Chương 4 dạng toàn phương

CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁCH GIẢI: *Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, chuẩn tắc : CÁCH 1: Bằng phép biến đổi trực giao Bước 1: Viết ma trận M của dạng toàn phương trong cơ sở chính

CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁCH GIẢI:

*Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, chuẩn tắc :

CÁCH 1: Bằng phép biến đổi trực giao

Bước 1: Viết ma trận M của dạng toàn phương( trong cơ sở chính tắc)

Bước 2: Chéo hóa M bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D

Bước 3: Kết luận: Dạng chính tắc cần tìm là g(y)=yTDy Phép biến đổi cần tìm là x=Py

CÁCH 2: Bằng biến đối Larange

Bước 1: Chọn 1 thừa số khác 0 của hệ số của x2 , lập thành 2 nhóm: 1 nhóm gồm tất cả các hệ số chứa xk, nhóm còn lại không chứa xk

Bước 2: Trong nhóm đầu tiên: lập thành tổng bình phương Như vậy ta sẽ được 1 tổng bình phương và 1 dang toàn phương không chứa xk

Bước 3: Sử dụng bước 1,2 cho dạng toàn phương không chứa xk

Chú ý: Nếu trong dạng toàn phương ban đầu tất cả các hệ số x k đều bằng 0 thì ta chọn thừa số khấc 0 của hệ số xi xj Đổi biến ∀𝑘 ≠ 𝑖, 𝑗:

X k = y k

X i= y i + y j,

Xj= yi - yj

CÁCH 3: Phương pháp Jacobi

*Dấu của dạng toàn phương:

Dạng toàn phương f (x) = x TMx được gọi là:

+ xác định dương, nếu ∀x 6= 0 : f (x) > 0

+ xác định âm, nếu ∀x 6= 0 : f (x) < 0

+ nửa xác định dương, nếu ∀x : f (x) > 0, ∃x0 6= 0 : f (x0) = 0 + nửa xác định âm, nếu ∀x : f (x) 6 0, ∃x0 6= 0 : f (x0) = 0 + không xác định dấu, nếu ∃x1, x2 : f (x1) < 0, f (x2) > 0

Giả sử dạng toàn phương đưa về dạng chính tắc

g(y) = λ1y1 + λ2 y2 + + λn yn

+ Nếu λk> 0, ∀k thì DTP xác định dương

+ Nếu λk< 0, ∀k thì DTP xác định âm

+ Nếu λk > 0, ∀k, ∃λi = 0 thì DTP nửa xác định dương

+ Nếu λk 6 0, ∀k, ∃λi = 0 thì DTP nửa xác định âm

+ Nếu ∃λi > 0, λj < 0, i 6= j thì DTP không xác định dấu

Giả sử dạng toàn phương đưa về dạng chính tắc

g(y) = λ1 y1 + λ2y2 + + λnyn



LỜI GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4

NGUYỄN PHƯƠNG NAM

Bài 4.1: Xét xác định dấu, đổi dấu của dạng toàn phương

 F không đổi dấu

4, F(x1,x2,x3)= -2x12 - 6x22 - 10x32 - x42 + 2x1x3 - 6x2x4 - 8x2x3

A= -2 0 1 0

0 -6 -4 -3

1 -4 -10 0

0 -3 0 -4

D1= -2≠ 0

D2= -2 0

0 -6 = 12 ≠ 0 D3= -2 0 1 = -120 * ( -6+ (-12))= -82 ≠ 0 0 -6 -4

1 -4 -10

D4= -2 0 1 0 = 12* D3 = 912 0 -6 -4 -1

1 -4 -10 0

0 -3 0 -4

Dạng chính tắc: -2y12 - 6y22 - 82/12 * y32 - 912/82 * y4

0 2 0

0 0 1 0

2 0

2

0 2 0

0 0 1

0

2 0

0 10 1 3

0 1 3 0

0 3 0 2

0 1 2

0 2 7 0

0 0





m

m m

 F(x) nửa xác định dương khi ⟦𝑚 = 0𝑚 = 3

7



PHẠM ĐỨC MỸ Bài 4.4: Xác định giá trị tham số m để dạng toàn phương

F(x) xác định dương ↔ {D3 > 0

D4 > 0 ↔ m > √2

F(x) không suy biến ↔ m ≠ ±√2

F(x) không suy biến ↔ {𝑚 ≠ m ≠ 11

3



NGUYỄN THỊ NGỌC BÀI 4.5: (1 -4)

Đề bài: Đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc bằng phương pháp Lagrange hoặc Jacobi:

0

0 6 0

0

3 0 5

2

0 0 2 1

0

0 6 0

0

3 0 5

2

0 0 2

0 9 6

3

0 6 2

2

0 3 2

Đề bài: Tìm giá trị riêng và đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chuẩn tắc

1,F(x1 ; x2 ; x3 ; x4) = 4x1x2

2,F(x1 ; x2 ; x3) = 3x12 + 2x22 + x32 + 4x1x2 + 4x2x3 3,F(x1 ; x2 ; x3) = 2x12 + 3x2 + 4x32 + 4x1x3

20

00

) Phương trình đặc trưng

|𝐴 − 𝑘𝐸| = |

𝑘2

2𝑘

00

) Phương trình đặc trưng :

|𝐴 − 𝑘𝐸| = |

3 − 𝑘2

2

2 − 𝑘

02

| = 0  (3 – k)(2 – k)(1 – k) – 4(1 – k) – 4(3 – k) = 0  (3 – k)(k2 - 3k +2) – 4 + 4k – 12 + 4k = 0  3k2 – 9k + 6 – k3 + 3k2 – 2k + 8k – 16 = 0  k = -1 ; k = 5 ; k = 2

 F(y1 ;y2 ;y3) = 2y1 + 5y2 – y32

3 F(x1 ; x2 ; x3) = 2x12 + 3x2 + 4x32 + 4x1x3

Ta có:

A = (

20

03

20

) Phương trình đặc trưng :

|𝐴 − 𝑘𝐸 | = |2 − 𝑘0

0

3 − 𝑘

20

Có F(x,y) = 2xy (là một dạng toàn phương đối với ma trận)

A = ( 0 11 0) theo phương pháp giá trị riêng thì

|𝐴 − 𝑘𝐸| = |−𝑘 1

1 −𝑘| = -k(-k) -1 = 𝑘2 -1 = 0 → k = 1−+

→ 𝑘1 = −1 → vectơ riêng 𝑈1 = (1

𝑡) A.𝑈1 = 𝑘1 𝑈1 → (0 1

𝑍 − √2 = 𝑏

→ 𝐹(𝑎, 𝑏) = 𝑎2− 𝑏2 = 5

↔ 𝑎2

+)𝑘 = 10 →vectơ riêng 𝑉2 = (

1

√5 2

√5)

→ ma trận trực giao 𝑆 = (

2

√5 − 1

√5 1

√5

2

√5)

→ phương trình (1) là parabol

3, 3x2+2y2+4x+6y-10=0

(3x2+4x)+(2y+6y)=10

3)2 +2(y+ 8

2)2= 956Đặt √3( x+ 2

3 )= a => a2 +b2= 95/6 (=) a2/ (95/6) + b2/ (95/6) =1 √2 (y +1

 S = (

3

5

−4 5 4

5

3 5)

Xet X = S.U voi X (𝑥

STT HỌ TÊN MỨC ĐỘ THAM GIA