Luận văn thạc sĩ khoa học vật chất dao động tử biến dạng r(q)

Đặc biệt người ta thấy nghiên cứu biến dạng lượng tử tỏ ra rất hữu hiệu khi nghiên cứu quang lượng tử, sự rung động của hạt nhân nguyên tử, vật lý của vật chất đông đặc.. NỘI DUNG CHUON

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ HỎNG LÊ

DAO DONG TU BIEN DANG R(Q)

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí Toán

Mã số: 60 44 01 03 LUAN VAN THAC SI KHOA HOC VAT CHAT

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan

HÀ NỘI, 2013

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan,

người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền táng để tôi hoàn thành bài luận văn này Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng Cô

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau

Đại Học, Khoa Vật Lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư,

Tiến sĩ đã trực tiếp giáng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân

trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, tháng 07 nam 2013

Tác giả

Pham Thi Hong Lê

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Phạm Thị Hồng Lê, học viên cao học khóa 2011 — 2013 chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toán — Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan đề tài: “Dao động tử biến dạng R(q)”, 1a két qua nghiên cứu và thu thập của riêng tôi Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài

là trung thực, không trùng với các tác giả khác Nếu có gì không trung thực

trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đông khoa học

Hà Nội, tháng năm 2013

Tác giả

Phạm Thị Hông Lê

MỤC LỤC

98:7 00 1

1 LY do chon 46 tai eccccccccscccscscscscsscscsscssscssesssssssscsssstssssssesssassessssesssasseeas 1

“\/014ã2i13i8i13i1i 00 2

3 NAI1EM VU NGNIEN CUU oe 2

4 Đối tượng và phạm vi nghién CUM osc cscs esecscsesesscscsescsscscsesesscsssesesseas 2

5 Phurong phap nghién CU cecescccsssseccessseecesescecessnsceseseecessseeseesseeeeseas 2

6 Câu trúc luận VAN oe esseeeseecseecssesseeessecseessncessecssecsncesscessceseessecseeeseeeseecseenseensees 2

)/2)8010)) c1 3 Chương 1: Dao động tử biến dạng - - 2S SeEs xxx, 3 1.1 Dao động tir Boson biến dạng - + - s43 ke 3E keErxrkrkererkrkở 3 1.1.1 Dao dOng tf BOS 3 1.1.2 Dao dong tit Boson bién dang Que.c.ccccscscsscssscsssscssscsssesescssesssesesees 8 1.2 Dao động tử Fermion biễn dạng . + 2 + sEs+E£EeE££krkerrxrkd 17 1.2.1 Dao dong tty Fermion .- (<5 5S 1 11 85 11x k, 17 1.2.2 Dao động tử Fermion biễn dạng q - 2-5 2 s+s2£s+xz£s+x2 18 1.3 Dao động tử Paraboson biến dạng . 22 + 2 s+sxzkeEsred 22 1.3.1 Dao động tử Paraboson . - - Ă S S9 vn ng re 22 1.3.2 Dao động tử Paraboson biễn dạng q 5-2 scs+sceeesreced 27 1.4 Dao động tử biến dạng R_ - ¿5-52 6S z3 SkE ke xrkerrkd 28 Chương 2: Phân bố thống kê của các dao động tử biến dạng 32 2.1 Định nghĩa về thống kê của dao động tử . ¿- - 255 2 cscsecsced 32 2.2 Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng - 33 2.3 Phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng -. 34 2.4 Phân bố thống kê của dao động tử Paraboson biến dạng 35

2.5 Phân bố thống kê của dao động tử biễn dạng R ¿- c2 << 37

Chương 3: Dao động tử biến dạng R(q) . 5- 5< 5©5+cscscsee 39 3.1 Dao động tử biến dạng RR(Q) 2 - 256k S4+kEEEEEEEEEEEEEExckEErkckeeg 39

3.2 Phân bồ thống kê của dao động tử biến dạng R(Q) 5 2 43 KET LUẬN . - -5S2< S321 S3 1311211 1511013111311 11 111111111211 1x 45 TÀI LIỆU THAM KHÁO - - 2 £SE£EE£EE£Et+EEEeEEeEEeEEerkerkereered 46

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Vật lý học được xem là ngành khoa học cơ bản chi phối tất cả các

ngành khoa học tự nhiên khác, là một trong những môn khoa học tự nhiên

nghiên cứu những quy luật đơn giản nhất và tông quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu những tính chất, câu trúc của vật chất và những

quy luật của sự vận động của vật chất Nhìn vào lịch sử vật lý, ta thấy rang

các nhà khoa học đã nhiều lần biến dạng các quy luật vật lý cơ bản để tạo nên

các lý thuyết mới đáp ứng nhu câu nghiên cứu

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu đại số biến dạng q đã thu

hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý Bởi cầu trúc toán học mới của

chúng liên quan đến những vấn đề đa dạng trong vật lý lý thuyết như lý thuyết tán xạ ngược lượng tử, mẫu hòa tan chính xác trong cơ học thống kê, lý thuyết trường Comfomail hữu tỉ, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số

Đặc biệt người ta thấy nghiên cứu biến dạng lượng tử tỏ ra rất hữu hiệu khi

nghiên cứu quang lượng tử, sự rung động của hạt nhân nguyên tử, vật lý của vật chất đông đặc

Bên cạnh đó biến dạng R cũng được quan tâm Đại số Heisenberg biến dạng R đã mô tả được những hạt có spin cao Biến dạng R(g) là biến dạng tổ hợp của biến dạng R và biến dạng q

Lý thuyết nhóm đối xứng là vẫn đề cơ bản trong vật lý lý thuyết Sự

hiểu biết về nhóm Lie và đại số của nhóm Lie đã trở nên cần thiết, là công cụ

chủ yếu của vật lý lý thuyết hiện đại Gần đây trong đại số Lie người ta quan tâm đến biến dạng đại số Lie Đặc biệt là biến dạng pha trộn giữa biến dạng R

và biến dạng q

Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài: “Dao động tử biến dạng R(q)”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu dao động lượng tử biến dạng q, biến dạng R và bién dang R(q)

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các dao động tử biến dạng

- Nghiên cứu dao động biến dạng R(q)

4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Nghiên cứu dao động lượng tử, biêu diễn của dao động lượng tử và tính thống kê của các dao động lượng tử biễn dạng R(Qq)

5 Phuong pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán

- Sử dụng các phương pháp của lí thuyết nhóm đối xứng

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Dao động tử biến dạng Chương 2: Thống kê của các dao động tử biến dạng Chương 3: Dao động tử biến dạng R(q)

NỘI DUNG CHUONG I: DAO DONG TU BIEN DANG

Trong chương này, chúng tôi sẽ viết tông quan về các dao động tử lượng tử, dao động boson biến dạng, dao động tử fecmion biến dạng, dao động tử Paraboson biến dạng và dao động tử biễn dạng R

1.1 Dao động tử boson biến dạng

1.1.1 Dao động tw boson

Dao động tử boson đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán:

Toán tử số dao động tử N được biểu diễn theo các toán tử hủy dao động

tử a và toán tử sinh dao động tử a' có dạng:

trong đó: a: là toán tử hủy dao động tử

a’: 14 toán tử sinh đao động tử

Kết hợp (1.1.1) với (1.1.2) ta có:

Đưa vào cơ sở của không gian Fock In) là trạng thái riêng của toán tử

sô dao động tử ứng với trỊ riêng n:

Bây giờ, ta hãy chứng minh răng:

(1.1.6) Với n= :

Vậy phương trình (1.1.6) đúng với n= + Suy ra (1.1.6) đúng với mọi n

Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q và toán tử

xung lượng P liên hệ với các toán tử hủy, sinh dao động a, a' như sau:

Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo

các toán tử sinh, hủy dao động tử a`, a như sau:

Phố của toán tử Hamiltonian được xác định bằng phương trình hàm riêng, trỊ riêng của toán tử Hamiltonian như sau:

1.1.2 Dao động tử boson biến dạng q

1.1.2.1 Dao động tử boson bién dang don mode

Dao động tử boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử hủy và sinh dao động tử a, a` theo hệ thức giao hoán sau:

+

trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động tử

Trong phương trình (1.1.12) nếu q= thì trở về hệ thức dao động tử

Như vậy phương trình (1.1.17) đúng với n=

Giả thiết phương trình (1.1.17) vẫn đúng với n=

Để khử N từ phương trình (1.1.12) ta đưa vào các toán tử sinh, hủy

A’, a có liên hệ với a, a theo công thức:

A=

(1.1.19) A‘ =

Biểu diễn a, a` thông qua A, A’:

a =

(1.1.20)

a’ = Tính hệ thức giao hoán của toán tử số N với A và A*:

13

cd L_—_ L _—_1

Từ hệ thức giao hoán biến dạng cơ bản (1.1.12) và công thức (1.1.19) ta

làm biến đổi sau:

Đây chính là đại số dao động tử boson thông thường Như vậy, chúng

ta có thể kết luận rằng các toán tử hủy, sinh của hệ boson q — bién dang và

không biến dạng có thê biểu diễn qua nhau nhờ hệ thức (1.1.25)

Xét hệ thức giao hoán của toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P:

1.1.2.2 Dao động tử boson bién dang da mode

Đối với các dao động tử boson biến dạng q với định nghĩa (1.1.12), (1.1.22) việc mở rộng cho hệ đa mode hoàn toàn đơn giản

Dao động tử boson biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử sinh,

hủy a;, a, theo hệ thức giao hoán sau:

1.2 Dao động tử fermion biến dạng

1.2.1 Dao dong tw fermion

Dao động tử Fermion thỏa mãn hệ thức phản giao hoán:

b? = &* > =)

Toán tử dao động N có dạng:

Trong đó: b là toán tử hủy dao động tử

b” là toán tử sinh dao động tử

Tượng tự N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

R.b '- Nb-N

Đưa vào cơ sở của không gian Fock In) là trạng thái riêng của toán tử

sô dao động tử ứng với trỊ riêng n

1.2.2 Dao động tử fermion biến dạng q

1.2.2.1 Dao dong tir fermion bién dang don mode

Dao động tử fermion đơn mode được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy

b`, u thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán:

nguyên lý Pauli 1a hệ quả trực tiếp từ bỶ = =

Hamilonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng

1.2.2.2 Dao dong tir fermion bién dang da mode

Dao động tử fermion biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử

sinh, hủy b;, u¡ theo hệ thức giao hoán sau:

Khi đó hệ thức giao hoán giữa toán tử số N, với các toán tử sinh, hủy lại trở về dao động tử fermion đơn mode thông thường

Toán tử số dao động tử điều hòa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị

thỏa mãn hệ thức giao hoán:

~~ ~

23

diễn trong bảng Young thì tất cả đều năm trên một hàng Các hạt có spin bán nguyên là các hạt Fermion, chúng tuân theo thống kê Fermi — Dirac, các hạt này nằm trong trạng thái phản đối xứng nên nếu biểu diễn trong bảng Young

thì tất cả các khối đều nằm trên một cột Một tập hợp các hạt mà có những hạt

có thể năm trong trạng thái phán đối xứng và có những hạt có thể năm trong

trạng thái đối xứng thì tuân theo thông kê para

Dao động tử paraboson đơn mode đặc trưng bởi các hệ thức giao hoán:

24

Với giá trỊ riêng n= , những trạng thái riêng tương ứng có thê nhận được bằng cách lặp lại tác dụng của toán tử a' lên trạng thái |0) Trạng thái riêng của toán tử số chưa chuẩn hóa có dạng:

In): (a’y |Y/- (1.3.10)

Tác dụng các toán tử a,a' lên trạng thái riêng In) ta có:

Từ đó ta tính được:

f(n)= + (n= + | | (1.3.13) 1.3.13 Tác động toán tử a" lên (1.3.11), toán tử a lên (1.3.12) ta được:

Tr (1.3.13), (1.3.16), (1.3.17) ta thay trong không gian Fock với cơ sở

là các vector trạng thái riêng In) của toán tử sô N:

25

Từ (1.3.18) và (1.3.19) suy ra:

Đưa vào cơ sở của không gian Fock In) là trạng thái riêng của toán tử

sô dao động tử ứng với trỊ riêng n:

jn) = vy |/ (1.3.21)

Trong đó:

(1.3.22) Như vậy dao động tử paraboson là dao động tử thỏa mãn hệ thức glao

hoán (1.3.20) với toán tử số được xác định bởi hệ thức giao hoan (1.3.7), (1.3.8)

Tức là trở về thống kê Bose thông thường

Xét toán tử A” có câu trúc như sau:

liên hệ giữa toán tử sinh A” của dao động tử boson và toán tử sinh a" của

dao động tử paraboson Từ đó ta thấy dao động tử paraboson là trường hợp biến dạng của đao động tử boson

1.3.2 Dao động tử Paraboson biến dạng q

Ta biết răng q-số tương ứng với số thông thường x được định nghĩa:

Với q, c là tham số, x có thể là một số hoặc một toán tử

Thay cho các số tự nhiên, chúng tôi sử dụng q số Lý để thu được các hệ thức trong trường hợp biến dạng của các dao động tử Para-Boson là:

Từ công thức (1.3.28) chứng tỏ răng trong không gian Fock với cơ sở là

véc tơ trạng thái riêng |n) của toán tử dao động N có các biểu thức như sau:

Đưa vào cơ sở của không gian Fock |n) là trạng thái riêng của toán tử sô

dao động tử ứng với trị riêng n:

1 Ả„

In) = Kas _)0) (1.3.31)

I ie le be be

1.4 Dao dong tir bién dang R

Dao động tử boson biến dạng R thỏa mãn hệ thức giao hoán:

trong do v: thông số biến dạng

R: toán tử Hermit thỏa mãn điều kiện

32 CHUONG 2: THONG KE CUA CAC DAO DONG BIEN DANG

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày về định nghĩa thống kê của dao động tử, thống kê của dao động tử boson biến dạng, thống kê của dao động tử fecmion biến dạng, thống kê của dao động tử para biến dạng, thống

kê của dao động tử biến dạng R và nhận thấy rằng khi thông số biến dạng tiến đến một giá trị nào đó thì phân bố thống kê của dao động tử biến dạng trở thành thống kê thông thường khi chưa biến dạng

2.1 Định nghĩa về thống kê của dao động tử

Phân bố thống kê của toán tử E được định nghĩa qua công thức:

trong đó Z là tông thống kê, xác định tính chất nhiệt động của hệ, phản ánh

trạng thái nội tại của hệ, Z còn gọi là hàm trạng thái (hay hàm phân bố) và có dang: