Đại số lượng tử Su(3) Luận văn thạc sĩ khoa học vật chất

Gần đây nhóm lượng tử và đại số của chúng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán bởi vì những quan điểm ứng dụng của... Đại số lượng tử có thể được xem

LÒÌ CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TSNguyễn Thị Hà Loan,

người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng

để tôi hoàn thành bài luận văn này Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau Đại học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, tryền đạt cho tôi những kiến thứcquý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, 15 tháng 07 năm 2013 Tác giả

Nguyễn Thị Vân Anh

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Nguyễn thị Vân Ảnh, học viên cao học khóa 2011 - 2013

chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan đề tài: “Đại số lượng tửSU(3)’\ là kết quả nghiên cún

và thu thập của riêng tôi Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực,không trùng vói các tác giả khác Neu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội,15 tháng 07 năm 2013 Tác giả

Nguyễn Thị Vân Anh

MỤC LỤC

MỞ ĐÀU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cún 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc luận văn 2

NỘI DUNG 3

Chưong 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ LƯỢNG TỬ 3

1.1 Dao động tủ’ điều hòa 3 1.1.1 Dao động tử Boson 3

1.1.2 Dao động tửFermion 8

1.2 Dao động tử biến dạng q 9 1.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q 9

1.2.1.1Dao động tử Boson biên dạng đơn mode 9

1.2.1.2Dao động tử Boson biến dạng đa mode 16

1.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q 18

1.2.2.1Dao động tử Fermion biến dạng đơn mode 18

1.2.2.2Dao động tử Fermion biến dạng đa mode 20

1.2.3 Dao động tử có thống kê vô hạn 22

1.3 Dao động tô biến dạng p,q

Chuong 2: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU(3) q 26

2.1 Đại số SU(3)26

2.2 Đại số SƯ(3)q

31

Chương 3: ĐẠI SÓ LƯỢNG TỬ SU(3)pq 34

3.1 Đại số SU(3)pq và biểu diễn dao động của đại số SƯ(3)pq 34

Г3.2 Hệ thức khôi lượng của tám hạt Baryon— 36

KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

MỞ ĐÀU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết đối xứng đóng vai trò cơ bản trong vậtlý lý thuyết Ngôn ngữ toán học của đối xứng là lý thuyết nhóm Sau sự phát triển của mẫu quark là lý thuyết Gauge không abelian của tương tác mạnh và tương tác điện yếu, sự hiểu biết những nhóm Lie đã trở thành cần thiết cho việc nghiên cún lý thuyết hạt cơ bản Nhóm Lie ngày càng trở thành công cụ chủ yếu của vật lý lý thuyết hiện đại như giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lý thuyết nhóm vô hạn

Đại số của nhóm Lie xuất hiện đã lâu song gần đây do đòi hỏi ứng dụng của nó trong nghiên cún vật lý mà V 1 Drinfeld đã lượng tủ’ hóa đại số của nhóm Lie làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay còn gọi là đại số lượng tử Gần đây nhóm lượng tử và đại số của chúng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán bởi vì những quan điểm ứng dụng của

chúng trong các mẫu vật lý và trong mối liên quan với lời giải các phương trình

vi phân phi tuyên Chúng liên quan đên những vân đê đa dạng như nghiên cứu nghiệm của phương trình Yang-Baxter lượng tử, lý tuyết trường comíòrmal hữu

tỷ lý tuyết trường hai chiều với nhũng thống kê phân số Đại số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng phụ thuộc vào một hoặc nhiều tham số của đại số Liethông thường

Đại số lượng tử có thể được xem như sự biến dạng của đại số Lie cổ điển Trong trường họp tống quát sự biến dạng này có thể phụ thuộc vào một hoặc nhiều thông số Đại số lượng tử SU(3) mô tả đối xứng spin đồng vị của các hạt cơbản Và từ đại số SU(3) có nhu cầu mở rộng thành SU(3) biến dạng phụ thuộc một thông số hoặc nhiều thông số Sự biến dạng phụ thuộc vào một thông số q đưa đến đại số biến dạng SU(3)q Đại số lượng tử SU(3)pq được khảo sát như sự biến dạng phụ thuộc hai thông số (p,q) của đại số Lie thông thường của nhóm Unita SU(3), để đạt được điều này chúng tôi xây dựng dao động điều hòa biến dạng hai thông số (p,q) Đại số lượng tử SU(3)q là một trường hợp đặc biệt của đại số SƯ(3)pq trong trường hợp giới hạn p = q Khi thông số biến dạng tiến đến

một giá trị giới hạn nào đó thì đại số biến dạng sẽ trở về đại số chưa biến dạng,

và như thế đại số biến dạng sẽ tổng quát hơn đại số chưa biến dạng Từ đó hy vọng đại số biến dạng sẽ mô tả hiện tượng vật lý gần với thực nghiệm hơn

Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “đại số lượng tửSU(3)”

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu đại số SU(3), đại số lượng tủ’ SU(3)q và đại số lượng tử SU(3)pq

5 Phương pháp nghiên cún

Sử dụng các phương pháp của vật lý lý thuyết và vậy lý toán Sử dụng các phương pháp của nhóm đối xứng và đại số lượng tủ’

6 Cấu trúc luận văn

Chương 1 : Hình thức luận dao động tử lượng tử Chương 2: Đại số lượng

tử SU(3)q Chương 3: Đại số lượng tử SU(3)pq

Trong chương này, chúng tôi sẽ viết tống quan về các dao động tử lượng

tử, dao động Boson biến dạng, dao động tử Fecmion biến dạng, dao động tử p,q và tính phổ năng lượng của các dao động tử

1.1 Dao động tử điều hòa

1.1.1 Dao động tử Boson

Hệ thức giao hoán của dao động tử Boson đon mode có dạng:

Trong đó:

a : là toán tử hủy dao động

tử a \ là toán tử sinh dao động tử Toán

Đưa vào không gian Fock với \n) là trạng thái riêng của toán tử số hạt có n

dao động tử ứng với trị riêng n:

Ta chứng minh:

= n\n)

Thật vậy:

Nịỉì) =a + a\rỳ = a + a-j=(a + ^ Ịo)

8

Với n = 1:

= 1

Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ Q và toán tử

xung lượng p liên hệ với các toán tử hủy, sinh dao động a,a + như sau:

(1.1.10)(1.1.9)

Thế (1.1.1) vào (1.1.7) suy ra :

Toán tủ’ Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo các

toán tử sinh, hủy dao động tử a+, a như sau:

H = — P 2 +-mco 2 Q 2 2 m 2

hcở( + \2 ỲlCỞ

= ——(a —a) H——ya +aJ

=——[a + —a)-ị——(a + +a}{a + +ứ)

Phổ năng lượng của dao động điều hòa được xác định bởi phương

trình hàm riêng và trị riêng của toán tủ' H:

H\n) = E n \n) H\n)J-f(2N + \)\n)

= ^f( 2 n + ỉ )\ n )

Suy ra:

„ hú)/ \

E, t =-—(2/1 + 1) n = 0,1,2,

Nhận xét: Công thức (1.1.10) là công thức xác định năng lượng của dao

động tử diều hòa một chiều

2 meo h

2

mũ ) h 2 mù)

((n|2W + l|n))

(2/1 + 1)

2

mú ) tí

2

mú)

11

12Tương tự N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

-— -—b + 2bbb +

= —b [_N,b + ~\ = Nb*-b + N

1.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q

1.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q

1.2.1.1 Dao động tử Boson biến dạng đơn mode

Daođộng tử Boson đon mode biến dạngq được mô tả bởi các toán tử

hủy và sinh dao động tủ’ a,a + tuân theo hệ thức giao hoán sau:

+ + _ - N

aa —qa a = q Q 2 1)trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động

Đưa vào không gian Fock với I /z) là trạng thái riêng của toán tử số hạt có

n dao động tử ứng với trị riêng n:

Với n = 0:

«♦fl|0)=0|0> = [0l|0>

Với n = 1:

15

Suy ra: a+a|2) = [2]j2)

Như vậy phương trình (1.2.6) đúng với n = 0, 1, 2

Giả thiết phương trình (1.2.6) vẫn đúng với n = k, tức là:

a+a\k}<l=[kll\k)íl

Ta có:

16

= я_ -я

q-q~ x

=i N + l l

(1.2.10 )

Trong không gian Fock với vector cơ sở là vector trạng thái |n) thì:

a + a = \ N ] ,

aa + = [iV + 1]

Đe khử N từ phương trình (1.2.1)

ta đưa vào các toán tử sinh, hủy

A + ,A có liên hệ với a,a+theo công thức:

ỵ i N 1 2 4 + _ + N / 2/ 1 o _0\

AA + -q 2 A + A = \

Ta dẫn tới hệ thức giao hoán kiếu Arik - Coon [9]:

Xét các toán tử b, b+ liên hệ với a, a+theo hệ thức:

Qua vài biến đổi đon giản chúng ta sẽ thu được:

[b,b*] = 1, [N,b] = -b [N,b+]=b,

N = b*b.

Đây chính là đại số dao động tử Boson thông thường Như vậy, chúng ta

có thể kết luận rằng các toán tủ’ hủy, sinh của hệ Boson q - biến dạng và không biến dạng có thể biểu diễn qua nhau nhờ hệ thức (1.2.14)

20

a j

(1.2.22)

1.2.1.2Dao động tử Boson biến dạng đa mode

Đối với các dao động tử Boson biến dạng q với định nghĩa (1.2.1), (1.2.11) việc mở rộng cho hệ đa mode hoàn toàn đơn giản

Dao động tử Boson biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy

a + ,a theo hệ thức giao hoán sau:

Khi ỉ = j thì n N ị, CL ^ = aj,

Khi đó hệ thức giao hoán giữa toán tử số N với các toán tử sinh, hủy a + ,a

lại trở về dao động tử Boson đơn mode thông thường

Toán tử số dao động tủ’ điều hòa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trịriêng:

N \ n ) = 72 |/i) (1.2.24)

Và N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

Đe khử N trong phương trình (1.2.19) ta dùng các toán tử sinh, hủy

A + ,A được định nghĩa theo công thức đưa vào toán tử A+, A cóliên hệ với

= r 2 [",^

7.2.2 Dao động tử Fermion biến dạng q

1.2.2 ỉ Dao động tử Fermion biến dạng đơn mode

Dao động tử Fermion biến dạng q được mô tả bởi các toán tử sinh, hủy

Khi q = l ta có dao động tủ' Fermion thông thường bb + + b + b = 1

và

nguyên lý Pauli là hệ quả trực tiếp từ b 2 = [ b+) = 0

Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng p có dạng:

1.2.2.3Dao động tử Fermion biến dạng đa mode

Dao động tử Fermion biến dạng đa mode được mô tả bởi các toán tử

sinh, hủy f + , f - theo hệ thức giao hoán sau:

Khi đó hệ thức giao hoán giữa toán tử số N với các toán tử sinh, hủy /+,/ lại trở về dao động tử fermion đơn mode thông thường

Toán tủ' số dao động tủ* điều hòa thỏa mãn phương trình hàm riêng, trịriêng:

1.2.3 Dao động tử có thống kê vô hạn [10]

Khái niệm vô hạn được Greenberg định nghĩa (năm 1990) là biểu diễn qua những số hạng của toán tử sinh a+, toán tử hủy a trong khuôn khổ lý thuyết trường:

(1.2.50)

(1.2.51)

(1.2.52)(1.2.53)

N = a+a+a+a+aa+ = )

k=\

Trạng thái riêng chuẩn của toán tử N:

|«) = (ữ+)"|0)Khi đó:

1.3 Dao động tử biến dạng p,q

Xét những toán tử liên hợp của chúng « ^ , « 2 thỏa mãn hệ

thức sau:

ứ|ứj+ — p x ũ[ũ x — qN{,+ -1 + _ „N,[ữf.,«j] = o,ỉ>i/

[ứf.,ứj] = 0 ; ỉ , j = l , 2

P Q

pq

(1.3.5)

pq

Ớ đây N được gọi là toán tử số dao động được định nghĩa từ những

toán tô a , a + như sau:

I n) =1 n ] 9 n 2 )

I / pq I 1 z / pq

CHƯƠNG 2: ĐẠI SÓ LƯỢNG TỦ sư(3)q

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày, đại số SU(3) và đại số SU(3)q

'0 1 oV л

33

ỉ о о

а

-J\ а зу

= —ị—ỉaỊa 3 + ỉa\a x )

tìm được các hệ thức giao hoán của /

ữ

Đây chính là dại số SU(3) thông thường

Như vậy ta có thể biểu diễn đại số SU(3) qua

+ 4 * 4 *

dl &~k

E 2 = /6 + iỉ 1

=

36

ứịữị'1’ = 1 + d ị d ị [ö2»ö2] = 1 ^ a 2 a 2 ~ a 2 a 2 - 1 => a 2 Ü2 = 1 + a^a 2 Có:

= (yv, - л?2)(iV2 - лд -(yv2 - yv3)(лг, - лд

= /v,yv2 - yv,yv3 - yv2yv2 + yv2yv3 - yv2yv, + yv2yv2 + yv3yv, - yv3yv2

[Cfj , G^2 ] = G'|G'2 — G-fi x — ữỊữ^ci^ữị — ữ^ciịữ^ữ^

ajbị -q~ x ba =0,

[a,>,] = 0 ( i * j )

ỏ đây N ị được gọi là toán tử số dao động và được định nghĩa tù' a , ữ,+ , b., bỊ

như sau

Chúng ta hãy xem xét vấn đề về tách khối lượng cho phá vỡ đối xứng bên

trong SU(3) trên quan điểm của khái niệm nhóm lượng tử, xét bài toán về

A ~ (ữị/?, + a 2 b 2 - 2apl)

40

Hệ thức này phù hợp với số liệu thực nghiệm với độ chính xác 2,5%

Trong chương này chúng tôi sẽ nghiên cún về đại số SU(3)pq và biểu

pq

1 +

diên dao động của đại sô SU(3)pq, hệ thức khôi lượng tám hạt Baryon —

3.1 Đại số SU(3)pq và biểu diễn dao động của đại số SU(3)pq

Tương tự đại số biến dạng một thông số chúng tôi đưa ra khái niệm nhóm lượng

tử SƯ(3)pq mà đại số của nó sinh ra bởi những toán tử E a , F a , H a ( a = 1,2) tuân

theo những hệ thức giao hoán [7]:

Hệ thức (3.1.1) đúng với p, q tổng quát Ea, Fa, H a (a = 1,2) là những hàm sinh

Trong trường hợp giói hạn p=q thì [x] —> [x] và đại số lượng tử

sư(3) (3.1.1) trở về đại số lượng tủ’ sư(3) (2.1.6)

Dao động tủ’ điều hòa biến dạng -p, q cho đại số lượng tử sư (3) là sự mở rộng của dao động điều hòa biến dạng một tham số của đại số sư(3) chúng bao gồm hai loại dao động a } ,a 7 ,a 3 và và liên hợp của chúngthỏa mãn hệ thức giao hoán lượng tử:

[ữ„i>J = 0,í * j,

[a n b*] = 0 ]

(,-’) =°’

K^2](,-.)=0 hA](,-.)=o

Nj được gọi là toán tử số dao động được định nghĩa sao cho:

[ N i] w = a ì a ì — pq~'b*b t

Những vi tử của đại số lượng tử su (3) được biếu diễn trong những số hạng của

dao dộng lượng tử giống như trường họp của đại số lượng tử một

Sử dụng hệ thức (3.1.2) có thể chứng minh được rằng các vi tô E a , F ư , H a ( a

= 1,2) được biểu diễn dưới dạng (3.1.4) sẽ thỏa mãn đại số S Ư ( 3 ) q dạng (3.1.1).

; 1 +

3.2 Hệ thức khôi lượng của tám hạt Baryon —

Dựa trên khái niệm đại số biến dạng hai tham số s ư ( 3) chúng tôi tiếp

rtục xét bài toán tách khôi lượng của bát tuyên baryon —

Giả sử khối lượng của hạt A được định nghĩa qua công thức :

(3.2.1)

Ở đây M là toán tử khối lượng được xây dựng từ tổ hợp của

nhứng hàm sinh E a , F a , H a mà trong giới hạn cổ điển /?,g—»1 nó tự xuất hiện như là

toán tử casimir bậc 2 của nhóm SU(3) Dạng tổng quát nhất của toán tử như vậy là:

Công thức (3.2.1) và (3.2.2) cho phép diễn đạt khối lượng của các hạt theo các

thông số a,b,c,d và các thông số biến dạng p , q Trong đối xứng hai thông số biểu

thức khối lượng cũng có dạng như trong đối xứng một thông số Chúng tôi đã chứng

minh được rằng biểu thức khối lượng này là tổng quát nhất nó đúng trong đối xứng

SU(3) lượng tò có một thông số bất kỳ

b, Đối với trường hợp p,q gần nhau tức là q = p+e trong đó E bé Ket quả tính toán được cho trong bảng 3

e<~>

Y +

+

,

1 E ï.

1 +

ũ ,

(S I

C i,

f N

un 1 n

Г )

7

E s

7 C u +

м

= ь

+ +

V -I '

+ +

t 7 T '

C i

1 ь г

1

p

] [I ]

47

Trường hợp p,q gần nhau kết quả tính toán cũng không cho một biểu thức

quan điểm của nhóm đối xứng lượng tử hai tham số sư(3) chúng tôi có một vài nhận

Trong luận văn này đã xét đến đại số biến dạng mở rộng đại số biến dạng thông thường một thông số Đã triển khai những tính toán chi tiết làm cơ sở cho những ứng dụng sau này để nghiên cứu nhưng vấn đề vật lý cụ thể

Các nội dung trong luận văn có thế sử dụng đế nghiên cứu các quy luật phân bố thống

kê của các hạt trong từng mô hình cụ thể Những kết quả chủ yếu của luận văn có thể tóm tắt như sau:

• Trình bày những nét tống quan về đại số biến dạng

• Triển khai các tính toán chi tiết và một số trường họp ứng dụng cụ thể

• Thu được một số kết quả mới cho những trường hợp tổng quát hơn, những kết quả này có thể được ứng dụng khi xét đến những bài toán vật lý cụ thể trong tương lai

Đây là những vấn đề có tính thời sự đặc biết có thể được ứng dụng để xây dựng mô hình lý thuyết đại thống nhất các tương tác