CẤU TRÚC PHA CỦA NGƯNG TỤ BOSEEINSTEIN (BEC) MỘT THÀNH PHẦN Ở NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ

Ví dụ: trong chuyển pha sắt từ - thuận từ, đối xứng tinh thể nói chungkhông thay đổi nhưng đối xứng của mô men từ thay đổi: các mômen từ cómột phương dị hướng đối xứng thấp trong pha sắt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Viết Hòa

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầygiáo hướng dẫn PGS TS Lê Viết Hòa, khoa Vật lý trường ĐH Sư Phạm HàNội, người đã trực tiếp hướng dẫn trực tiếp cũng như giúp đỡ tôi trong suốtquá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này Thầy đã cung cấp cho tôirất nhiều hiểu biết về một lĩnh vực mới là lí thuyết chuyển pha khi tôi mới bắtđầu bước vào thực hiện luận văn Trong quá trình thực hiện luận văn thầyluôn định hướng, góp ý và sửa chữa những chỗ lỗi sai giúp tôi hoàn thành tốtluân văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý trường ĐH

Sư Phạm Hà Nội, cũng như các thầy cô trong trường đã giảng dạy, giúp đỡchúng tôi nhiệt tình trong khoá học này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn phòng Sau đại học, các phòng ban, thưviện trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ và cũngxin chân thành cảm ơn những bạn bè, đồng nghiệp, đoàn thể cơ quan đã tạođiều kiện giúp đỡ tôi để tôi hoàn thành luận văn này

Do hạn chế về thời gian cũng như trình độ bản thân nên luận văn khôngtránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được mọi ý kiến đóngquý báu vàchỉ bảo của thầy cô, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thành Vinh

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán 1

HÀ NỘI - 2015 1

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1 Minh hoạ một số loại chuyển pha và các tham 10

số trật tự tương ứng 10

Bảng 1.2 Giá trị của một số chỉ số tới hạn trong lý thuyết Landau 20

Các chỉ số có giá trị như nhau ở cả hai phía của chuyển pha 20

Giá trị thực nghiệm là kết quả trung bình mô tả các chuyển pha từ [4] 20

DANH MỤC HÌNH

Hình 1.1 Sự biến đổi enthanpy và một số biến số nhiệt động thể tích (V), entropy (S) và nhiệt dung () tại điểm chuyển pha loại một (a) và loại hai (b) .6

Hình 1.2 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của tham số trật tự 10

Hình 1.3: Sự phụ thuộc của tham số trật tự enthanpy tự do ở T > T và T < T13 Hình 1.4 Sự phụ thuộc của áp suất vào nhiệt độ trong chuyển pha loại hai và chuyển pha loại một 14

Hình 1.5 Năng lượng tự do như là hàm số của tham số trật tự 16

Hình 1.6 Sự thay đổi của nhiệt dung ở chuyển pha loại hai 18

Đường liền nét: lý thuyết landau, đường đứt nét: thực nghiệm 18

Hình 1.7 Hệ số từ hoá ở lân cận điểm chuyển pha của hợp kim 20

Hình 2.1 Chu tuyến được sử dụng trong hình thức luận thời gian thực 43

Hình 3.1 Sự phụ thuộc nhiệt độ của ở một vài giá trị của µ 64

Hình 3.2 Sự phụ thuộc nhiệt độ của tham số trật tự ở một vài giá trị của µ 64

Hình 3.3 Sự phụ thuộc tham số trật tự của thế hiệu dụng 65

Hình 3.4 Giản đồ pha trong mặt phẳng (T, µ) 65

Hình 3.5 Sự phụ thuộc λ của ở một vài nhiệt độ 66

Hình 3.6 Sự phụ thuộc λ của tham số trật tự ở một vài nhiệt độ 66

Hình 3.7 Sự phụ thuộc tham số trật tự của thế hiệu dụng V tại T = 116nK 67

Hỉnh 3.8 Giản đồ pha trong mặt phẳng (T, λ) 67

MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài

Sự tồn tại của ngưng tụ Bose – Eintein (BEC) trong khí Bose ở nhiệt độcực thấp đã được Einstein tiên đoán từ năm 1925 nhưng mãi đến năm 1995mới thực sự được kiểm chứng bằng thực nghiệm và từ đó đến nay việc nghiêncứu các tính chất vật lý của BEC tạo nên từ khí Bose đã trở thành một trongnhững lĩnh vực hấp dẫn nhất của vật lý hiện đại vì nó mở ra một khả năngthực tế cho việc tạo nên các vật liệu mới với những đặc tính vượt trội so vớicác vật liệu truyền thống Mặc dù đã có nhiều tiến bộ trong việc nghiên cứucác tính chất của BEC, nhưng vẫn còn nhiều vấn đề chưa được sáng tỏ nhưcấu trúc pha, tính bất ổn động lực Đặc biệt, gần đây thực nghiệm còn chứng

tỏ có thể thay đổi các tham số để điều chỉnh quá trình ngưng tụ theo ý muốn

Do đó nghiên cứu một cách toàn diện cấu trúc pha của BEC cũng như khảosát vai trò của hằng số tương tác là một trong những vấn đề cấp thiết trongviệc hoàn thiện hiểu biết về BEC

2 Nghiên cứu cấu trúc pha của BEC một thành phần với các nhiệm vụ

cụ thể: thiết lập phương trình trạng thái, trên cơ sở đó sẽ thực hiện tính số để

vẽ giản đồ pha trong trường hợp nhiệt độ hoặc các hằng số liên kết thay đổi

3 Đối tượng nghiên cứu

Là khí Bose một thành phần được mô tả bằng mật độ Lagrangian sau:

trong đó m, µ tương ứng là khối lượng thuần và thế hóa của hạt vôhướng mang điện được mô tả bằng trường φ Còn λ là hằng số liên kết mô tả

sự tự tương tác của trường

4 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

* Tìm hiểu lý thuyết chuyển pha.

* Tìm hiểu lí thuyết trường ở nhiệt độ và mật độ hữu hạn

* Tính thế nhiệt động CJT ở gần đúng 2 loop, tiến hành táichuẩn hoá thế nhiệt động, từ đó rút ra phương trình khe, phương trìnhSwchinger-Dyson… và tiến hành tính số để làm rõ cấu trúc pha BEC trongkhí Bose ở nhiệt độ cực thấp

5 Phương pháp nghiên cứu của đề tài

Sử dụng các phương pháp đang sử dụng rộng rãi trong lý thuyết trường:phương pháp gần đúng trường trung bình, phương pháp Hartree-Fock,phương pháp tính số bằng máy tính điện tử

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn này trình bày các kết quả thu được khi thực hiện những mụcđích đề ra và được cấu trúc như sau: ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệutham khảo là phần chính gồm 3 chương:

Chương I: Trình bày tổng quan về lí thuyết chuyển pha.

Chương II: Phương pháp tác dụng hiệu dụng ở nhiệt độ và thế hóa hữu

hạn với những khái niệm cơ bản như: Thế hiệu dụng CJT, hàm Green nhiệt

độ, khai triển loop, hình thức luận thời gian thực và thời gian ảo…

Chương III: Cấu trúc pha của BEC trong khí Bose một thành phần ở

nhiệt độ cực thấp

* Chuyển pha là sự thay đổi trạng thái từ mức độ đối xứng này sangmức độ đối xứng khác, hình thành các tính chất mới của vật liệu Đối xứng đềcập ở đây có thể là đối xứng tinh thể (chuyển pha rắn - lỏng, chuyển pha xênhét - thuận xê nhét), nhưng cũng có thể là đối xứng của các tham số vật lýkhá Ví dụ: trong chuyển pha sắt từ - thuận từ, đối xứng tinh thể nói chungkhông thay đổi nhưng đối xứng của mô men từ thay đổi: các mômen từ cómột phương dị hướng (đối xứng thấp) trong pha sắt từ nhưng lại đẳng hướng(đối xứng cao) trong pha thuận từ.

* Tại điểm chuyển pha (ở nhiệt độ T = TC), trạng thái (và do đó cáchàm trạng thái) của hệ có thể thay đổi một cách liên tục (theo phân loại củaEhrefest đây là chuyển pha loại hai) hoặc có thể thay đổi một cách đột ngột(chuyển pha loại một) nhưng đối xứng tại điểm chuyển pha bao giờ cũng thayđổi một cách nhảy bậc Trong đại đa số các trường hợp đã biết về chuyển phaloại hai, pha có đối xứng cao thường ứng với nhiệt độ cao, còn pha có đốixứng thấp ứng với nhiệt độ thấp hơn Do đó, chuyển pha loại hai từ trạng tháitrật tự sang trạng thái hỗn độn xảy ra khi nhiệt độ tăng Tuy nhiên đó khôngphải là quy luật thống kê nên sẽ có những trường hợp ngoại lệ Thí dụ, chất xênhét Titanát Bari (BaTiO3) có ba điểm chuyển pha, trong đó điểm chuyển pha

ở nhiệt độ thấp nhất là T = 190K là chuyển pha từ cấu trúc hệ thoi sang hệđơn tà với bậc đối xứng thấp hơn.

Theo lý thuyết nhiệt động, sự thay đổi liên tục của trạng thái tại điểmchuyển pha loại hai được mô tả bằng các điều kiện sau đây:

- Các hàm thế nhiệt động của hệ thay đổi liên tục khi đi qua điểmchuyển pha

- Đạo hàm bậc nhất của các thế nhiệt động và (hoặc) các hàm trạng tháinhiệt động (entropy, thể tích,…) liên tục

- Đạo hàm bậc nhất của các hàm trạng thái nhiệt động và (hoặc) đạohàm bậc hai của các thế nhiệt động có giá trị gián đoạn

- Các hàm thế nhiệt động thường sử dụng là năng lượng tự do F (nếu xét với các biến số (T,V) và enthanpy tự do G (nếu xét với các biến sô (p,T)),

…

- Xét năng lượng tự do F với T là nhiệt độ, xi là toạ độ suy rộng (thểtích mô men từ), Xi là lực suy rộng (áp suất, từ trường,…), các điều kiện củachuyển pha loại hai vừa nêu có thể biểu diễn bằng các phương trình sau đây

Suy ra Δ S = 0 Mặt khác ta cũng thấy ΔQ = TΔS = 0 tức là tại điểmchuyển pha loại hai không có ẩn nhiệt kèm theo.

Theo điều kiện (1.2b), Δx = 0, tức là các toạ độ suy rộng, như thể tích,i

mô men từ,… cũng thay đổi liên tục ( ΔV = 0, ΔM = 0, )

Hệ quả trực tiếp từ biểu thức (1.3) là bước nhảy của nhiệt dung

tại điểm chuyển pha loại hai, hệ số giãn nở nhiệt

Đối với các chuyển pha loại một, ngược lại các đại lượng nhiệt động làđạo hàm bậc nhất của thế nhiệt động như mật độ, entropy,… thay đổi độtngột, sự biến đổi của enthanpy tự do và một số biến số nhiệt động tại điểmchuyển pha loại một và loại hai được minh hoạ trên hình 1.1 Ở chuyển phaloại một, sự sắp xếp lại của mạng tinh thể (sự thay đổi kích thước giữa cácnguyên tử và góc giữa các mặt tinh thể) xảy ra trong một khoảng nhiệt độthấp hẹp Hệ quả là đối xứng của vật thể thay đổi một cách đột ngột Đồngthời trạng thái của tinh thể, nội năng và các đại lượng nhiệt động khác sẽ thayđổi, dẫn đến sự xuất hiện của bước nhảy thể tích và sự thu (hoặc toả) ẩn nhiệtchuyển pha

(b)

Hình 1.1 Sự biến đổi enthanpy và một số biến số nhiệt động thể tích (V), entropy (S)

và nhiệt dung (CP) tại điểm chuyển pha loại một (a) và loại hai (b)

Theo phân loại của Ehrenfest, cũng có thể tồn tại các chuyển pha caohơn, trong trường hợp đó nói chung, có thể gọi là chuyển pha đa tới hạn.Chuyển pha này có các đặc điểm sau đây:

- Các hàm thế nhiệt động thay đổi liên tục khi đi qua điểm chyển pha

- Một số đạo hàm bậc hai và bậc cao hơn của các thế nhiệt động theocác biến số trạng thái triệt tiêu tại điểm chuyển pha.

Điểm chuyển pha tương ứng gọi là điểm đa tới hạn Một cách tổngquát, người ta còn gọi là chuyển pha loại p Khi đó điểm đa tới hạn là điểm

mà tại đó có p pha trở nên giống nhau, không thể phân biệt

1.2 Phân loại chuyển pha

Khái niệm hiện tượng tới hạn được dùng để chỉ các tính chất nhiệt độngcủa hệ vật lý ở gần nhiệt độ tới hạn trong chuyển pha loại hai hoặc gần điểmtới hạn trong chuyển pha loại một (khí-lỏng) nói chung

Có hai cách phân loại chuyển pha:

a - Ehrenfest (1933) Chuyển pha thuộc loại bậc n nếu đạo hàm bậc ntheo nhiệt độ của ít nhất một trong các biến nhiệt động, chẳng hạn hóa thế

T < TC xảy ra hiện tượng từ hóa tự phát với m 0→ ≠ lúc này hệ chỉ còn bấtbiến O(2)

Do sự phá vỡ từ đối xứng cao xuống đối xứng thấp, một tham số diễn tảtính chất của hệ ở pha nhiệt độ thấp cần được đưa vào: đó là tham số trật tự

(order parameter) Trong trường hợp ferromagnetic thì tham số trật tự là m→ với

ba thành phần Đối với chuyển pha khí – lỏng thì tham số trật tự là hiệu số thểtích của các pha đồng tồn tại, hiệu số này tiến tới không tại điểm tới hạn

Chuyển pha là bậc một nếu tồn tại một sự thay đổi gián đoạn của tham số trật

tự và là loại hai nếu tham số trật tự tiến tới không liên tục tại T = TC

Ý tưởng cơ bản là ở điểm tới hạn tham số trật tự là đại lượng quantrọng duy nhất Để đơn giản ta hãy xét trường hợp tham số trật tự là một vôhướng M Khi tham số trật tự thay đổi một lượng dM thì công sinh ra trên hệđược viết:

dw = HdM H – trường liên hợp của M

Trong trường hợp ferromagnetic H chính là trường ngoài tác dụng lên

hệ, khi H = 0, tham số trật tự là hàm chính quy của nhiệt độ, nhưng nó có thể

có đạo hàm gián đoạn tại TC khi H ≠ 0 Sự có mặt của trường ngoài không chochuyển pha xảy ra

Dùng H và T như các biến nhiệt động độc lập ta có thể suy ra tất cả cáchàm nhiệt động từ năng lượng tự do Gibbs G (H, T)

2 2 2

Khái niệm thay đổi đối xứng tại điểm chuyển pha (trừ chuyển pha lỏng

– khí) đã được L.D Landau đưa ra vào năm 1937 Các bài toán về đối xứng,

do đó có một ý nghĩa quan trọng trong các nghiên cứu hiện tượng chuyển pha,

để mô tả sự chuyển pha, hay sự thay đổi (hoặc phá vỡ) đối xứng Landau đã

đưa thêm vào khái niệm tham số trật tự ( ) Tham số trật tự là một đại lượngvật lý có giá trị bằng không trong pha đối xứng cao (hay pha bất trật tự) Kháiniệm tham số trật tự này có ý nghĩa định tính rõ rệt: khi nhiệt độ giảm trật tựcủa hệ tăng lên Như vậy, ngoài các tham số quen thuộc như áp suất p, nhiệt

độ T, lực suy rộng h, các hàm thế nhiệt động của hệ vật lý bây giờ đựơc biểudiễn như là các hàm số của tham số trật tự, G = G(p,T,h, η ) Tham số trật tựđược sử dụng để mô tả sự thay đổi định tính của hàm thế nhiệt động ở gầnđiểm chuyển pha liên quan đến sự áp suất chiếm vị trí tinh thể của các nguyên

tử khác loại trong hợp kim đôi CuZn, của độ từ hoá trong các vật liệu từ, của

độ phân cực trong các chất điện môi,… Do vậy, các tham số trật tự có thể làcác đại lượng vật lý đó (bảng 1.1)

Tham số trật tự η thay đổi từ η = 0 (hỗn độn tuyệt đối) đến η = 1 (trật

tự tuyệt đối) khi được làm lạnh đến thấp hơn nhiệt độ chuyển pha T = TC, vật

có thể bắt đầu thay đổi từ trạng thái hỗn độn sang trạng thái trật tự một phần.Tiếp tục giảm nhiệt độ, mức độ trật tự có thể hoàn toàn đạt được Sự phụthuộc nhiệt độ của tham số trật tự được minh hoạ trên hình 1.2 Đối vớichuyển pha loại một, η thay đổi một cách nhảy bậc (hình 1.2a) Còn đối vớichuyển pha loại hai, η thay đổi một cách nhảy bậc từ từ (hình 1.2b)

Hình 1.2 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của tham số trật tự (a) chuyển pha loại một, (b) chuyển pha loại hai

Cần lưu ý rằng, khi khảo sát các đại lượng nhiệt động, hàm thế nhiệtđộng là hàm của p,T, h và của cả η Tuy nhiên trong một chừng mực nhấtđịnh, biến số η không thể đứng ngang hàng với các biến số p, và T, trong khinhiệt độ và áp suất có thể cho trước một cách tuỳ ý, thì giá trị thực tế của ηcần phải được được xác định từ điều kiện cân bằng nhiệt động tức là từ điềukiện cực tiểu của năng lượng

Bảng 1.1 Minh hoạ một số loại chuyển pha và các tham

số trật tự tương ứng

Chuyển pha Thông số trật tự Chất TC(K)Lỏng – khí

Sắt từ - thuận từ

Xê nhét - thuận xê nhét

Siêu dẫn - dẫn điện thường

Hêli thường – hêli siêu

Mức độ định hướng

Xác suất chiếm vị trí tinh thể

H2OFeBaTiO3

PbHeli 3Dimethoazoxy-Benzen

Zn - Cu

37310444087,40,002408,5

742

(b) (a)

1.4 Năng lượng tự do và hàm thế nhiệt động

Trong vật lý thống kê hàm trạng thái thường được sử dụng để khảo sátcác trạng thái của hệ thông thường là năng lượng tự do F:

F = E – TS (1.4)trong đó E là nội năng của vật thể

Lưu ý rằng:

dE = TdS – pdV (1.5)nên

dE = dE – TdS – SdT = - SdT – pdV (1.6)Năng lượng tự do F còn được gọi là thế nhiệt động ứng với V và T Từđây ta có thể xác định được:

S =

V=const

FT

∂

− ∂ ÷ (1.7)Đặc điểm của thế nhiệt động là nếu biết đại lượng đó và lập đựơc cácđạo hàm riêng của nó, ta có thể xác định được tất cả các đại lượng còn lại.Theo nghĩa đó, hàm số:

G = E – TS + pV = F + pV (1.8)có

dG = – SdT + Vdpnên cũng được gọi là thế nhiệt động với các biến số p và T (enthanpy) Trongnhiều tài liệu, các hàm số F và G nhiều khi còn được gọi một cách tương ứng

là năng lượng tự do Helmholtz và năng lượng tự do Gibbs Trong các khảo

sát từ nay về sau ta sử dụng chủ yếu là hàm năng lượng tự do F và enthanpy

tự do G, khi thảo luận về hiệu ứng thể tích, số hạng pV được đưa vào tronghàm F

Trước khi trình bày khai triển Landau của năng lượng tự do, chúng tahãy nhớ rằng, trong vật lý thống kê, năng lượng tự do thường được xác địnhtheo tổng thống kê Z như sau:

F = – kBTlnZ = kBTln -E /k T n B

n

e

∑ (1.9)hay:

Ta sẽ sửa dụng các biểu thức (1.9) và (1.10) để tính toán năng lưọng tự

do, enthanpy tự do và thảo luận các đặc tính chuyển pha trong các chương sau

Việc tìm hiểu một cách đầy đủ tính chất của thế nhiệt động tại điểmchuyển pha cho đến nay vẫn còn có những khó khăn lớn Tuy nhiên, về mặttoán học và một cách hoàn toàn hiện tượng luận, lý thuyết Landau đã rấtthành công trong việc mô tả các chuyển pha siêu dẫn, chuyển pha xênhét,

chuyển pha từ, …chỉ dựa trên việc khai triển hàm enthanpy tự do theo chuổi

luỹ thừa của tham số trật tự Ở lân cận điểm chuyển pha, đại lượng η nhận

những giá trị nhỏ bất kỳ, do đó ta có thể khai triển G(p,T, η ) thành chuỗi lũythừa của η như sau:

Hình 1.3: Sự phụ thuộc của tham số trật tự enthanpy tự do ở T > TC và T < TC

Trạng thái cân bằng của hệ phải thoã mãn các điều kiện sau đây:

F

= 0T

η = 0 , và A < 0 ở T < TC để G có cực tiểu tại 0 < η ≤ 1 Vì A có dấu đốinhau ở hai phía của TC nên có thể bằng không tại chính điểm đó Do vậy ta

ứng), β = 0 Ví dụ đối với các vật liệu từ, enthanpy tự do G là một hàm vôhướng của các véc tơ từ độ, nên chỉ có thể chứa các số hạng bậc chẵn, nóicách khác G không được thay đổi theo phép đảo thời gian nhưng mô men từ

có thể thay đổi dấu Do đó trong khai triển Landau của G theo chuỗi của ηkhông chứa các số hạng bậc lẻ theo η trong trường hợp này, điểm chuyển phachỉ có một điều kiện, A(p,T) = 0 Điều kiện này xác định p, T như hàm số củanhau Như vậy trong mặt phẳng (p,T) có tồn tại cả một đường các điểmchuyển pha loại hai (hình 1.4)

Khi số hạng bậc ba tồn tại, để G( η ) có cực tiểu và là trạng thái bềnvững với η = 0 thì ngoài điều kiện A(p,TC) = 0 còn phải có thêm β (p,TC) =

0 Khi đó điểm chuyển pha được xác định bằng trường hợp của chuyển pharắn - lỏng, chuyển pha các tinh thể lỏng Do tồn tại số hạng bậc ba trong khaitriển của enthanpy tự do cho nên chuyển pha này không phải là chuyển phaloại hai

Hình 1.4 Sự phụ thuộc của áp suất vào nhiệt độ trong chuyển pha loại hai và chuyển

pha loại một.

1.5 Hiện tượng tới hạn trong lý thuyết Landau cho chuyển pha loại hai

Lý thuyết hiện tượng luận về chuyển pha của Landau không tính đến sốchiều của tham số trật tự, do đó có thể đơn giản chúng ta có thể xem xét tham

Điểm ba

Chuyển pha loại một

Chuyển pha loại hai A(p,T) = 0

T p

số trật tự một chiều η Trong trường hợp này, năng lượng tự do của hệ ở lâncận điểm chuyển pha loại hai có thể được viết:

* Đường cong 1 có cực tiểu năng lượng tại tương ứng với trạng thái bất

trật tự của hệ (ở T > TC ) Điều kiện của trạng thái này là: A > 0 và B > 0

* Đường cong 3 có cực tiểu năng lượng tại η = η ( 0)0 ≠ tương ứng vớitrạng thái trật tự của hệ (T < TC) Điều kiện của trạng thái này là A < 0, B > 0

* Đường cong 2 nhận được ở nhiệt độ tới hạn T = TC và là giớn hạngiữa trạng thái (1) và (3).Điều kiện của trạng thái này là A = 0, B > 0

Với sự thay đổi liên tục qua điểm chyển pha như vậy, có thể cho phépbiểu diễn sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số A như sau:

A(T) = A0(T −TC) với A0 > 0 (1.14)Trong các khảo sát dưới đây, sự phụ thuộc như vậy của hệ số A được

sử dụng, còn hệ số B được giả thiết là một hằng số

Hình 1.5 Năng lượng tự do như là hàm số của tham số trật tự

1.5.1 Sự phụ thuộc nhiệt độ của tham số trật tự, chỉ số tới hạn β

Sự biến đổi theo nhiệt độ của η ở gần TC có thể được xác định bằng

cách cực tiểu hoá hàm năng lượng tự do theo η , F = 0

∂

∂ (1.15)Hay:

2

η(A+Bη ) + = 0 (1.16)Các nghiệm tương ứng của phương trình này là:

1

η = 0 (1.17a)

2 2

hướng ngược nhau của tham số trật tự (ví dụ như véc tơ từ độ trong quá trình

từ hoá và đảo từ, véc tơ độ phân cực và khử phân cực)

Trong các lý thuyết về hiện tượng tới hạn, chỉ số tới hạn β được địnhnghĩa như sau:

β C

η ~ (T T )− (1.18)Như vậy trong lý thuyết của Landau mô tả ở đây, β nhận giá trị cổ điểnbằng 1/2 Tuy nhiên, giá trị thực nghiệm của β xấp xỉ bằng 0,34 (xem bảng 1.2)

1.5.2 Entropy

Ở lân cận điểm chuyển pha, coi T và η là hai biến độc lập, entropy Sđược xác định bởi công thức sau:

∂ ÷

  (1.21)Trong pha đối xứng (hay pha bất trật tự, T = (TC+ε ), S = S0, do đó C

p1=Cp0 Trong pha bất đối xứng (pha trật tự, T = (TC −ε)), từ phương trình(1.20) ta có:

Trong trường hợp này hệ đang xét (hệ đồng nhất chỉ tồn tại trật tự xa),

sự thay đổi của nhiệt dung theo nhiệt độ được biểu diễn trên hình 1.6 (đường

cong liền nét) Tuy nhiên các kết quả thực nghiệm đã chỉ ra rằng, nhiệt dungkhông thay đổi một cách đột ngột ở trên nhiệt độ chuyển pha mà tăng mộtcách từ từ (đường cong đứt nét trên hình 1.6) Như sau đây ta sẽ xét đến, đó là

do sự ảnh hưởng của hiệu ứng thăng giáng tới hạn

Hình 1.6 Sự thay đổi của nhiệt dung ở chuyển pha loại hai Đường liền nét: lý thuyết landau, đường đứt nét: thực nghiệm

1.5.4 Độ cảm

Chúng ta hãy tiếp tục xét bài toán với việc đưa thêm vào đại lượng lực

tổng quát h Đại lượng này có liên hệ với tham số trật tự như sau:

Dễ dàng nhận thấy rằng nếu η là độ từ hoá M thì h là từ trường đặt vào

H, còn nếu η là độ phân cực điện môi P thì h là cường độ điện trường E,…

Khi có mặt của lực tổng quát, năng lượng bổ sung thêm số hạng ηh− ,

χ + 3Bη χ −1 = 0 (1.28)Trong pha bất trật tự (T > TC), η = 0 , do đó:

Chia phương trình (1.29) cho phương trình (1.310, ta tìm được định

luật “hai lần” (“ rule of two”):

C C

Để minh hoạ cho định luật “hai lần”, sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm

từ của hợp kim Fe64Ni36 được trình bày trên hình 1.7

χ (đơn vị tuỳ ý)

Hình 1.7 Hệ số từ hoá ở lân cận điểm chuyển pha của hợp kim

1.5.5 Sự phụ thuộc vào lực tổng quát của tham số trật tự tại nhiệt độ chuyển pha, chỉ số tới hạn δ

Tại T = TC, A = 0, phương trình (1.25) và (1.26) dẫn đến sự biến đổicủa tham số trật tự được mô tả bằng phương trình:

3

Bη −h = 0 (1.33)hoặc

η : h = h 1δ 13 (1.34)

Vì vậy chỉ số tới hạn δ nhận giá trị bằng 3

Giá trị của chỉ số tới hạn đoán nhận được từ lý thuyết Landau chochuyển pha loại hai được tổng kết trên bảng 1.2

Lưu ý rằng so sánh với kết quả thực nghiệm, sự phù hợp nhận đượccủa lý thuyết là rất nhỏ Điều này là do, như đã nhận xét ở trên, lý thuyếtLandau mô tả cho các hệ đồng nhất và đã bỏ qua các thăng giáng tới hạn củatham số trật tự

Bảng 1.2 Giá trị của một số chỉ số tới hạn trong lý thuyết Landau

Các chỉ số có giá trị như nhau ở cả hai phía của chuyển pha

Giá trị thực nghiệm là kết quả trung bình mô tả các chuyển pha từ [4]

Đại lượng vật

lý

Chỉ sốtới hạn Định nghĩa

Giá trị thuđược từthuyếtLandau

Giá trị thựcnghiệm

P ~T T− Cα α = 0 α < 0,12 khi

T > TC α < 0,16khi T<TC

LÝ THUYẾT TRƯỜNG Ở NHIỆT ĐỘ VÀ MẬT ĐỘ HỮU HẠN

Trong lý thuyết trường lượng tử, các nghiên cứu đã cho thấy rằng mộttrong các phương pháp hữu hiệu nhất để nghiên cứu chuyển pha là phươngpháp tác dụng hiệu dụng cho các toán tử Composite đã được Cornwall,Jackiw và Tomboulis (CJT) đưa ra lần đầu tiên vào 1976 Vì vậy trongchương này sẽ trình bày tổng quan về phương pháp đó Trước hết chúng tađưa ra khái niệm về tác dụng hiệu dụng CJT cùng với khai triển chu tuyến(loop) của nó, tiếp đó là thế hiệu dụng và sau cùng là ví dụ minh họa Để đơn

giản cho các lập luận, dưới đây chúng ta chỉ xét trường vô hướng, tuy nhiêncác lập luận có thể mở rộng trực tiếp cho các trường khác

2.1 Tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ không

2.1.1 Các phiếm hàm sinh và tác dụng hiệu dụng

Xét trường vô hướng φ( )x được mô tả bởi mật độ Lagrangian £[ x ]φ( )

n 2 1

J1

Còn các hàm Green liên kết GC nhận được từ phiếm hàm sinh W J[ ]

liên quan với Z J bởi:[ ]

[ ] iW J[ ]

Z J =eSuy ra:

Từ đây bằng cách đưa vào “trường cổ điển” φ( )x là trị trung bình củatrường lượng tử φ( )x :

Các phương trình (2.6) và (2.11) có thể xem như phép biến đổi từ (J,K)

thành các biến tự nhiên ( )φ,G của phép biến đổi Legendre loại II (2.12)

Các đạo phiếm hàm của [ ,G]Γ φ theo biến số tự nhiên φ sẽ cho cácphương trình:

Trạng thái cơ bản của hệ sẽ tương ứng với sự triệt tiêu của nguồn ngoài

và do đó được xác định bởi phương trình khe (Gap):

J=K=0

δΓ[ ,G]

= 0 δ

toán tử trường mà còn phụ thuộc vào hàm truyền G là trị trung bình của T tích của các toán tử trường.

-2.1.2 Khai triển Loop của tác dụng hiệu dụng

Trong mục này ta sẽ xem xét các khai triển bất khả quy một hạt (mộtloop) và hai hạt (hai loop) của tác dụng hiệu dụng Điều này rất cần thiết chocác tính toán tác dụng hiệu dụng trong những trường hợp cụ thể về sau

2.1.2.1 Khai triển bất khả quy một hạt

với mối ràng buộc bởi hệ thức liên hợp Legendre (2.9)

Nếu biểu diễn tác dụng cổ điển S[ ]φ dưới dạng:

i iG +S - 2δ

0 int 1

δΓ 1

2.1.2.2 Khai triển bất khả quy hai hạt

Xuất phát từ phiếm hàm sinh tổng quát:

i iG 2

0 int 2

-1

-1 0

φ = φ − φKhi φ =0 thì (2.30) được viết lại như sau:

-1 0

δG

i .iG 2

ở đây Γ2φ,Gbao gồm tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy hai hạt.

Phương trình (2.30) là một phương trình vi - tích phân của phiếm hàm

sinh Γ2φ,G và nó tạo ra các giản đồ chân không với một hàm truyền và tácdụng đã được thay đổi

ở đây U( )φc là thế cổ điển và Veff (φc,G) là tổng tất cả các giản đồ chânkhông bất khả quy hai hạt.

Điều kiện dừng mô tả trạng thái vật lí của hệ sẽ là:

( )

eff c c

Sử dụng công thức chuyển tích phân thể tích sang tích phân mặt và chú

ý đến điều kiện triệt tiêu của trường ở biên:

µ µ

ta nhận được:

WJ

Khai triển 2 loop của tác dụng hiệu dụng Γ φ ,G sẽ có dạng: