số 53

3.4 Kết quả và thảo luận 57

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 3.1 Sự phụ thuộc của năng lượng liên kết vào mật độ barion 54 Hình 3.2 Sự phụ thuộc mật độ của khối lượng nucleon hiệu dụng tại α = 0, 2

và một vài nhiệt độ 55 Hình 3.3 Phương trình trạng thái ở nhiệt độ xác định và α khác nhau 56 Hình 3.4 Năng lượng liên kết tại T = 20MeV ứng với một vài giá trị α 57

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cùng với thành công của mô hình Walecka, một mô hình chất hạt nhân màtrong đó chỉ bao gồm bậc tự do nucleon đã được đề xuất [11], [12] Thông qua sựtương tác trực tiếp giữa các nucleon mà các trạng thái liên kết giống như meson,

dù mô hình bốn nucleon đã mô tả thành công nhiều tính chất của hạt nhân, mô hìnhnày vẫn chưa đề cập đến tính chất bất đối xứng giữa proton và neutron tức là chưanghiên cứu vai trò của isospin Chính vì vậy, yêu cầu cấp thiết là phải mở rộngnghiên cứu sang các chất hạt nhân bất đối xứng vì những thông tin về chúng có vaitrò hết sức quan trọng để hiểu được hàng loạt các vấn đề thời sự của thiên văn họcnhư sự tồn tại của các sao neutron, sự hình thành các sao siêu mới, tốc độ nguội củacủa các sao

2 Mục đích đề tài

Luận văn này được thực hiện nhằm các mục đích sau:

1 Tìm hiểu lý thuyết trường ở nhiệt độ và mật độ hữu hạn

2 Nghiên cứu ảnh hưởng của các bậc tự do isospin đến các tính chất của chấthạt nhân thuộc vùng giữa chất hạt nhân đối xứng và vật chất thuần chứa neutron

3 Đối tượng nghiên cứu

Là chất hạt nhân được mô tả bằng mật độ Lagrangian có dạng

4 Nhiệm vụ của đề tài

1 Tìm hiểu lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn và viết tổng quan

2 Tìm biểu thức giải tích cho thế nhiệt động, từ đó rút ra các phương trìnhtrạng thái và thực tính số để nghiên cứu ảnh hưởng của bậc tự do isospin đến cácquá trình biến đổi trạng thái của chất hạt nhân bất đối xứng

5 Phương pháp nghiên cứu của đề tài

Sử dụng các phương pháp đang được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết trườnglượng tử: phương pháp khai triển loop, kỹ thuật giản đồ Feynman, phương pháptính số bằng máy tính điện tử…

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn này trình bày các kết quả thu được khi thực hiện những mục đích

đề ra và được cấu trúc như sau: ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo làphần chính gồm 3 chương:

Chương I: Thống kê lượng tử.

Chương II: Lý thuyết trường ở nhiệt độ và mật độ hữu hạn.

Chương III: Vai trò của bậc tự do isospin trong chất hạt nhân bất đối xứng.

Chương I: THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ

Chúng ta hãy bắt đầu tìm hiểu nội dung chủ yếu của chương này: lý thuyếttrường ở nhiệt độ và thế hóa học khác không Như đã biết, để nghiên cứu lý thuyếttrường ở nhiệt độ không ta có thể sử dụng hai hình thức luận: Hình thức toán tử vàhình thức luận tích phân đường Thực tế thì cả hai hình thức luận là tương đươngnhau trong việc giải quyết các bài toán cụ thể, mặc dù trong một số trường hợp thìhình thức này có thể có ưu thế hơn hình thức luận kia: Ví dụ, việc lượng tử hóatrường Gauge sẽ đơn giản hơn nhiều nếu ta sử dụng hình thức luận tích phân đường.Điều này cúng đúng trong trường hợp lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn: cả haihình thức nói trên đều có thể sử dụng được và ta có thể chuyển từ hình thức luậnnày sang hình thức luận kia

Vì trường hợp đơn giản nhất của lý thuyết trường là lý thuyết trường với sốchiều không gian bằng không, hay nói cách khác chính là cơ học lượng tử, nênchúng ta sẽ bắt đầu bằng việc trình bày ngắn gọn về cơ học lượng tử ở nhiệt độ hữuhạn hoặc một cách tương đương là vật lý thống kê lượng tử Trước hết, chúng tatiếp cận vấn đề bằng hình thức luận tích phân đường và sau đó sẽ trở lại hình thứcluận toán tử quen thuộc Chúng ta sẽ đặc biệt quan tâm tới tích thứ tự thời gian (kcòngọi là T- tích) của các toán tử tọa độ mà nó sẽ được mở rộng cho các toán tử trườngtrong lý thuyết trường

Ở nhiệt độ không, để thuận lợi cho tính toán người ta thường thực hiện việckéo dài giải tích từ thời gian thực sang thời gian ảo: t   iτhoặcx0   ix4 Với

τ (khoặc x4) là số thực Điều này cũng có nghĩa là ta chuyển từ không gianMinkowski sang không gian Euclidean, vì các metric của không gian Minkowskichuyển thành metric của không gian Euclidean (kvới việc đổi dấu):

Trong không gian xung lượng phép toán tương ứng là: k0   ik4 Như saunày sẽ thấy việc sử dụng không gian Euclidean khi nghiên cứu ở nhiệt độ hữu hạn

chương này sẽ được dành cho một nhận xét ngắn về các hình thức luận tích phânđường trong thời gian ảo.

1.1 Hình thức luận tích phân đường và thời gian ảo

Trong hình thức luận thông thường của cơ học lượng tử, các đại lượng vật lýđược biểu diễn bằng các toán tử tuyến tính Hermite tác dụng trong không gianHibert của các vectơ trạng thái Hình thức luận tích phân đường của cơ học lượng tửđược xây dựng trực tiếp vào khái niệm hàm truyền Để đơn giản cho các lập luận ta

sẽ giả thiết chỉ có một tọa độ không gian Tuy nhiên, giả thiết như vậy không làmmất tính tổng quát của các kết quả vì ta dễ dàng suy rộng cho trường hợp có nhiềutọa độ

thái ở thời điểm muộn hơn tfthì hiển nhiên theo nguyên lý chồng chất có thể viết:

Ψ(kq , t )F(kq , t , q , t )Ψ(kq , t ) dq (k1.2)Như vậy F(kq , t , q , t )f f i i cho phép xác định vector trạng thái ở thời điểm tf

khi biết vector trạng thái ở thời điểm ti F(kq , t , q , t )f f i i được gọi là hàm truyền và

có thể thấy rằng đó chính là đại lượng quen thuộc trong cơ học lượng tử: biên độ

Thật vậy, trước hết ta chú ý rằng vector trạng thái Ψ(kq, t) chính là:

s

trong đó Ψ t s là vector trạng thái trong biểu diễn Schodinger liên hệ với vector

trạng thái Ψ H trong biểu diễn Heisenberg bằng hệ thức:

i H t s

ta sẽ có: Ψ(kq, t)  qt Ψ ,H

Mặt khác, do tính chất đầy đủ của hệ các vector trạng thái ta có:

q t   q t q t dqhay

Vì vậy hàm truyền là biên độ xác suất chuyển dời lượng tử

Trong cơ học lượng tử thông thường, chuyển động của một hạt trong một trườngthế không phụ thuộc thời gian V(kq) có thể được mô tả bởi biên độ xác suất ' '

F(kq , t ;q, t) đểtìm thấy hạt ở vị trí '

q tại thời điểmt' ,khi biết được vị trí q tại thời điểm t

trong đó ˆHlà Hamintonian không phụ thuộc vào thời gian; để đơn giản chúng ta xétchuyển động một chiều và sử dụng hệ đơn vị tự nhiên trong đó 1;c 1 Sau nàybất cứ khi nào cần tránh sự nhầm lẫn, ta sẽ sử dụng dấu mũ để biểu thị tác động củatoán tử trong không gian Hilbert các trạng thái

Chi tiết về biểu diễn tích phân đường của F có thể tìm thấy trong [1] nên ta

sẽ không mô tả chi tiết ở đây và chỉ quan tâm đến sự kéo dài giải tích của nó sangthời gian ảo:

Chúng ta hãy rút ra biểu diễn tích phân đường cho F trong (k1.7) Chia khoảng

1 2 l

2 τ

Z (kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn) dq q e  q

Rõ ràng là e β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơnHˆ có thể được hiểu như một toán tử tiến triển trong thời gian ảo Sosánh với (k1.7) ta thấy:

Z (kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn) dq F q,  iβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn; q, 0 (k1.18)

Do đó Z (kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn) có thể được biểu diễn như tích phân đường:

2 q(kτ)exp S (kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn)

Ở đây việc tích phân được thực hiện theo mọi đường với điều kiện biên

cụ thể là trên mọi đường với chu kỳ β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn trong thời gian ảo

Chuyển sang lý thuyết trường lượng tử, thay cho tổng thống kê ta định nghĩaphiếm hàm sinh với sự có mặt của nguồn ngoài j bằng biểu thức:

β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

S β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

1 δ Z(kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn, j) 1

ˆ 1 ˆ 2  β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn 1 β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơnHˆ ˆ 1 ˆ 2 

T q(k iτ ) q(k iτ ) Tr e T q(k iτ ) q(k iτ )

Z(kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn)

Chúng ta nhớ lại rằng trung bình nhiệt ˆA β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn của toán tử ˆA được xác định bởi:

 β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơnHˆ

β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

Sau đó đưa vào một bộ đầy đủ các trạng thái riêng của tọa độ tại “thời gian”

τ1 và τ2 rồi lặp lại quá trình sẽ dẫn đến tích phân đường (k1.19) Cũng trực tiếp thấyrằng Z (kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn, j) có thể được viết dưới dạng toán tử:

β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn 0

ˆ β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơnH

 ˆ ˆ  β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn  ˆ ˆ  β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

T q(k iβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn) q(k iτ)    T q(k0) q(k iτ)  (k1.29)

Trên đây chúng ta chỉ giới hạn τ nằm trong khoảng [0,β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn]; trong phần sau ta

sẽ thấy rằngΔ(kτ) được xác chủ yếu trong khoảng [β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn, -β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn] Khi đó tính hoán vị vòng

quanh của vết cho phép ta định nghĩa hàm Δ(kτ) tuần hoàn trong thời gian ảo:

 ˆ ˆ  β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

Với mục đích đơn giản các công thức và giúp cho việc nghiên cứu ở chươngsau thuận tiện, ta đã đặt m = 1 Trước hết ta hãy tính T- tích của các toán tử tọa độ(k1.23) mà sẽ được khái quát thành hàm truyền của trường tự do Ta sẽ sử dụngphương pháp tích phân đường (kcác kết quả này cũng sẽ thu được dưới đây khi sửdụng hình thức luận toán tử) Dễ dàng tính được phiếm hàm sinh Z(kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn, j) vì sau khitiến hành việc tích phân từng phần trong SE (kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn) sẽ cho tích phân Gaussian:

2 β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

2 2 0

q 0 = q β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

(kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn; j)

(kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn)

d ω

exp β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn ω 1

ˆ ˆ

β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơnH ˆ β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơnH ˆ

e q(kt) e q(kt +gτδgγωgγτΨ + iβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn)

Khi đó điều kiện tuần hoàn (k1.31) của Δ(kτ) được suy ra từ hệ thức KMS (k1.42).

Cuối cùng, với các giá trị thực của t, t'ta định nghĩa hàm truyền trật tự thời gian:

suy ra rằng D<(kk0) và D>(kk0) là các hàm thực của k0 Hàm phổ ρ(kk0) được xác địnhbằng biểu thức:

n

2 0

   

ik t 0

0 -







Cũng có thể thu được quy tắc lấy tổng này từ việc vận dụng (k1.51)

Cuối cùng, ta hãy viết ra sự tương tự của hàm truyền trong cơ học lượng tử

Dễ dàng tìm được dạng của toán tử tọa độ trong trường hợp dao động tử điều hòavới m =1

1ˆq(kt) = ae +gτδgγωgγτΨ + a e

1.4 Hàm truyền Matsubara (khoặc thời gian ảo)

Chúng ta định nghĩa phép biến đổi Fourier của hàm truyền thời gian ảo Δ(kτ)ở(k1.30) bằng biểu thức:

n β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

(ki) Δ(kz)  0 nếu z  ;

(kii) Δ(kz) giải tích bên ngoài trục thực

Sau đó sự kéo dài giải tích được cho:

0

dk ρ(kkΔ(kz)

0 '

1.5 Hàm truyền trật tự thời gian (kthời gian thực)

Trong mục này ta hãy thiết lập biểu thức cho hàm truyền nhiệt độ trong thờigian thực Biến đổi Fourier D (kk0) của hàm truyền (k1.44) là:

0

ik t 0

 0 

0

1 β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn k

Có hai quan điểm quan trọng cần chú ý trong công thức trên:

Một là: ta thấy rằng (k1.75) được tách thành hai phần: phần ở nhiệt độ không

và phần ở nhiệt độ hữu hạn mà nó sẽ triệt tiêu khi T = 0

là k0

1.6 Việc lấy tổng theo tần số

Trong các tính toán với hình thức luận thời gian ảo, chúng ta thường phải lấy

phương pháp để thực hiện điều đó, dựa trên biểu thức (k1.59) của hàm truyềnMatsubara và khai triển tường minh (k1.36) của Δ (kτ)F

Trước hết, chúng ta hãy tính hàm phân bố của dao động tử điều hòa Tấtnhiên, có thể dễ dàng thu được biểu thức của nó bằng cách sử dụng định nghĩa(k1.14) và một bộ đầy đủ các vector của toán tử ˆH Tuy nhiên, ở đây ta muốn có một

sự tương tự với tích phân đường trong lý thuyết trường nhiệt độ, nên sẽ rút ra Z(kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn)

từ (k1.19) Trường hợp này tích phân phiếm hàm có dạng tích phân Gausse và chúng

ta hãy bắt đầu từ công thức cơ bản:

i -

D chưa chặt chẽ Có thể giải quyết vấn đề này một cách chặt chẽ hơn bằng cách

sử dụng chính định nghĩa của D q(kτ)trong (k1.8), mà nó sẽ cho kết quả hữu hạn

Để vận dụng (k1.78) ta lấy đạo hàm theo ω :

Sau đó, lấy tích phân theo ω, ta thu được năng lượng tự do.

 β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơnω

ΩlnZ(β)ω+ln1 e+constant lnZ(kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn) ω +gτδgγωgγτΨ + ln 1 e +gτδgγωgγτΨ + constant

β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn 2 β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn



Ở đây, hằng số tích phân là phân kỳ, nhưng không phụ thuộc vào β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn và ω.Trong bất kỳ sách giáo khoa nào về cơ học thống kê ở phần nói về bức xạ của vậtđen chúng ta đều có thể tìm thấy biểu thức trên (kkhông có hằng số)

Ta cũng có thể gặp việc lấy tổng theo tần số kiểu khác trong tính toán cácgiản đồ loop là:

ở đây tần số dao động của Δvà Δ' tương ứng là ω và ω’

Bằng cách sử dụng biểu diễn Fourier (k1.59) của Δ iω nvà hệ thức

n

iω τ

Te δ τ  pβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn (k1.82)

với p = 0; ±1; ±2… sẽ thu được:

β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

' n

0

iωτ

Bằng cách biểu diễn Δ(kτ)và Δ (kτ)' qua các hàm phổ ρ(kk0) vàρ (kk )' '0 (kxem (k1.49)

và (k1.61)), lấy tích phân theo τ và nhớ rằng exp(kiωmβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn) = 1 đồng thời sử dụng tínhchất của phân bố Bose - Einstein sẽ thu được:

 f(kω)n(kω); f(k ω)  1 +gτδgγωgγτΨ + n(kω) (k1.85)

có thể viết kết quả cuối cùng dưới dạng:

4ωω 1 4ωω

4ωω2iπ4ωω

1+gτδgγωgγτΨ + n(kω) +gτδgγωgγτΨ + n(kω ) δ(kq ω ω ) δ(kq ω ω ) +gτδgγωgγτΨ + n(kω) n(kω ) × δ(kq +gτδgγωgγτΨ + ω ω ) δ(kq ω ω )

Chương II:

LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Ở NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN

Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độhữu hạn Để đơn giản chúng ta chỉ xét trường hợp đơn giản nhất: trường vô hướng.Tuy nhiên các kết quả thu được có thể dễ dàng tổng quát hóa cho các trường phứctạp hơn Chúng ta sẽ bắt đầu với sự lượng tử hóa trường vô hướng trung hòa tronghình thức luận thời gian ảo và rút ra quy tắc Feynman cho khai triển nhiễu loạn Sau

đó khi chuyển sang hình thức luận thời gian thực, chúng ta sẽ thấy xuất hiện một vàivấn đề phức tạp: khai triển nhiễu loạn làm tăng gấp đôi số bậc tự do của trường Vàcuối cùng sẽ thực hiện việc so sánh hai hình thức luận trong trường hợp năng lượngriêng Kết thúc chương sẽ là một nhận xét tổng quát về việc tái chuẩn hóa

2.1 Trường vô hướng thực trung hòa

Chúng ta bắt đầu với trường vô hướng trung hòa trường (kvới spin bằng 0).Trong không gian Minkowski, mật độ Lagrange của trường là:

Dựa vào chương trước, ta có thể viết trực tiếp hàm sinh Z (kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn, j):

β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn 4 E

do đó tổng số các số hạng ở vế phải của (k2.7) là (k2n-1)!! Nhưng điều này sẽ làmđơn giản cách lựa chọn các cặp φexpφAφ φexpφAφ ; φexpφAφ φexpφAφ … φexpφAφ φexpφAφi1 i2 i3 i4 i2n-1 i2n Để thấy được điềunày, cần lưu ý rằng có (k2n-1) cách hình thành cặp đầu tiên φexpφAφ φexpφAφi1 i2 , (k2n-3) cách thứchình thành cặp thứ hai φexpφAφ φexpφAφi3 i4 và … Định lý Wick đưa đến:

2 β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

Tích phân trên φexpφAφ(kx) được thực hiện như trong (k1.33):

β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

và tuần hoàn theo τ với chu kỳ β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn Việc bổ sung sự phụ thuộc x không làm thay đổikết quả sự phụ thuộc τ đã thu được trong chương trước Trong không gian Fourierphương trình (k2.15) có dạng:

d kV(k2π)



Trong đó V là thể tích Như vậy từ (k1.80) năng lượng tự do -1  

ΩlnZ(β)ω+ln1 e+constant β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn ln Z β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

có dạng

3 3

β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơnω k

Số hạng đầu tiên trong dấu ngoặc vuông của (k2.22) là không phụ thuộc β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn vàdẫn đến tích phân phân kỳ; ở đây phân kỳ xuất hiện do khi lấy tổng theo các tần sốMatsubara chúng ta đã bỏ đi hằng số trong biểu thức (k1.80) Kết quả vô hạn này làtất yếu, nó chính là năng lượng tại điểm không của chân không, mà ta có thể bỏ qua,

vì nó là một hằng số không thể đo được, mặc dù độ biến thiên của năng lượng tạiđiểm không là có thể quan sát được (khiệu ứng Casimir) Bằng cách cho m = 0 đểthực hiện phép lấy tích phân, chúng ta có:

2.1.2 Hiệu chỉnh cấp một: hàm truyền và tổng thống kê

Trước khi tìm hiểu các quy tắc Feynman, chúng ta hãy xét một ví dụ về việctính toán theo lý thuyết nhiễu loạn Xét thế năng tương tác trong (k2.2) có dạng

4λφexpφAφ4!

Z(kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn)

S β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn S β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn λ

1 d zφexpφAφ4!

Ở đâyS EF (kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn)là tác dụng Euclidean tự do Sử dụng định lý Wick ta hãy tínhđại lượng:

(kF) E

β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

4 4 0

S (kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn) λI(kx, y) φexpφAφ φexpφAφ(kx) φexpφAφ(ky)e 1 d z φexpφAφ (kz)

“ngoài” có nghĩa chúng là đối số của hàm truyền, đánh dấu bằng dấu mũi tên, vàchữ “trong” hoặc “đỉnh” z, sinh ra từ việc khai triển hàm mũ thành chuỗi lũy thừacủa λ, và ta sẽ lấy tích phân theo nó Bởi vì φexpφAφ(kz) xuất hiện dưới dạng φexpφAφ4(kz), cho nêntrước hết ta vẽ 4 điểm z riêng lẻ Mỗi phép co được biểu diễn bởi một đường nối cácđối số của φexpφAφ Có hai loại số hạng khả dĩ (khình 2.1) và ta có thể kiểm tra thấy rằng sốcác số hạng đó là: 12 +gτδgγωgγτΨ + 3 = (k6 - 1)!! Để đơn giản hóa giản đồ, 4 điểm z được ghéplại thành một điểm duy nhất, kết quả được biểu diễn trong hình (k2.2)

Giản đồ trên hình (k2.2 )được gọi là giản đồ (khoặc đồ thị) Feynman; mỗi mộtgiản đồ như thế ứng với một số hạng, hay đúng hơn là một nhóm số hạng của khaitriển nhiễu loạn Tích phân I bây giờ được viết lại:

x

z

y

y x

I(kx, y) Z (kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn)

Z (kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn)

1

Δ (kx, y) λ d zΔ (kx z)Δ (kz 0) Δ (kz y)

2 1

Hình 2.2

F E

β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn

Để thu được hàm truyền đến bậc một của λ, chúng ta chia (k2.29) cho (k2.30)

và hằng số chuẩn hóa ZF (kβ) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn) sẽ được khử trong kết quả cuối cùng: