Hê thức vi ét

Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai và ngày nay nó được phát biểu thành một định lí mang tên ông... Không giải phương trình, hãy điền

Chuyên đề Tổ Toán

Giải phương trình: x2 – 6 x + 5 = 0

Giải:

Giải bằng cách đưa về phương trình tích:

Ta có: x 2 – 6 x + 5 = 0 ⇔ x 2 – x – 5x + 5 = 0 ⇔ x( x – 1 ) – 5 ( x – 1 ) = 0 ⇔ ( x – 1 ) ( x – 5 ) = 0

Phương trình có 2 nghiệm:

’= b’2 – ac = 9 – 5 = 4 > 0 ⇒ ∆, = 2 Vậy pt có hai nghiệm phân biệt là:

Ta có : a = 1 , b’= -3 , c = 5

Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx +c = 0

có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:

a

b x

, a

b x

−

=

H y tÝnh : x · 1 +x 2 = (H/s1)

x 1 x 2 = (H/s2)

2 2

a b

ac a

= = c

a

1 HÖ thøc vi- Ðt

Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Toán học- một luật sư và là một nhà chính trị gia nổi tiếng người Pháp (1540 - 1603) Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm

và các hệ số của phương trình bậc hai

và ngày nay nó được phát biểu thành một định lí mang tên ông

a

cx

.x

a

bx

x

2 1

2 1

1 HÖ thøc vi Ðt

Áp dụng: Biết rằng các phương trình sau có nghiệm, không giải phương trình, hãy tính tổng và tích của chúng:

a/ 2x2 - 9x + 2 = 0

b/ -3x2 + 6x -1 = 0

Gi¶ia/ x1+ x2 =

a

cx

.x

a

bx

x

2 1

2 1

cx

.x

a

bx

x

2 1

2 1

Gi¶i

¸p dông

•Không giải phương trình hãy tính tổng

và tích hai nghiệm của phương trình

x2 – 6x + 5 = 0 và tính nhẩm nghiệm của phương trình

b a

− −

5

5 1

c

Suy ra: 1 + 5 = 6

1 5 = 5 Vậy hai nghiệm của phương trình là:

x1=1 ; x2=5

Hoạt Động nhóm

Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 )

Cho phương trình 2x2- 5x+3 = 0 a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c.b) Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của phư

a

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

áp dụng

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

a+b+c =2+(-5)+3=0b/ Thay x=1 vào phương trình ta được: 2+(-5)+3=0

Vậy x=1 là một nghiệm của phương trình

c/ Ta có x1.x2= c/a = 3/2 => x2 = 3/2

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Vậy x= -1 là một nghiệm của phương trình

c/ Ta có x1.x2= c/a = 4/3 => x2 = -4/3

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Ngược lại nếu biết tổng của hai số bằng S và tích của chúng bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình nào?

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

x(S – x) = P

Nếu Δ= S2- 4P ≥0,thì phương trình (1) có nghiệm.Các nghiệm này chính là hai số cần tìm

2715

327

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương

trình ax2 + bx + c= 0 (a≠0) thì       = − = + a c x x a b x x 2 1 2 1 áp dụng Tổng quát 1 :(SGK) Tổng quát 2:(SGK) 2.Tìm hai số biết tổng và tích

của chúng : Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

phương trình x2 – Sx + P = 0

Luyện tập Bài tập 25: Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có) Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống ( )

a/ 2x2- 17x+1= 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

b/ 5x2- x- 35 = 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

c/ 8x2- x+1=0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

d/ 25x2 + 10x+1= 0, Δ = x1+x2=

x1.x2=

2

1 2

5 -7

-31

5

−

1 25

Khụng cú Khụng cú

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Nửa lớp làm câu a Nửa lớp làm câu b.

Giải

a/ Δ =(7)2 – 4.1.12 = 49 – 48 =1 > 0

Vì : 3 + 4 = 7 và 3 4 = 12 nên x1=3, x2= 4

là hai nghi m c a phương trình ệ ủ(1)

b/ Δ =(-7)2 – 4.1.13 = 49 – 52 = -3 < 0

V y: Phương trình ậ (2) vô nghiệm.

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ≥0

Hai soỏ u vaứ v laứ hai nghieọm cuỷa phửụng trỡnh: x2 – 32x + 231 = 0

∆’ = 256 – 231 = 25 > 0

⇒ = 5

x1 = 16 + 5 = 21

x2 = 16 – 5 = 11Vaọy u = 21, v = 11 ho c u = 11,v = ặ21

25

Baứi taọp: 28 (a) /SGK Tỡm hai soỏ u vaứ v bieỏt u + v=32, u.v = 231

Giải

Chọn câu trả lời đúng :

Sai

Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình nào:

32

* Dùng điều kiện a+b+c=0 hoặc a-b+c=0 để tính nhẩm nghiệm

Gi¶i

’ = 9 – 5 = 4>0

c x

x

a

b x

x

2 1

2 1

Bổ sung thêm: Bài tập 38,41 trang 43,44 SBT

Bài: 28 (SGK) Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: b/ u+v= -8, u.v = -105 c/ u+v=2, u.v=9 Chú ý: u+v= S và uv= P -Hai số u và v là hai nghiệm của phương trình:

x 2 – Sx + P=0 (Δ = S 2 - 4P 0≥ )

Bài 29: (SGK) Không giải phương trình ,hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a/ 4x 2 + 2x - 5 = 0 b/ 9x 2 - 12x + 4 = 0 c/ 5x 2 + x + 2 = 0 d/ 159x 2 - 2x -1 = 0 Chú ý: -Xét phương trình có nghiệm : (hay ac < 0)