NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ VÀ PHỤC HỒI ĐỐI XỨNG Ở NHIỆT ĐỘ CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

MỞ ĐẦU Theo quan điểm đối xứng có thể chia các hệ vật lý thành hai loại: Loạithứ nhất bao gồm các hệ mà đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ T= 0 sẽ được phụchồi ở nhiệt độ cao như các chất sắt

LỜI CẢM ƠN

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn Phó giáo sư, Tiến sĩ Lê Viết Hòa, cảm ơn thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên và cung cấp cho em vốn kiến thức, tài liệu quý báu để em có thể hoàn thành được luận văn này.

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã trang bị cho em những kiến thức khoa học căn bản cũng như đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá trình em thực hiện luận văn.

Hà Nội, ngày tháng năm 2012

Tác giả luận văn

Lê Thị Hương

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương I: PHƯƠNG PHÁP TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT Ở NHIỆT ĐỘ KHÔNG 3

I.1 Các phiếm hàm sinh và tác dụng hiệu dụng 3

I.1.1 Tác dụng hiệu dụng của trường vô hướng 3

I.1.2 Tác dụng hiệu dụng của trường Fermion 6

I.2 Khai triển Loop của tác dụng hiệu dụng 8

I.2.1 Khai triển bất khả quy một hạt 8

I.2.2 Khai triển bất khả quy hai hạt 11

I.3 Thế hiệu dụng 17

I.4 Một số ví dụ tính toán thế hiệu dụng 18

I.4.1 Tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết  184 I.4.2 Thế hiệu dụng đối với trường Fermion 23

Chương II: PHƯƠNG PHÁP TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT Ở NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN 29

II.1.Cơ sở chính tắc lớn 29

II.2 Các phiếm hàm sinh 30

II.3 Các hàm Green nhiệt độ 33

II.3.1 Xét trường vô hướng 33

II.3.2 Xét trường Fermion 36

II.4 Hình thức luận thời gian ảo 37

II.5 Hình thức luận thời gian thực 40

II.6 Thế hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn 42

II.6.1 Trường vô hướng 43

II.6.2 Trường Fecmion 47

CHƯƠNG III: SỰ PHÁ VỠ VÀ PHỤC HỒI ĐỐI XỨNG Ở NHIỆT ĐỘ

CAO TRONG HỆ PHA TRỘN NHỊ NGUYấN 51

III.1 Thế hiệu dụng trong gần đỳng HF 51

III.2 Cỏc đặc tớnh vật lý 60

III.2.1 Phương trỡnh trạng thỏi 60

III.2.2 Sự không phục hồi đối xứng và sự phá vỡ đối xứng nghịch đảo 63

III 3 Tớnh số 66

III.3.1 Khi 4λ λ1 2  λ > 02 66

III.3.2 Khi 4λ λ1 2  λ < 02 68

III.4 Kết luận của chương 3 69

KẾT LUẬN 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

MỞ ĐẦU

Theo quan điểm đối xứng có thể chia các hệ vật lý thành hai loại: Loạithứ nhất bao gồm các hệ mà đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ T= 0 sẽ được phụchồi ở nhiệt độ cao như các chất sắt từ trong vật lý các môi trường đậm đặc,

mô hình chuẩn hoặc mô hình thống nhất lớn trong vật lý hạt Bên cạnh đócũng có hiện tượng phá vỡ đối xứng nghịch đảo (ISB) tức là đối xứng ban đầu

bị phá vỡ khi nhiệt độ tăng Loại thứ hai bao hồm các hệ mà đối xứng bị phá

vỡ tường minh sẽ không được phục hồi (SNR) khi nhiệt độ tăng như các hệtinh thể lỏng, các muối Rochelle, một số hợp chất mangan … Trong khuânkhổ lý thuyết trường lượng tử, vấn đề không phục hồi đối xứng đã thu hútđược sự quan tâm của nhiều nhà vật lý trong thời gian gần đây vì nó liên quanđến những vấn đề quan trọng trong vũ trụ học như về sự tồn tại của các váchngăn (domain wall), các hạt đơn cực (monopole)…Chính vì vai trò quan trọngcủa bài toán về SNR/ISB ở nhiệt độ cao chúng tôi chọn đề tài “Nghiên cứu sựphá vỡ và phục hồi đối xứng ở nhiệt độ cao” với nhiệm vụ sau:

1) Tìm hiểu hình thức luận tích phân đường trong cơ học lượng tử vàtrong lý thuyết trường lượng tử

2) Tìm hiểu phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn.3) Tính thế nhiệt động, các tham số trật tự từ đó rút ra các phương trìnhkhe, phương trình Swchinger-Dyson, từ đó nghiên cứu điều kiện để xảy raphá vỡ đối xứng nghịch đảo hoặc không phục hồi đối xứng trong mô hình lýthuyết trường được mô tả bằng mật độ Lagrangian:

ở đây μ μ1, 2 tương ứng là thế hóa học của các trường  , ψ; m1, m2 là khối lượng thuần của các nguyên tử được biểu diễn bằng các trường  , ψ tương

Từ những kết quả đạt được, luận văn được trình bày với bố cục như sau:Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo luận văngồm 3 chương:

Chương 1: Phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ không.

Chương 2: Phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữa hạn Chương 3: Sự phá vỡ và phục hồi đối xứng trong hệ pha trộn nhị nguyên.

I.1 Các phiếm hàm sinh và tác dụng hiệu dụng.

I.1.1 Tác dụng hiệu dụng của trường vô hướng.

và hàm tác dụng:

Mọi đặc trưng động lực của trường đều được xác định từ biên độ chuyển dờichân không thành chân không với sự có mặt của nguồn ngoài J mà nó đượcbiểu diễn bằng tích phân đường:

1 n 1,2 n n

J1

Còn các hàm Green liên kết GC nhận được từ phiếm hàm sinh W J liên quan[ ]

có thể coi (1.6) là phép biến đổi biến từ J thành  là biến tự nhiên của phép

       

1

i S + J+ K.

iW J,K 2

ở đây K là nguồn ngoài đặc trưng cho tính Composite của trường

Các phương trình (1.6) và (1.12) có thể xem như phép biến đổi từ (J,K) thành

Trạng thái cơ bản của hệ sẽ tương ứng với sự triệt tiêu của nguồn ngoài và do

đó được xác định bởi phương trình khe (Gap):

 

J=K=0

δWJΓ[ ,G]

= 0 1.17δWJ



Như vậy khi có thêm nguồn ngoài K đặc trưng cho tính chất Composite

quát hơn, tác dụng này không chỉ phụ thuộc vào trung bình chân không củatoán tử trường mà còn phụ thuộc vào hàm truyền G là trị trung bình của T-tích của các toán tử trường

I.1.2 Tác dụng hiệu dụng của trường Fermion.

Việc xây dựng biểu thức cho tác dụng hiệu dụng đối với trường Fermioncũng hoàn toàn tương tự như đối với trường vô hướng Khi đó ta xét một hệ

ë ûvà tác dụng:

I = L ψ,ψ d x    4 1.19

Biên độ chuyển dời chân không thành chân không với sự có mặt của các

Z η,ηé ù=ê ú Oout O = DψDψein ò i{I ψ,ψ +ψ.η+η.ψ} é ùë û (1.20)Phiếm hàm sinh cho các hàm Green liên kết xác định bởi:

δWJW η,η

<ψ> = σ(x),δWJη

theo các biến tự nhiên:

δWJΓ σ(x),σ(x)

= η(x),δWJσ(x)

δWJΓ σ(x),σ(x)

δWJσ(x)

-

-Để đi đến biến đổi Legendre loại II ta xét phiếm hàm sinh tổng quát hơn:

biến đổi Legendre loại II sẽ cho:

I.2 Khai triển Loop của tác dụng hiệu dụng.

Trong mục này ta sẽ xem xét các khai triển bất khả quy một hạt (mộtloop) và hai hạt (hai loop) của tác dụng hiệu dụng Điều này rất cần thiết chocác tính toán tác dụng hiệu dụng trong những trường hợp cụ thể về sau

I.2.1 Khai triển bất khả quy một hạt.

Xét trường vô hướng.

với mối ràng buộc bởi hệ thức liên hợp Legendre (1.9)

trở nên đồng nhất với nó khi làm một số thay đổi thích hợp trong số hạngtương tác và hàm truyền, tức là:

1 -1

1

δWJΓ 1

ở đây  1  là tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy 1 hạt tương

và trở nên trùng khớp với nó khi làm một số thay đổi thích hợp trong số hạng

tương tác và hàm truyền tức là thỏa mãn:

-

I.2.2 Khai triển bất khả quy hai hạt.

Xét trường vô hướng.

Xuất phát từ phiếm hàm sinh tổng quát :

thỏa mãn phương trình giống (1.51) và trở nên đồng nhất với nó khi một sốthay đổi thích hợp trong số hạng tương tác và hàm truyền, tức là:

-1 0

ở đây Γ2,G bao gồm tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy haihạt Phương trình (1.52) là một phương trình vi-tích phân của phiếm hàm sinh

2

dụng đã được thay đổi

0 int

σ=σ=0 -1

0

δWJΓ σ,σ,ς iTr S

-và khai triển tác dụng cổ điển quanh σ,σ ta được:

[ ] [ ] [ ]

2 -1

I.3 Thế hiệu dụng.

Xét trường vô hướng  , với khai triển bất khả quy một hạt, ta có thể khai

d p

(2π)Õ ò

(p)= d xe4 -ipx(x), (1.67)chú ý hệ đồng nhất, đẳng hướng ta có :

eff c

hiệu dụng trong không gian xung lượng:

không bất khả quy hai hạt

Điều kiện dừng mô tả trạng thái cơ bản sẽ là:

I.4 Một số ví dụ tính toán thế hiệu dụng.

I.4.1 Tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết  4

Ta khảo sát một mô hình đơn giản nhất của trường vô hướng thực được

Tác dụng cổ điển trong trường hợp này là:

không bất khả quy hai hạt:

kiểu đỉnh: Đỉnh của ba đường và đỉnh của bốn đường, trong đó các đường liềnnét biểu diễn hàm truyền G

Hình 1.1: Các giản đồ bất khả quy hai hạt cho thế hiệu dụng ở gần đúng 2 loop trong lý thuyết trường vô hướng 4 Các đường biểu diễn hàm truyền G có hai kiểu đỉnh: dạng

đỉnh của 3 đường tỷ lệ với c và dạng đỉnh của 4 đường tỷ lệ với .

Thay (1.82) vào phương trình (1.81) và (1.80) ta thu được:

I.4.2 Thế hiệu dụng đối với trường Fermion.

Ta hãy xét mô hình trường tương tác của 4 fermion là mô hình Nambu JonaLasinio (NJL) được mô tả bằng Lagrangien đối xứng Chiral:

Gˆ

số tương tác có thứ nguyên [Khối lượng]-2, =γμ μ

Bằng cách đưa vào các trường:

2 2

m-

Và áp dụng công thức:

i k i k ik ik

δWJW = ψψ = q(x)q(y) + G(x,y),δWJH

ˆ ˆ = σσ = [σ(x)σ(y) + D(x,y)],

-ò ò

Trạng thái cơ bản của hệ ứng với sự triệt tiêu của các nguồn ngoài sẽ dẫn đếnphương trình Gap:

CJT a

khả quy hai hạt được biểu diễn như hình 1.2.

Hình 1.2: Các giản đồ bất khả quy hai hạt cho thế hiệu dụng V 2 ở gần đúng 2 loop trong

mô hình Nambu-Josa-Lasinio (NJL) Các đường biểu diễn hàm truyền fermion G, đường gạch là hàm truyền của trường vô hướng D, đường ziczac là hàm truyền của trường giả vô hướng Δ.

Trong trường hợp bất biến tịnh tiến ta có:

 

-1 0

5 4

2 a

     

4 2

ở nhiệt độ hữu hạn và nó rất có ích để nghiên cứu mọi hiện tượng xảy ra ởthời kỳ đầu tiên của vũ trụ sau vụ nổ lớn Các bài báo [5, 6], các bài tổng quan[7, 9,10] và các cuốn sách [11] đã đề cập đến nhiều vấn đề nghiên cứu khácnhau Trong chương này sẽ trình bày một cách tổng quát các phương phápchính đang được sử dụng để phục vụ cho lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn.

II.1.Cơ sở chính tắc lớn.

Để xây dựng quy tắc Feynman cho lý thuyết trường ở nhiệt độ hữuhạn, trong mục này ta sẽ tìm hiểu một số khái niệm được lấy từ nhiệt động lựchọc và vật lý thống kê Để mô tả một hệ cô lập với năng lượng E, số hạt N và

có thể tích V ta dùng cơ sở “vi chính tắc” Còn để mô tả hệ nối với bể nhiệt ởnhiệt độ xác định T cùng với số hạt N và thể tích V không đổi ta dùng “cơ sởchính tắc” Trong trường hợp này giữa hệ và bể nhiệt sẽ xảy ra sự trao đổinăng lượng Cuối cùng ta dùng cơ sở chính tắc lớn để mô tả hệ vật lý có sựtrao đổi năng lượng và số hạt với bể nhiệt khi nhiệt độ T, thể tích V và thế hóa

Bây giờ ta xét hệ đặc trưng bởi Hamiltonian H và một hệ điện tích bảo

nhiệt động của hệ trong một thể tích V lớn sẽ được mô tả bằng toán tử mật độchính tắc lớn:

ρ = exp ΦexpΣαQβH, 2.1 exp ΣαQβH, 2.1 Q  A A  βH, 2.1H ,  2.1 

trong đó ΦexpΣαQβH, 2.1 = logTr exp   ΣαQβH, 2.1 QA A  βH, 2.1H  là hàm Massieu, αQβH, 2.1 = βH, 2.1μA  A và1

βH, 2.1 =

Dựa vào (2.1) ta sẽ xác định được trung bình chính tắc lớn của một toán tử Fbất kỳ:

F =Tr Fρ 2.2   

1 1 (2.3)

II.2 Các phiếm hàm sinh.

H Ta sẽ dùng biểu diễn Heisenberg, do đó

 x = eiHt0,x e ,  -iHt 2.4 

Hàm Green nhiệt độ được định nghĩa là trị trung bình chính tắc lớn của T-tíchcủa các toán tử trường, tức là:

G x ,x x = Tc 1 2 n cx1  x x2  n  , 2.5 

trường được sắp xếp có trật tự dọc theo đường C trong mặt phẳng t phức

Ví dụ, T-tích của hai toán tử trường được định nghĩa là:

Tc   x  y = θxyxy+ θyxyx 2.6 x c 0  y0   x  y + θxyxy+ θyxyx 2.6 yc 0  x0   y  x 2.6 

có nghĩa là thứ tự chuẩn dọc theo τ Do đó các hàm bậc thang Heiviside và Delta có thể viết

θxyxy+ θyxyx 2.6 t = θxyxy+ θyxyx 2.6 τ ,

1

21

Ta cần chú ý ở đây là các trung bình đều theo nghĩa trung bình chính tắc lớn.

 

βH, 2.1

4 c

βH, 2.1

Γ ,G qua thế hiệu dụng VeffβH, 2.1 ,G :

ΓβH, 2.1c,G = V  effβH, 2.1 c,G d x4 (2.18)

và phương trình xác định sự vi phạm đối xứng:

βH, 2.1 eff c c

= 0 2.20G

 



Tương ứng với (2.17) ta có khai triển 2 loop của thế hiệu dụng VeffβH, 2.1 c,G

trong biểu diễn xung lượng:

II.3 Các hàm Green nhiệt độ.

II.3.1 Xét trường vô hướng.

Nếu ta đòi hỏi hàm Green giải tích theo t thì không phải mọi đường lấytích phân đều được chấp nhận Sử dụng (2.6) ta sẽ có hàm Green hai điểm củatrường vô hướng theo định nghĩa :

ta sẽ khai triển được tại điểm x y 0 : 

0 0 2 iE (xn 0 y ) iE (x0 m 0 y + iβH, 2.1)0

+

Để tổng hội tụ thì phải có   Im(x0  y ) 00  và điều này đòi hỏi

hỏi là: một điểm chuyển động theo đường lấy tích phân C phải có phần ảogiảm dần đều hoặc không đổi

Sử dụng định nghĩa về trị trung bình chính tắc lớn và tính chất hoán vị

biểu diễn của nó qua các toán tử sinh và hủy ( tức là tích phân Fourier ) có dạng:

Sử dụng các hệ thức (2.28) sẽ tìm được các trung bình nhiệt động

Để chứng minh (2.30) ta hãy xét một trạng thái được lấp đầy bởi các

do đó tương ứng với hai hình thức luận: Thời gian ảo và thời gian thực.

II.3.2 Xét trường Fermion.

Đối với trường Fermion, hàm Green nhiệt độ được định nghĩa:

S (x y) = T ψ (x)ψ (y) = θxyxy+ θyxyx 2.6 (x(c)αQβH, 2.1βH, 2.1 - c a b c 0- y )S0 +αQβH, 2.1βH, 2.1- θxyxy+ θyxyx 2.6 (yc 0- x )S , (2.33)0 -αQβH, 2.1βH, 2.1trong đó αQβH, 2.1,βH, 2.1 là các chỉ số Spinor và

thỏa mãn hệ thức Kubo-Martin-Schwinger:

S (t iβH, 2.1,x) = S (t,x).αQβH, 2.1βH, 2.1+ - r - -αQβH, 2.1βH, 2.1 r (2.35)Việc tìm hàm Green hai điểm đối với trường Fermion tự do thỏa mãn phươngtrình:

(iγ¶- m) S (x y) = iδWJ (x y)δWJ ,αQβH, 2.1σ (c)αQβH, 2.1βH, 2.1 - c - αQβH, 2.1βH, 2.1 (2.36)được tiến hành như cách đã làm đối với trường vô hướng Kết quả là ta sẽ

Việc chứng minh n (ω) là số trung bình các Fermion của khí fermi cũng tiếnFhành giống như khi chứng minh (2.30) Tuy nhiên ở đây theo nguyên lýFecmi thì ở mỗi trạng thái có không quá một hạt Fecmion nên chỉ tồn các

b+|0 > = |1>, b+|1 > = 0, b|0 > = 0, b|1 > = 0

{b+, b} =1

II.4 Hình thức luận thời gian ảo

Như đã nói trên, giá trị cụ thể của hàm Green phụ thuộc vào việc chọnchu tuyến C đi từ thời điểm ban đầu tùy ý t đến thời điểm t iβH, 2.1 với việc thỏamãn tính chất tuần hoàn Kubo-Martin-Schwinger (2.24) và (2.25) của hàm

Matsubara đưa vào đầu tiên, trong đó chọn được một đường thẳng dọc theo

trường vô hướng (2.32) và (2.36) có thể viết gộp lại:

ở đây  1 cho boson còn  0   0  0 

Điều này cho thấy hàm Truyền Boson (fecmion) là tuần hoàn (phản tuần hoàn

(2.39) và ta có:

3 n

Thay (2.39) vào (2.41) ta nhận được hàm truyền trong không gian xunglượng:

ở đây tần số Matsubara n xác định theo (2.42) Từ (2.45) ta có thể đưa racác quy tắc Feynmann để chuyển sang lý thuyết trường nhiệt độ hữu hạntrong hình thức luận thời gian ảo là:

ứng với trường Boson

II.5 Hình thức luận thời gian thực.

Trong hình thức luận thời gian thực, chu tuyến C được chọn như mô tả

đi từ t đến f tf  iσ với 0  , C2 đi từ ti  iσ đến ti  iβH, 2.1 và C4 từ ti  iσđến ti  iβH, 2.1 Các sự lựa chọn khác nhau của  sẽ đưa đến một lớp tương

Hình 2.1: Chu tuyến được sử dụng trong hình thức luận thời gian thực

(22) Ta chọn

2



không gian xung lượng có thể viết là:

nhiệt độ không và một hạng chứa sự phụ thuộc nhiệt độ đóng vai trò như hàmtruyền mật độ Tuy nhiên, các hàm truyền (12), (21) và (22) là phi vật lý vìmột trong các tham số thời gian của chúng có thành phần ảo, chỉ có hàmtruyền (11) là có ý nghĩa vật lý.

Như vậy để chuyển sang lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn ta có thể

sử dụng cả hình thức thời gian thực hoặc thời gian ảo Song kết quả cuối cùng

là như nhau về phương diện vật lý Việc sử dụng hình thức luận này hay khácchỉ tùy vào từng vấn đề nghiên cứu cụ thể sao cho việc tính toán được đơngiản

II.6 Thế hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn.

Trong phần này ta sẽ xây dựng thế hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạncho các trường vô hướng, fermion và gauge nhờ các quy tắc feynmann đã nói

ở trên Ta sẽ dùng cả hình thức luận thời gian thực và thời gian ảo Các kếtquả ở mục này sẽ có ích để hiểu lý thuyết chuyển pha ở nhiệt độ hữu hạn, sựtiến triển của vũ trụ sau vụ nổ lớn, sự dịch chuyển Plasma quark-gluon trong

sắc động lực học lượng tử (QCD)

II.6.1 Trường vô hướng.

Ta trở lại nghiên cứu trường vô hướng tự tương tác được mô tả bằng

La-grangien (1.72) với thế (1.73) Sử dụng khai triển 2 loop của thế hiệu dụng

(1.82) và (1.86) cùng với các hình thức luận thời gian ảo (2.42) và thời gianthực (2.53) chúng ta sẽ tính được thế hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn

Hình thức luận thời gian ảo.

Trước hết ta viết lại khai triển 2 loop của thế hiệu dụng CJT của trường

vô hướng từ (1.82) và (1.86)