c Định lý: Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được nếu A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính d Hệ quả: • Nếu một ma trận vuông cấp n có n giá trị riêng phân biệt thì ma trận đó chéo hóa đ
Trang 1Chương 3 : DẠNG TOÀN PHƯƠNG
3.1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH:
3.1.1 Định nghĩa :
1) f(x+y)= f(x)+ f(y) , ∀ y x, ∈Rn
2) f(α x)=αf(x) , ∀x,∈Rn ,∀α∈Rn
Ghi chú : khi n = m ánh xạ tuyến tính f :R n → R ncòn được gọi là phép
biến đổi tuyến tính
3.1.2 Tính chất : Nếu f là ánh xạ tuyến tính thì:
• f(0)=0
• f(x−y)= f(x)− f(y), ∀ y x, ∈Rn
• f(α1x1+α2x2 + +αn x n)=α1f(x1)+α2f(x2)+ αn f(x n),∀x i∈Rn, ∀αi ∈R
VD: Cho ánh xạ f :R3 →R2xác định bởi
f(x1,x2,x3)=(2x1,x2 −x3)
Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính từ R3vào R2
3.1.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính :
Giả sửR nvàR mlần lượt có cơ sở (u) ={ }u i (i =1,n) và (v)= { }v i (i =1,m) ta có toạ độ :
x(u)= (x1,x2, ,x n)(u)
y(v)= f(x)(v)=(y1,y2, ,y m)(v)
Ma trận A cấp m×n được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f nếu thoả :
2) Cách xác định ma trân A :
3) Ma trận chính tắc :
Nếu { }u i (i =1,n) và { }v i (i =1,m) là các cơ sở chính tắc thì ma trận A được gọi là Ma trận chính tắc và được xác định bởi :
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
) ( )
( ) (
u x A v x f
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
) ( )
( ) (
u x A v x f
A =
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
) ( ) (
) ( ) ( ) ( )
v u f v u f v u
A = [ [f(e1)][f(e2)] [ f(e n)] ]
Trang 2VD: Cho ánh xạ tuyến tính f :R4 →R3 xác định bởi
) 3 3 ,
2 , (
) , , ,
(x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 x3 x4 x1 x2 x3 x4
b) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cơ sở (u)={u1,u2,u3,u4}và cơ sở chính tắc (e) trong R3, biết rằng :
u1 = ( 1 , 0 , 0 , 0 ),u2 = ( 1 , 1 , 0 , 0 ),u3 =(1,1,1,0),u4 = ( 1 , 1 , 1 , 1 )
3.2 GIÁ TRỊ RIÊNG –VECTƠ RIÊNG:
3.2.1 Định nghĩa :
Cho A là ma trận vuông cấp n, nếu tồn tại vectơ n chiều khác không x=(x1,x2, ,x n)
và số λ∈R sao cho : A.[ ]x =λ.[ ]x thì ta nói:λ là một giá trị riêng của A và x là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ
VD:
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 2 3
2 1
với vectơ x = (2,3) ta có:
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 2 3
2 1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 3
2
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 12
8
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 3
2
= 4.[ ]x
Vậy λ=4 là một giá trị riêng của A và x = (2,3) là một vectơ riêng của A ứng với giá trị riêngλ=4
3.2.2 Cách tìm giá trị riêng:
Giá trị riêng λ của ma trận A là nghiệm của phương trình đặc trưng : A−λI = 0
λ
λ λ
−
−
−
⇔
n n n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
1 1
2 22
21
1 12
11
= 0 VD: Tìm giá trị riêng của ma trận:
A
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
2 0 1
0 3 0
3 1 2
3.2.3 Cách tìm vectơ riêng : Vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ là
nghiệm x khác 0 của phương trình ( A - λI ).[x] = 0
* Ghi chú:
Ứng với một giá trị riêng λ của ma trận A, có vô số vectơ riêng.Tập hợp các vectơ riêng
riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ, ký hiệu Eλ
VD: Tìm giá trị riêng, vectơ riêng, không gian con riêng và cơ sở của không gian con riêng của ma trận:
Trang 3A
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
2 0 1
0 3 0
3 1 2
3.3 CHÉO HÓA MA TRẬN:
3.3.1: Định nghĩa:
Một ma trận vuông A cấp n gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận vuông cấp n
hay ma trận A được chéo hóa bởi ma trận P
c Định lý: Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được nếu A có n vectơ riêng độc
lập tuyến tính
d Hệ quả:
• Nếu một ma trận vuông cấp n có n giá trị riêng phân biệt thì ma trận đó chéo hóa được
• Nếu một ma trận vuông cấp n có n giá trị riêng (có thể trùng nhau) và số vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với mỗi trị riêng bằng số bội của trị riêng đó thì ma trận đó chéo hóa được
3.3.2 Thuật toán chéo hóa một ma trận vuông:
Bước 1: Tìm giá trị riêng:
• Số GTR < n: không chéo hóa được
Bước 2: Tìm các vectơ riêng độc lập tuyến tính
• Số VTR đltt < n: không chéo hóa được
• Số VTR đltt = n: chéo hóa được, gọi {p1, p2, …, pn} là các VTR ,sang bước 3:
Bước 3: S− 1.A.S= C
• Ma trận S làm chéo A : S = [ [p1][p2] …[pn] ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
o
λ
λ λ
0 0
0
0
0
2 1
VD: Chéo hóa (nếu được) các ma trận sau đây :
A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
− 2 0 1
0 3 0
3 1 2
, B =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− 5 0 0
0 3 2
0 2 3
3.4 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TÒAN PHƯƠNG :
Trang 41)Dạng song tuyến tính: Cho ma trận vuông A= (a ) ij nvà 2n biến x1,x2, ,x nvà
n y y
y1, 2, , Dạng song tuyến tính là biểu thức có dạng:
n n nn n n n n n n n n y x a y x a y x a
y x a y x a y x a
y x a y x a y x a B
2 2 1 1 2 2 2 2 22 1 2 21 1 1 2 1 12 1 1 11 + + + + + + + + + + + = = ∑∑
= = n i n j j i ij x y a 1 1 nếu ký hiệu : ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n x x x X
2 1 và ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n y y y Y
2 1 thì dạng song tuyến tính B có thể viết : B=X t AY Ma trận A được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính B VD: Dạng song tuyến tính : B = 2x1y1+x1y2+x2y1-3x2y2+2x2y3+4x3y1+x3y3 Có ma trận A= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 0 4 2 3 1 0 1 2 2)Dạng toàn phương: Cho ma trận đối xứng A = (a ) ij n Dạng toàn phương Q của n biến x1,x2, ,x nlà biểu thức có dạng:
2 1 1 2 2 2 2 22 1 2 21 1 1 2 1 12 2 1 11
n nn n n n n n n x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a Q + + + + + + + + + + + = = ∑∑
= = n i n j j i ij x x a 1 1 trong đó a ij =a ji nếu ký hiệu ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n x x x X
2
1 thì dạng toàn phương Q có thể viết Q = X t AX
Trang 5Ghi chú :Do a ij =a jivà x i x j =x j x inên dạng toàn phương Q còn có thể viết thành:
≤
≤j n i
j i ij
2 n
nn x a x y a
x a x a
1
2 2 22
2 1
=
+
n i
2 i
ii x a
≤
≤
≤i j n
j i
ij x y a
1
2
VD : Cho dạng toàn phương
3
2 2
2
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
3 2 1 2
2 1 2 1
2 1 1
Dạng toàn phương chỉ có các số hạng bình phương (a ij = ,o i≠ j)
Ma trận của dạng chính tắc là ma trận chéo: A=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nn a
a a
12 11
3
2 2
2
2x + x − x
có ma trận A=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
− 4 0 0
0 3 0
0 0 2
3.5 ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC :
Phương pháp Lagrange:
=
+
n i
2 i
ii x a
≤
≤
≤i j n
j i
ij x y a
1
2
Bước 1: giả sử a11≠ 0,nhóm các số hạng có chứa x1, thêm bớt để có một bình phương đủ
1 1
Bước 2: Biến đổi Q1như trên ta có :
2 2
Tiếp tục như trên ,nhiều nhất sau n bước ta được Q là tổng các bình phương :
1 1
2 2
Bước 3: Đặt x i' =x i +βi (i=1,n) ta có :
2 2 2 ' 1
VD: Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc :
3
2 2
2
3.6 XÁC ĐỊNH DẤU DẠNG TOÀN PHƯƠNG :
Trang 6* Q(x) xác định dương (hoặc xác định âm ) nếu Q(x)>0 (hoặc Q( x)<0 ) ,∀x∈R n,x≠0
0 ) ( 0
,
∈
∀x R n x R n x sao cho Q x
chính của A
* Q(x) xác định dương ⇔ Δi> 0 (i=1,n)
* Q(x) xác định âm ⇔ Δi< 0 với i lẻ và Δi>0 với i chẵn
- Nếu Q(x) có dạng chính tắc : Q(x)= ' 2 ' 2
2 2 2 ' 1
* Q(x) xác định dương ⇔ Δi> 0 (i=1,n)
* Q(x) xác định âm ⇔ Δi<0 (i=1,n)
2 2 2 ' 1
* Q(x) nửa xác định dương ⇔ Δi> 0 (i=1,r)
* Q(x) nửa xác định âm ⇔ Δi<0 (i=1,r)
VD: Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc, chỉ ra phép biến đổi toạ độ tương ứng và xác định dấu của nó trong R3
3
2 2
2
3
2 2
2
3
2 2
2
2x +x +λx + x x + x x