ễn thi ĐH và CĐ Thầy Giỏo Vũ Hoàng Sơn Bài 5: Hệ thức lợng trong tam giác Một số kiến thức cần nhớ *Một số phép biến đổi thờng dùng + Cung liên kết + Các công thức biến đổi.. Bài 3: CMR
Trang 1ễn thi ĐH và CĐ Thầy Giỏo Vũ Hoàng Sơn
Bài 5: Hệ thức lợng trong tam giác
Một số kiến thức cần nhớ
*Một số phép biến đổi thờng dùng
+ Cung liên kết
+ Các công thức biến đổi
*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ:
SinA SinB SinC Cos Cos Cos
CosA CosB CosC
+ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
+
2 cot 2 cot 2
cot 2
cot 2
cot
2
cotg A g B g C g A g B g C
2 2 2
2 2
.
A tg
C tg
C tg
B tg
B
tg
A
tg
+ cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1
+Sin2A. Sin2B Sin2C 2 2CosACosBCo sC
+Cos2A. Cos2B Cos2C 1 2 sinAsinBsinC
+ Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC
+ Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC
Các ví dụ
tg tg tg tg tg tg Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR:
a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
b) tgAtgBtgC 3 3
dấu “=” xảy ra khi nào?
HD: áp dụng BĐT côsi
3 tgA tgB tgC tgC
tgB
lập phơng hai vế thay trở lại phơng trình đầu ta đợc đpcm.
Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có :
HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP.
VP= [cos(B-C) @ cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) @ cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) @ cos(A+B)].cosC
=Cos(B-C).cosA + Cos 2 A + Cos(C-A).cosB +Cos 2 B + Cos(A-B).cosC + cos 2 C.
thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B, cos2C … sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos 2 A, cos 2 B, cos 2 C suy ra đpcm.
Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta có
1 Cos A Cos B Cos C. 2.CosACosBCosC 1 Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và chỉ khi
2
2
Sin B Sin C
A
Sin
Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
2tgA = tgB + tgC
CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA
tgC tgB
tgC tgB C
B tg
1 )
Từ tgB.tgC = 3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*)
Mà cos(B - C) =2.cos[ (B C)] khai triển suy ra đẳng thức (*).
Trang 2ễn thi ĐH và CĐ Thầy Giỏo Vũ Hoàng Sơn
Bài 6: CMR với mọi tam giác ABC ta có:
2
cot 2
cot 2
cot 2 2
2
2
1
sin
1 sin
1
sin
1
A g A g A g C
tg B
tg
A
tg
C B
A
HD: thay
2
cot 2
cot 2
cot 2 cot 2 cot
.
2
cotg A g B g C g A g B g C
áp dụng công thức nhân đôi
Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có
C B A B
A C CCosA
B
C Sin B
Sin
A
Sin
cos sin sin 2 cos sin sin sin
sin
2
2
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn đk 4A = 2B = C CMR:
c
b
a
1
1
1
và
4
5
2
Cos B Cos C A
Cos
Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có:
C B
A
R
r
cos cos
cos
Bài 10: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
bc
a
A
Sin
2
2 , CMR tam giác ABC cân
Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk
2 2 tgB tg A tg B
tgA
CMR tam giác ABC cân
Bài 12 CMR nếu tam giác ABC có
a
c b C
B cos
Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b, AB=c
CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A khi và chỉ khi
2
C B tg c b
c
Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn đk:
3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15
CMR tam giác vuông
Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk
2
1 2 sin 2 sin 2
sin 2 cos
2
cos
.
2
CMR tam giác ABC vuông
Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
2 4
2 sin
cos
1
1 )
(
2 2
3 3 3 2
b a b a C
C
a c b a
c
b
a
CMR tam giác ABC đều
Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:
gC gB
C
A sin 3 cot cot
1
sin
1
2
CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk
Trang 3ễn thi ĐH và CĐ Thầy Giỏo Vũ Hoàng Sơn
2
sin 2
sin 2 sin
CMR tam giác ABC là tam giác đều
2 2
2
2 2
Cotg B
Cotg A
Cotg
Bài 20:CMR nếu trong tam giác ABC ta có
2
cos 2
cos 2
cos sin
sin
Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
8(p-a)(p-b)(p-c)=abc
CMR tam giác đều
Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
gC gB
gA
C B
A
C g B g
A
g
cot cot
cot
2 cos 1 2 cos 1 2 cos
1 2
cot 2 cot
.
2
cot
Bài 23: tg8Atg8Btg8C 9tgA.tg2B.tg2C
tg B tg C
A
tg
Bài 25: Tìm GTNN biểu thức
C B
A
M
2 cos 2
1 2
cos 2
1 2
cos
2
1
Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN của:
P= cosA+ cosB +cosC
Bài 27: <Dùng phơng pháp BĐ Lợng giác xuất hiện bình phơng một nhị thức>
Cho tam giác ABC bất kỳ Tìm GTLN của biểu thức
) cos (cos
3 cos
Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
4
17 ) cos cos
(sin 3 sin
.
sin
.
cos
2 B B C A B C Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? CM?
Trang 4Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn