Tiết 56 : Hệ thức Vi- Ét và ứng dụng

ưưaư-ư5x2+3x+2=0ưưưưưưưưưưưưưbư2004x2+2005x+1=0 Đáp án:ưaư-ư5x 2 +3x+2=0.ưTaưcóưa+b+c=-5+3+2=0ưư x1=1ư;ưx2=ư-ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưbư 2004x 2

tIếT 56: Hệ THứC VI-éT Và ứNG DụNG

1 Hệ thức vi-ét:

Phươngưtrìnhưbậcư2:ưax2+bx+c=0ư(a≠0)ưnếuưcóư

nghiệmưthìư2ưnghiệmưđóưđượcưviếtưbởi:

x1= b2a ; X2 b2a















ư ?1: ưHãyưtính:ưx1+x2ưư;ưưx1.x2ưư?

Đáp án:

a

b a

b a

b a

b X

X          



2

2 2

2 ) 1 2

a

c a

ac a

ac b

b a

b a

b a

b

b X

X                   

2 2

2

2 2

2 2

2 2

1

4

4 4

) 4

( 4

4

) (

)

( 4

) )(

(

)

Định lý Vi-ét:

Nếuưx1;x2ưlàư2ưnghiệmưcủaưphươngưtrình:

ax2+bx+c=0ư(a≠0)

Thì:ư























a

c X

X

a

b X

X

2 1

2 1

.

a)ưXácưđịnhưcácưhệưsốưa,b,cưrồiưtínhưa+b+c

b)ưChứngưtỏưrằngưx1=1ưlàư1ưnghiệmưcủaưP.Trình

c)ưDùngưđịnhưlýưVi-étưđểưtìmưx2

Đáp án:ưa)ưa=2ư;ưb=-5ư;ưc=3ưư;ưưa+b+c=2+(-5)+3=0

b)ưThayưx=1ưvàoưvếưtráiưcủaưPTưtaưđược:

2.(1)2-5.1+3=2-5+3=0.Vậyưx1=1ưlàư1ưnghiệmưcủaưPT

c)ưTheoưĐ.lýưVi-étưtaưcó:ưx1.x2=

ưưưưưưưưư1.x2=ưưưưưưư

a

c

2

3

5

,1 2

3

2  

X

Tæng qu¸t:­NÕu­PT:­ax2+bx+c=0­(a≠0)­cã­­

a+b+c=0­th×­PT­cã­nghiÖm­x1=1­vµ­nghiÖm­x2­=

a c

?3:­Cho­P.Tr×nh:­3x2+7x+4=0

a)­ChØ­râ­c¸c­hÖ­sè­a,b,c­vµ­tÝnh­a-b+c

b)­Chøng­tá­x1=­-1­lµ­mét­nghiÖm­cña­P.Tr×nh

c)­T×m­nghiÖm­x2

§¸p ¸n:­a)­a=3­;­b=7­;­c=4­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ a-b+c=3-7+4=0­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

b)­Thay­x1=-1­vµo­vÕ­tr¸i­cña­P.Tr×nh­ta­®­îc:­3 (-1)2+7.(-1)+4=3.1+(-7)+4=0­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

­­­­VËy­x1=-1­lµ­1­nghiÖm­cña­P.Tr×nh.­­­­­­­­­­­­­­­­

­­­­c)­Theo­§.lý­Vi-Ðt­ta­cã:­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

x1.x2=­­­­­a ­(-1).x2=­­­­­­x2=

c

3

4

3

4



* Tæng qu¸t:

NÕu­P.Tr×nh:­ax2+bx+c=0­(a≠0)­cã­a-b+c=0

Th×­P.Tr×nh­cã­nghiÖm:­x1=­-1­vµ­x2=­

a c



ưưa)ư-ư5x2+3x+2=0ưưưưưưưưưưưưưb)ư2004x2+2005x+1=0

Đáp án:ưa)ư-ư5x 2 +3x+2=0.ưTaưcóưa+b+c=-5+3+2=0ưư

x1=1ư;ưx2=ư-ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưb)ư 2004x 2

+2005x+1=0.ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưTaưcóưa-b+c=2004-2005+1=0ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư

ưưưưưưưưưx1=ư-1ưvàưx2

=ư-5 2

Nếuư2ưsốưcóưtổngưbằngưSưvàưtíchưbằngưPưthìư2ưsốưđóư làưnghiệmưcủaưP.Trình:

x2-sx+p=0 (đk: s2-4p 0≥0 )

2004 1

2) Tìm hai số biết tổng và tích:

VD1:ưTìmư2ưsốưbiếtưtổngưcủaưchúngưbằngư27;ư tíchưcủaưchúngưbằngư180

Giải:ưHaiưsốưcầnưtìmưlàưnghiệmưcủaưP.Trình:

x 2 -27x+180=0

Taưcóư =(-27) ∆=(-27) 2 -4.1.180=729-720=9ư;ưưưưưưư=ưưưưưư=3

ưưx1=ưưưưưưưưưưưưưưưư;ưưx2=

Vậyưhaiưsốưđóưlàư15ư;ư12.

ư

15 2

3

27





12 2

3

27





?5:ưTìmư2ưsốưbiếtưtổngưcủaưchúngưbằngư1vàư

tíchưcủaưchúngưbằngư5

§¸p ¸n:­Hai­sè­cÇn­t×m­lµ­nghiÖm­cña­P.Tr×nh­­­­­

­­­­­­­x2-x+5=0­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

­­­Ta­cã:­ =(-1)∆=(-27) 2-4.5=1-20=-19<0­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

­­­­­­­­­­­­­P.Tr×nh­v«­nghiÖm.­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­VËy:­Kh«ng­cã­hai­sè­nµo­mµ­

tæng­cña­chóng­b»ng­1­vµ­tÝch­cña­chóng­=5

VD2:­TÝnh­nhÈm­nghiÖm­cña­P.Tr×nh­x 2 -5x+6=0

Gi¶i:­V×­2+3=5­;­2.3=6

Nªn­P.Tr×nh­cã­2­nghiÖm­x1=2­;­x2=3

ứng dụng:

đểưtínhưnhẩmưnghiệmưcủaưmỗiưphươngưtrìnhưsau

a)ưư35x2-37x+2=0ưưưưưưưưư;ưưưưưưưưưưc)ưưx2-49x-50=0

Đáp án:ưa)ư35x2-37x+2=0

ưưưưTaưcó:ưa+b+c=35-37+2=0

ưP.Trìnhưcóư2ưnghiệm:ưx1=1ư;ưx2=

c)ưưx2-49x-50=0

Taưcó:ưa-b+c=1+49-50=0

ưP.Trìnhưcóư2ưnghiệm:ưx1=-1ư;ưx2=50

35 2

x2-7x+12=0

§¸p ¸n:­V×­3+4=7­;­3.4=12

Nªn­P.Tr×nh­cã­2­nghiÖm­x1=3­;­x2=4

sau:­u+v=7­;­u.v=-105

§¸p ¸n:­u­vµ­v­lµ­nghiÖm­cña­P.Tr×nh:­­­­­­­­­­­­­­­

x2-(-8)x+(-105)=0­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

⇔­x2+8x-105=0­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Ta­cã:­∆=(-27)’=42-1.(-105)=16+105=121­­­­­­­­­­­­­­­­

­­­­­=­­­­­­­­=­11­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

­­­­­­­PT­cã­2­nghiÖm:­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

­­­­­­­­­­­­x1=­(-4)+11=7­;­x2=(-4)-11=-15­­­­­­­­­­­­­

­­­­­­­­­­­VËy­hai­sè­cÇn­t×m­lµ:­­­­­­­­­­­­­hoÆc

'

 121











 15

7

v

u











 7

15

v u

* HDVN:­Häc­thuéc­§.lý­vµ­bµi­tËp­cßn­l¹i­;­BT/SBT­