Chương 4: Dạng toàn phương

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 ThS. Nguyễn PhươngChia sẻ: cheap_12 | Ngày: 08072014Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 Dạng toàn phương trình bày những nội dung chính: giá trị riêng vectơ riêng; chéo hóa ma trận, chéo hóa trực giao; dạng toàn phương, đưa dạng toán phương về dạng chính tắc; dạng toán phương xác định dấu.

Chương 4:

DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản

Trường Đại học Ngân hàng TPHCM

Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com

Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504

Ngày 28 tháng 10 năm 2013

1 Giá trị riêng - vectơ riêng

Các định nghĩa

Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng

2 Chéo hóa ma trận Chéo hóa trực giao

Định nghĩa chéo hóa

Các bước chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng

3 Dạng toàn phương Đưa DTP về dạng chính tắc Dạng toàn phương

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Phương pháp Lagrange

Phương pháp Jacobi

4 Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester Dạng toàn phương xác định dấu

Định lý Sylvester

Định nghĩa

- Cho ma trận A ∈ Mn(R) Số thực λ được gọi là trị riêng của A nếu tồn tại vector 0 < x ∈ Rn nếu A[x] =λ[x]

- Vector x , 0 thỏa A[x] = λ[x] được gọi là vector riêng của ma trận A ứng với trị riêngλ

Ví dụ 1:Với A = 4 −2

1 1

! , x = (2; 1), ta được

A[x] = 4 −2

1 1

! 2 1

!

= 6 3

!

= 3 2 1

!

= 3[x]

Vậy x = (2; 1) là vector riêng của A ứng với trị riêngλ = 3

Tính chất

Nếu A có vectơ riêng x ứng với trị riêngλ thì kx, k , 0 cũng là vectơ riêng ứng với trị riêngλ

Nếu A có trị riêngλ thì λm là trị riêng của Am

Nếu A có trị riêngλ và |A| , 0 thì λ−mlà trị riêng của A−m

Định nghĩa

Cho ma trận vuông A = (aij) cấp n, ma trận đơn vị cấp n: I

- Ma trận đặc trưng của A là

A −λI =













a11−λ a12 a1n

a21 a22−λ a2n

an1 an2 ann−λ













- Đa thức đặc trưng của A là định thức của ma trận đặc trưng (là một đa thứcλ), det(A − λI)

- Phương trình đặc trưng của ma trận A là det(A −λI) = 0

Ví dụ 2: Cho A = 1 2

3 4

! , ta có đa thức đặc trưng

det(A −λI) =

1 −λ 2

3 4 −λ

=λ2− 5λ − 2

Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng

- Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A −λI) = 0

Các nghiệm tìm được là các giá trị riêng cần tìm

- Bước 2: Giả sửλ0là giá trị riêng Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (A −λ0I)X = 0

Nghiệm không tầm thường của phương trình này là vectơ riêng cần tìm

Ví dụ 3: Cho A = 4 −2

1 1

! Tìm giá trị riêng và vector riêng của A Giải Phương trình đặc trưng là

det(A −λI) = 0 ⇔

4 −λ −2

1 1 −λ

= 0 ⇔λ2− 5λ + 6 = 0

Suy raλ1= 2 vàλ2= 3 là hai trị riêng của A

+ Ứng vớiλ1= 2:

+ Ứng vớiλ2= 3:

Ví dụ 4: Cho A =









0 0 1

0 1 0

1 0 0







 Tìm giá trị riêng và vector riêng của A Giải Phương trình đặc trưng:

−λ 0 1

0 1 −λ 0

1 0 −λ

= 0 ⇔ (1 −λ)(λ2

− 1) = 0

⇒λ1= −1, λ2= 1 là hai trị riêng của A

+ Vớiλ1= −1, ta có:

A −λ1I =









1 0 1

0 2 0

1 0 1









−→









1 0 1

0 1 0

0 0 0









⇒ (

x1+ x3 = 0

x2 = 0

⇒ x =α(1; 0; −1) (α , 0) là vetor riêng của A

+ Vớiλ2= 1, ta có:

A −λ2I =









−1 0 1

0 0 0

1 0 −1









−→









−1 0 1

0 0 0

0 0 0









⇒ x1− x3= 0

⇒ x = (α; β; α) là vetor riêng của A

Không gian riêng

Giả sửλ là giá trị riêng của ma trận A Gọi tập hợp các vector riêng ứng với

λ và vector không là E(λ) E(λ) được gọi là không gian riêng ứng với λ

Ví dụ 4: E(−1) =

E(1) = , (0; 1; 0) ; dimE(1) = 2

Định nghĩa

- Hai ma trận vuông cùng cấp A và B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịch P thỏa B = P−1AP

- Ma trận vuông cấp n được gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma trận đường chéo D, tức là, tồn tại ma trận P khả nghịch sao cho P−1AP = D Khi đó, ta nói ma trận P làm chéo hóa ma trận A

Ví dụ: Hai ma trận A = 1 0

6 −1

!

và B = −1 0

0 1

! đồng dạng nhau vì có

ma trận P = 0 1

1 3

! khả nghịch thỏa B = P−1AP

Ví dụ: Ma trận A =









0 0 0

0 1 0

1 0 1







 chéo hóa được, vì có ma trận

P =









1 0 0

0 1 0

−1 0 1







 thỏa P−1AP =









0 0 0

0 1 0

0 0 1









Các bước chéo hóa ma trận vuông

- Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A −λI) = 0 để tìm trị riêng thực của A

+ Trường hợp A có trị riêng phức thì ta kết luận A không chéo hóa được + Trường hợp A có n trị riêng thực thì A chéo hóa được, ta làm tiếp bước 2 + Trường hợp A có k trị riêng thựcλi(i = 1, , k) với λi là nghiệm bội ni của phương trình đặc trưng

i) dim E(λi) = ni, ∀i, ta kết luận A chéo hóa được, ta làm tiếp bước 2 ii) tồn tại dim E(λi)< ni, ta kết luận A không chéo hóa được

- Bước 2: Tìm cơ sở của các không gian riêng E(λi)

- Bước 3: Lập ma trận P có các cột là các vector cơ sở của E(λi)

Khi đó, P−1AP = D với D là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính lần lượt làλi (mỗiλi xuất hiện liên tiếp ni lần)

Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau trên R: A =









1 −1 0

2 −1 0

1 2 3









Giải det(A −λI) =

1 −λ −1 0

2 −1 −λ 0

1 2 3 −λ

= (3 −λ)(1 + λ2) Phương trình det(A −λI) = 0 không đủ 3 nghiệm thực nên A không chéo hóa được trên R

Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau trên R: A = −3−2 21

!

Giải Phương trình đặc trưng

det(A −λI) = 0 ⇔ (λ + 3)(λ − 1) + 4 = 0 ⇔ (λ + 1)2= 0 ⇔λ = −1 (bội 2) (A −λI)X = 0 ⇔ −2−2 22

!

x1

x2

!

= 0 0

!

⇔ (

−2x1+ 2x2= 0

−2x1+ 2x2= 0 ⇔ x1= x2

⇒ dim E(−1) = 1< 2 ⇒ A không chéo hóa được

- Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A −λI) =

Các nghiệm tìm giá trị riêng cần tìm

- Bước 2: Giả sửλ0là giá trị riêng Giải hệ phương trình tuyến tính...

Nghiệm không tầm thường phương trình vectơ riêng cần tìm

Ví dụ 3: Cho A = 4 −2

1

! Tìm giá trị riêng vector riêng A Giải Phương trình đặc trưng

det(A... data-page="6">

Ví dụ 4: Cho A =









0

0

1 0







 Tìm giá trị riêng vector riêng A Giải Phương trình đặc trưng: