Đại số lượng tử Su(3) Luận văn thạc sĩ khoa học vật chất

Gần đây nhóm lượng tử và đại số của chúng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán bởi vì những quan điểm ứng dụng của chúng trong các mẫu vật lý và tron

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TSNguyễn Thị Hà Loan,

người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau Đại học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, tryền đạt cho tôi những kiến thứcquý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, 15 tháng 07 năm 2013

Tác giả Nguyễn Thị Vân Anh

Tên tôi là: Nguyễn thị Vân Anh, học viên cao học khóa 2011 – 2013

chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan đề tài: “Đại số lượng tử SU(3)”, là kết quả nghiên cứu

và thu thập của riêng tôi Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác Nếu có gì không trung thực trong luận

văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội,15 tháng 07 năm 2013

Tác giả Nguyễn Thị Vân Anh

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc luận văn 2

NỘI DUNG 3

Chương 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 3

1.1 Dao động tử điều hòa 3

1.1.1 Dao động tử Boson 3

1.1.2 Dao động tử Fermion 8

1.2 Dao động tử biến dạng q 9

1.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q 9

1.2.1.1 Dao động tử Boson biến dạng đơn mode 9

1.2.1.2 Dao động tử Boson biến dạng đa mode 16

1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q 18

1.2.2.1 Dao động tử Fermion biến dạng đơn mode 18

1.2.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng đa mode 20

1.2.3 Dao động tử có thống kê vô hạn 22

1.3 Dao động tử biến dạng p,q 23

Chương 2: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(3)q 26

2.1 Đại số SU(3) 26

2.2 Đại số SU(3)q 31

3.2 Hệ thức khối lượng của tám hạt Baryon1

2



36

KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

vô hạn…

Đại số của nhóm Lie xuất hiện đã lâu song gần đây do đòi hỏi ứng dụng của nó trong nghiên cứu vật lý mà V I Drinfeld đã lượng tử hóa đại số của nhóm Lie làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay còn gọi là đại số lượng

tử Gần đây nhóm lượng tử và đại số của chúng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán bởi vì những quan điểm ứng dụng của chúng trong các mẫu vật lý và trong mối liên quan với lời giải các phương trình vi phân phi tuyến Chúng liên quan đến những vấn đề đa dạng như nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang-Baxter lượng tử, lý tuyết trường comformal hữu tỷ lý tuyết trường hai chiều với những thống kê phân số Đại

số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng phụ thuộc vào một hoặc nhiều tham số của đại số Lie thông thường

Đại số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng của đại số Lie cổ điển Trong trường hợp tổng quát sự biến dạng này có thể phụ thuộc vào một hoặc nhiều thông số Đại số lượng tử SU(3) mô tả đối xứng spin đồng vị của các hạt cơ bản Và từ đại số SU(3) có nhu cầu mở rộng thành SU(3) biến dạng phụ thuộc một thông số hoặc nhiều thông số Sự biến dạng phụ thuộc vào một thông số q đưa đến đại số biến dạng SU(3)q Đại số lượng tử SU(3)pq được

khảo sát như sự biến dạng phụ thuộc hai thông số (p,q) của đại số Lie thông thường của nhóm Unita SU(3), để đạt được điều này chúng tôi xây dựng dao động điều hòa biến dạng hai thông số (p,q) Đại số lượng tử SU(3)q là một trường hợp đặc biệt của đại số SU(3)pq trong trường hợp giới hạn pq Khi thông số biến dạng tiến đến một giá trị giới hạn nào đó thì đại số biến dạng sẽ trở về đại số chưa biến dạng, và như thế đại số biến dạng sẽ tổng quát hơn đại

số chưa biến dạng Từ đó hy vọng đại số biến dạng sẽ mô tả hiện tượng vật lý gần với thực nghiệm hơn

Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “đại số lượng tử SU(3)”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài: “ đại số lượng tử SU(3)” là đi nghiên cứu đại số lượng tử SU(3) biến dạng một hoặc nhiều thông số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đại số lượng tử SU(3), biểu diễn của đại số lượng tử SU(3)

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu đại số SU(3), đại số lượng tử SU(3)q và đại số lượng tử SU(3)pq

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của vật lý lý thuyết và vậy lý toán Sử dụng các phương pháp của nhóm đối xứng và đại số lượng tử

6 Cấu trúc luận văn

Chương 1: Hình thức luận dao động tử lượng tử

Chương 2: Đại số lượng tử SU(3)q

Chương 3: Đại số lượng tử SU(3)pq

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ

Trong chương này, chúng tôi sẽ viết tổng quan về các dao động tử lượng tử, dao động Boson biến dạng, dao động tử Fecmion biến dạng, dao động tử p,q và tính phổ năng lượng của các dao động tử

1.1 Dao động tử điều hòa

a: là toán tử hủy dao động tử

a: là toán tử sinh dao động tử Toán tử số dao động N có dạng:

a a a a

 , ,

Đưa vào không gian Fock với n là trạng thái riêng của toán tử số hạt

có n dao động tử ứng với trị riêng n:

 

0

!

n a n

Vậy phương trình (1.1.6) đúng với n = k+1 Suy ra (1.1.6) đúng với mọi n

Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P liên hệ với các toán tử hủy, sinh dao động a a,  như sau:

22

m m

Thế (1.1.1) vào (1.1.7) suy ra :

Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo

các toán tử sinh, hủy dao động tử a, anhư sau:

n

E   n

n = 0,1,2,… (1.1.10)

Nhận xét: Công thức (1.1.10) là công thức xác định năng lượng của dao

động tử diều hòa một chiều

00

m

n a a n

n a n n a n n a a n n aa n m

b: là toán tử hủy dao động tử

b+: là toán tử sinh dao động tử Toán tử số dao động N có dạng:

b bbb b

Đại số (1.1.13) có thể thực hiện trong khoảng không gian Fock với cơ

sở là vector đã chuẩn hóa của toán tử số dao động N:

1.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q

1.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q

1.2.1.1 Dao động tử Boson biến dạng đơn mode

Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy và sinh dao động tử a a,  tuân theo hệ thức giao hoán sau:

N

trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động

Trong phương trình (1.2.1) nếu q 1 thì trở về hệ thức dao động tử điều hòa (1.1.1):

n



Đưa vào không gian Fock với n là trạng thái riêng của toán tử số hạt

có n dao động tử ứng với trị riêng n:

2 1

Như vậy phương trình (1.2.6) đúng với n 0, 1, 2

Giả thiết phương trình (1.2.6) vẫn đúng với nk , tức là:

 

Bây giờ ta chứng minh nó sẽ đúng với n k 1 nghĩa là:

a

q qa a k k

1

N

N N

Trong không gian Fock với vector cơ sở là vector trạng thái

N N

,

,,

,1

Tương ứng với các toán tử sinh, hủy A , A , biểu diễn không gian Fock trở thành:

n A

1 2

1,111

Đây chính là đại số dao động tử Boson thông thường Như vậy, chúng

ta có thể kết luận rằng các toán tử hủy, sinh của hệ Boson q – biến dạng và không biến dạng có thể biểu diễn qua nhau nhờ hệ thức (1.2.14)

Xét hệ thức giao hoán của toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P:

1.2.1.2 Dao động tử Boson biến dạng đa mode

Đối với các dao động tử Boson biến dạng q với định nghĩa (1.2.1), (1.2.11) việc mở rộng cho hệ đa mode hoàn toàn đơn giản

Dao động tử Boson biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy a aj, itheo hệ thức giao hoán sau:

 1 ij 1 ij N i

a a  q   a a  q (1.2.19) Khi q1 thì phương trình (1.2.31) trở thành:

j

a a a a a a a a

a a lại trở về dao động tử Boson đơn mode thông thường

Toán tử số dao động tử điều hòa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:

/2 ij ij

1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q

1.2.2.1 Dao động tử Fermion biến dạng đơn mode

Dao động tử Fermion biến dạng q được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy

b ,b như sau:

 2 2

n b

12

   

1

12

1.2.2.3 Dao động tử Fermion biến dạng đa mode

Dao động tử Fermion biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy f j, f itheo hệ thức giao hoán sau:

 1 ij 1 ij N i,

f f  q    f f  q (1.2.39) Khi q1 thì phương trình (1.2.39) trở thành:

Khi đó hệ thức giao hoán giữa toán tử số Ni với các toán tử sinh, hủy

,

f f lại trở về dao động tử fermion đơn mode thông thường

Toán tử số dao động tử điều hòa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:

/2 /2

,

i i

,

i i

Tính hệ thức giao hoán của toán tử số Ni với toán tử F , Fj j:

,,

i i

N

N

j j

,

i i

N

i j N

1.2.3 Dao động tử có thống kê vô hạn [10]

Khái niệm vô hạn được Greenberg định nghĩa (năm 1990) là biểu diễn qua những số hạng của toán tử sinh a+

, toán tử hủy a trong khuôn khổ lý thuyết trường:

N N

Ở đây N i được gọi là toán tử số dao động được định nghĩa từ những toán tử a i,a i như sau:

1 1 2

i pq

i pq

a n

n



CHƯƠNG 2: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(3)q

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày, đại số SU(3) và đại số SU(3)q

( ) 2

Tính toán các giá trị của các vi tử ta được:

3

0 1 01

1 2 1 2 1

2 1 2

1 2

31

CHƯƠNG 3: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(3)pq

Trong chương này chúng tôi sẽ nghiên cứu về đại số SU(3)pq và biểu

diễn dao động của đại số SU(3)pq, hệ thức khối lượng tám hạt Baryon 1

2



3.1 Đại số SU(3) pq và biểu diễn dao động của đại số SU(3)pq

Tương tự đại số biến dạng một thông số chúng tôi đưa ra khái niệm nhóm lượng tử SU(3)pq mà đại số của nó sinh ra bởi những toán tử E, F,

H( 1,2) tuân theo những hệ thức giao hoán [7]:

    

    

1 1

(3)pq

SU (3.1.1) trở về đại số lượng tử SU(3)q(2.1.6)

Dao động tử điều hòa biến dạng –p, q cho đại số lượng tử SU(3)pq là

sự mở rộng của dao động điều hòa biến dạng một tham số của đại số SU(3)q

.chúng bao gồm hai loại dao động a a a1, 2, 3 và b b b1, 2, 3 và liên hợp của chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán lượng tử:

 

 

 

1 1

2 1

3 1

N q

N p

Dựa trên khái niệm đại số biến dạng hai tham số SU(3)pq chúng tôi tiếp

tục xét bài toán tách khối lượng của bát tuyến baryon 1

A A

Ở đây M là toán tử khối lượng được xây dựng từ tổ hợp của nhứng hàm

sinh E, F, H mà trong giới hạn cổ điển ,p q1 nó tự xuất hiện như là

toán tử casimir bậc 2 của nhóm SU(3) Dạng tổng quát nhất của toán tử như vậy là:

Đối với ,p q bất lỳ kết quả tính toán không cho một biểu thức tính toán nào cả Mặc dù trong kết quả đã thu được khi p q thì chúng tôi có kết quả hoàn toàn trùng với kết quả thu được trong SU(3)q

b, Đối với trường hợp ,p q gần nhau tức là q p trong đó  bé Kết quả tính toán được cho trong bảng 3

Trường hợp ,p q gần nhau kết quả tính toán cũng không cho một biểu

thức tính toán nào cả

c, Đối với trường hợp ,p q gần bằng 1

1

p  , q 1  ,  , 1Bảng tính toán ta nhận được kết quả như sau:

Bốn hệ thức khối lượng này có độ chính xác thấp

Sau khi xét bài toán về tách khối lượng của nhóm tám baryon 1

2



trên quan điểm của nhóm đối xứng lượng tử hai tham số SU(3)pq chúng tôi có một vài nhận xét sau đây:

 Cơ chế tách khối lượng cần phải được xem xét kỹ hơn, không thể suy trực tiếp từ đại số một tham số cho hai tham số

 Trong khuôn khổ cách tiếp cận trình bày ở trên thì ,p q không thể

xem gần bằng 1

 Trình bày những nét tổng quan về đại số biến dạng

 Triển khai các tính toán chi tiết và một số trường hợp ứng dụng cụ thể

 Thu được một số kết quả mới cho những trường hợp tổng quát hơn, những kết quả này có thể được ứng dụng khi xét đến những bài toán vật lý cụ thể trong tương lai

Đây là những vấn đề có tính thời sự đặc biết có thể được ứng dụng để xây dựng mô hình lý thuyết đại thống nhất các tương tác

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đào Vọng Đức, Phù Chí Hòa [2001] “Bài giảng lý thuyết hại cơ bản”,

5 Finkelstein R.J [1995], “q-field theory”, Lett.Math,phys.34(2), p.169

6 Finkelstein R.J [1996] ,“q-gauge theory”, Int.J.Mod.phys.A11(14),

10 Nguyen Thi Ha Loan, Deformed oscillators and Their Statistics vol 6,

N0 2, June (1996), P 18-22