chương 4 dạng song tuyến tính dạng toàn phương

Định nghĩa  Dạng tuyến tính: Cho V là không gian véc tơ trên IR, xét ánh xạ f: V IR Nếu f là ánh xạ tuyến tính thì fx được gọi là dạng tuyến tính trên V... o Nếu aji = aij , thì ta

(x f

x 

) , ( ) , (x y  f x y





 n

j

j i

ij x y a y

x f

1 ,

) , (















n

a a

a

a a

a a

)

1 12

11

Chương 4 : DẠNG SONG TUYẾN TÍNH –DẠNG TOÀN

PHƯƠNG

4.1 Dạng song tuyến tính

4.1.1 Định nghĩa

 Dạng tuyến tính: Cho V là không gian véc tơ trên IR, xét ánh xạ

f: V IR

Nếu f là ánh xạ tuyến tính thì f(x) được gọi là dạng tuyến tính trên V

 Dạng song tuyến: Xét ánh xạ

f: V x V  IR

f(x,y) được gọi là dạng song tuyến trên V nếu ánh xạ f tuyến tính đối với x khi y không đổi và tuyến tính đối với y khi x không đổi, nghĩa là:

 f(x1+x2,y) = f(x1,y) + f(x2,y)

 f( x,y) =  f(x,y)

 f(x,y1+y2) = f(x,y1) + f(x,y2)

 f(x,y) = f(x,y)

* Dạng song tuyến f(x,y) gọi là đối xứng nếu :

f(x,y) = f(y,x) , x,y  V

4.1.2 Biểu diễn dạng song tuyến

Cho f(x,y) là dạng song tuyến trên V và (e) = { e1, e2,… ,en } là một cơ sở của V Khi đó, f(x,y) có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng :

Trong đó:

aij = f(ei,ej)

x = (x1,x2,…,xn)

y = (y1, y2,…,yn)

n j

i, 1,



j n

j ij i

x x a x

x f x







1 ,

) , ( ) (

2 1

1 2

1 12

2 1

) (x a x a x x a n n x n x n a nn x n

2 2

2 22

2 1

) (x a x a x a nn x n

Ma trận gọi là

ma trận của dạng song tuyến f(x,y) trong cơ sở (e)

o Nếu aji = aij , thì ta nói dạng song tuyến f(x,y) đối xứng

o Dạng song tuyến f(x,y) đối xứng  Ma trận A đối xứng

4.2 Dạng tòan phương

4.2.1 Định nghĩa

Khi f(x,y) là dạng song tuyến đối xứng trên V, thì f(x,x) ( thay y bằng x) được gọi là dạng toàn phương trên V

Ma trận của dạng toàn phương là ma trận đối xứng :

A =

.

n n

Ví dụ 1 Ma trận của dạng toàn phương

Q(x) = x12 +3x22+6x32-2x1x2+4x2x3+6x1x3

là:

1 3 2

A



Ví dụ 2 Tìm dạng toàn phương khi biết ma trận của nó là :

2 1 3

1 1 0

Dạng toàn phương cần tìm: 2 2 2

Q x  x x  x  x x  x x

4.2.2 Dạng chính tắc của dạng toàn phương

Nếu aij = 0 khi i  j thì

j i n

j ij

x x a x





1 ,

) (

j i n j i ij i

n i

ii x a x x a

x











1

2 1

2 )

(

) ( ' )

` 1

x

) ( ' )

` 2 2

3 1 2 1

2 3

2 2

2

)

Đây là dạng chính tắc của dạng toàn phương ( chỉ chứa các bình phương ) Ma trận của dạng toàn phương ở dạng chính tắc là một dạng ma trận chéo

A =

11 22

0 0

.

0 0 nn

a a

a

4.2.3 4.2.3 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Phương pháp Lagrange

 Dạng toàn phương

 Vì aij = aji nên ta có thể viết

trong đó Q1(x) chỉ chứa x2, x3,…, xn

Bước 2: Biến đổi Q1(x) như trên :

Trong đó, Q2(x) chỉ chứa x3, x4,…, xn

 Tiếp tục như thế, nhiều nhất sau n bước Q(x) sẽ là tổng các bình phương, nghĩa là có dạng chính tắc

Ví dụ 1 Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc

Giải

Q x x  x x  x x  x  x

Q x  x  x  x  x  x x  x

Đặt

(2 3 ) 3







Vậy dạng chính tắc cần tìm là: 2 2 2

Q X  X  X  X

Giải

Vì Q x( ) không chứa các số hạng bình phương nên ta đổi biến

 



  



 



Khi đó Q x( ) trở thành: 2 2

Q y  y  y y y Bây giờ ta biến đổi Q(y) về dạng chính tắc

Q y  y  y y y y y  y y y y Ta thấy Q(y) đã có dạng chính tắc

 Đặt 12 12 3

 





 Vậy dạng chính tắc cần tìm là: 2 2 2

( )

Q X  X X X

4.2.4 Phân loại dạng toàn phương

1 Dạng toàn phương Q(x) được gọi là xác định dương ( hoặc xác định âm )

nếu Q(x) > 0 , x  R n, x  0 ( hoặc Q(x) < 0 , x  R n, x  0)

2 Dạng toàn phương Q(x) được gọi là nửa xác định dương ( hoặc nửa xác

x  Rn và xo  0 sao cho Q(xo) = 0 )

các định thức con chính của A

 Dạng toàn phương Q(x) xác định dương  i > 0 ( i = 1, n )

 Dạng toàn phương Q(x) xác định âm  i < 0 với n lẻ và i > 0 với

n chẵn

2 3 3 2

2 2 3 1 2 1

2

2 )

Ví dụ 1 Xác định dấu dạng toàn phương

 Ta có:

A



   

Suy ra:



Vì      1 0; 2 0; 3 0, nên Q(x) xác định dương

Q x x x  x  x x  x x  x x

Ta có:

1 2

1 2 5

A







1





Q(x) xác định dương:

1

2 2

2 3

1 0

4

0 5









 



             

Vậy với 4 0

5 

   thì Q(x) xác định dương

4 Định lý 2

a Cho dạng tòan phương Q(x) có dạng chính tắc

1 1x 2 2x n n x

   

 Q(x) xác định dương  i > 0 ( i = 1,n )

 Q(x) xác định âm  i < 0 ( i = 1,n )

b Cho dạng tòan phương Q(x) có dạng chính tắc

1 1x 2 2x r r x

    ( r < n )

 Q(x) nửa xác định dương  i > 0 ( i = 1,r )

 Q(x) nửa xác định âm  i < 0 ( i = 1,r)

Ví dụ Đưa các dạng tòan phương sau đây về dạng chính tắc , xác định dấu và chỉ

ra phép biến đổi tọa độ tương ứng

a Q(x) = x12 +5x22+10x32-2x1x2+4x2x3+4x1x3

b Q(x) = -x12 -2x22+x32+2x1x2+2x2x3-4x1x3