Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau: a.. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau: a... Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO VĨNH LONG TRƯỜNG THPT PHẠM HÙNG
Năm học: 2009 – 2010
Trang 2A SỐ PHỨC CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC.
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1 Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i
thỏa mãn 2
1
i = −
Kí hiệu z = + a bi
• i: đơn vị ảo, • a: phần thực, • b: phần ảo.
Chú ý:
o z a 0i a = + = được gọi là số thực (a ∈ ⊂ ¡ £ )
Biểu diễn hình học của số phức: M(a;b) biểu diễn cho số phức z ⇔ z = a + bi
2 Hai số phức bằng nhau Cho hai số phức z a bi = + và z ' a ' b 'i = + với a, b,a ', b ' ∈ ¡
a a '
z z '
b b '
=
3 Cộng và trừ số phức Cho hai số phức z a bi = + và z ' a ' b 'i = + với a, b,a ', b ' ∈ ¡
z + z ' = a + a ' + b + b ' i
z − = z ' a − a ' + b − b ' i
oSố đối của z = a + bi là –z = – a – bi (a, b ∈ ¡ )
4 Nhân hai số phức Cho hai số phức z a bi = + và z ' a ' b 'i = + với a, b,a ', b ' ∈ ¡
z.z ' = aa ' bb ' − + ab ' a ' b i +
5 Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = − a bi
o z=z; z+z' = z+z' ; z.z' =z.z'
o z là số thực ⇔ z =z ; z là số ảo ⇔ z= −z
6 Môđun của số phức z = a + bi
z = a + b = zz = OMuuuur
o z ≥ 0 ∀z∈C, z = 0 ⇔ z = 0
o z.z ' = z z ' , z z ' + ≤ + z z ' ∀ z, z ' ∈ £
7 Chia hai số phức.
o Số phức nghịch đảo của z (z≠ 0 ): z
z
z− 1 = 12
oThương của z’ chia cho z (z≠ 0): z
z z z
z z z z z
'
'
2
o Với z 0 , ' w z' wz.
z
z
=
⇔
=
≠ , z z' = z z', z z' = z z'
II CÁC DẠNG TOÁN
Trang 3Bài toán 1 Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau:
a z i (2 4i)(3 2i) = + − + ; b z ( 1 i) = − + 3 − (2i) 3; c 2 ( )
1 i
−
Giải.
a z i (2 4i)(3 2i) i 14 8i 14 7i = + − + = + − = −
Phần thực a = 14; Phần ảo b = − 7; môđun z = 7 5
z ( 1 i) = − + − (2i) = + − − 2 2i ( 8i) 2 10i = +
Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun z = 2 26
1 i
= + + = + + − =
−
Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun z = 2
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1 Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau:
a (4 – i) + (2 + 3i) –
(5 + i)
b (2 + i)3 – (3 – i)3
c 2 3i−1
d.(2 3i) − 3
e.(1 + i)2 – (1 – i)2
f ( 3 i + ) (2− 3 i − )2
g.(2 + i)3 – (3 – i)3
h ++ 32− −− − 32
(3 2i) (2 i)
i ( )2 4 5
3 2
2
−
+
i i
i
j ( 1- 2 i ) + 21++i i
k.3 2i−i
l ( 3 + 2i) ( 3 [ 2 −i) − ( 5 − 2i) ]
+
1
i i
i i
n i i− i−i +
1 3
o + + +
p (1−43i−)(24i+3i)
2 Tính
a.1+32i
b.11+−i i
c i m m
d a a−+i i a a
e (1−23i+)(1i+i)
f 2i(3 + i)(2 + 4i)
g 3 + 2i + (6 + i)(5 + i)
h a i+i a b
i (2 – i)4
j i
2
3 2 1
1
−
k i i i
6 3
4 5 3 4
+
+ +
−
l ( ) ( )1+−i22+2i i 3
m (3 – 2i)(2 – 3i)
n (2 + 3i)2
o (2 – 3i)3
p 41++2i i
q 2 i (1 i)(4 3i)+ + +3 2i+ −
1 2i
−
s 3 i−i + (5 – i)2
t 2 2i 1 2i
Bài toán 2 Tính (1 i) + 2012
Giải.
1006
2012 2 1006 1006 1006 1006 2 503 1006 503 1006
(1 i) + = (1 i) + = (2i) = 2 i = 2 (i ) = 2 ( 1) − = − 2
Trang 4BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tính
a.1+ + + + +i i2 i3 i2009 b.(1 )−i100 c (1 ) +i 2008 + − (1 )i 2008
Bài toán 3 Tìm các số thực x và y biết 2x yi 3 2i x yi 2 4i + − + = − + +
Giải.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tìm các số thực x và y biết:
a (2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i
b (2 – x) – i 2 = 3 + (3 – y) i c.– 5) i(3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y
d (2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) – (y – 4) i
Bài toán 4 Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số
phức z thỏa mãn:
a z i + = − − z 2 3i ; b z 3 1 + ≤
Giải Đặt z x yi = + , khi đó:
a z i + = − − ⇔ + + = + − − ⇔ + + z 2 3i x yi i x yi 2 3i x (y 1)i = − + − x 2 (y 3)i
⇔ x 2 + + (y 1) 2 = (x 2) − 2 + − (y 3) 2 ⇔ + x 2y 3 0 − =
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x 2y 3 0 + − =
b z 3 1 + ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ + + x yi 3 1 x 3 yi 1 ≤ ⇔ (x 3) + 2 + y 2 ≤ ⇔ 1 (x 3) + 2 + y 2 ≤ 1
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn (x 3) + 2 + y 2 ≤ 1 tâm I(-3;0) và bán kính bằng 1
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
a z+z+ 3 = 4
b.2|z – i| = z−z+ 2i
c z = − +z 3 4i
d z i 1
z i− =
+
e z− + = 1 i 2
a. z + 2z = 2 – 4i
b z2 −z = 0
f z2 + z = 0
g 2 z+ = −i z
h z = 1
i z = z− 3 + 4i
j z− ( 2 _i) = 10 và z z'= 25
k z ≤ 1
l z=1 và phần ảo của z =1
m z−(3 − 4i) = 2
4
=
−
+
i z
i z
o = 1
+
−
i z
i z
p.1< z ≤2
q 2i− 2z = 2z− 1
r phần thực của z thuộc đọan [0;1], phần ảo của z thuộc đoạn [-1;2]
c z+ 2z = 2 − 4i
Trang 5d z2 + z2 = 0
B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1 Căn bậc hai của số phức
o z 0 = có một căn bậc hai là 0
o z a = là số thực dương có 2 căn bậc 2 là ± a
o z a = là số thực âm có 2 căn bậc hai là ± a i
o z = x + yi là số phức có căn bậc 2 là w = a + bi sao cho
2 2
2xy b
(a, b, x, y∈ ¡ )
2 Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số thực cho trước, A ≠ 0) Tính ∆ = B 2 − 4AC
o ∆ >0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2
B
z ,
2A
− ± ∆
=
o ∆ <0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2
B i
z ,
2A
− ± ∆
=
o ∆ =0: Phương trình có 1 nghiệm kép là 1 2
B
2A
= = −
3 Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A ≠ 0
)
∆ = −
o ∆ ≠0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2
B
z ,
2A
− ± δ
(δ là 1 căn bậc hai của ∆ )
o ∆ =0: Phương trình có 1 nghiệm kép là 1 2
B
2A
= = −
II CÁC DẠNG TOÁN.
Bài toán 1 Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
Giải.
a Hai căn bậc hai của − 4 là ± − 4 i = ± 2i
b Gọi w x yi = + là căn bậc hai của 3 4i − , ta có:
2
x 2
y
y 1 x
x
=
loại
Trang 6Vậy 3 4i − có hai căn bậc hai là 2 i − và − + 2 i
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1 Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
8;3; − 9; − 11; -I; -2i; 2i; 4i
2 Tìm căn bậc hai của các số phức sau: (NC)
5 12i
− + ; 8 6i + ; 33 56i − ; − + 3 4i; 3+4i; 5 – 12i
Bài toán 2 Giải các phương trình sau trên tập số phức:
4 3i + − = −
−
Giải.
−
−
4 3i + − = − ⇔ 4 3i = + ⇔ = + − = −
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
i
i
+
+
−
=
−
+
2
3 1 1
2
b.2iz + 1 – i = 0
c.(1 – i )z + 2 – i = 2z + i
d. ( iz –1 )( z + 3i )( z– 2 + 3i) = 0
e. ( 2 i) z – 4 = 0
f (4 5i z 2 i − ) = +
g.( ) (2 )
3 2i − z i + = 3i
s (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
t (3 + 4i)z =(1 + 2i)( 4 + i)
h 3 5i 2 4i z
+
= −
4 3
−
j (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i) k.(3 – 2i)z + (6 – 4i)= 5 – i
l (3 + 4i)z + (1 – 3i)=2 + 5i
m z 3 1i 3 1i
÷
2
1 ](
3 ) 2
i iz i z i
Bài toán 3 Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC)
a 2
7z + + = 3z 2 0; b 2
Giải.
a 7z 2 + + = 3z 2 0
2
∆ = − = − <
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
2
b − 3x 2 + 2x 1 0 − =
Trang 7Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
−
2
− BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1 Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a x2 − 3 x+ 1 = 0
b.3 2 x2 − 2 3 x+ 2 = 0
c 2
3x − + =x 2 0
d.3x2 + + =x 2 0
e x2 + + =x 1 0
f z4–8 = 0
g.x3 – 1 = 0
h.z3 + 1 = 0
i z4 + 4 = 0
j 5z2 – 7z + 11 = 0
k. z2 - 2 3z + 7 = 0
l z3 – 8 = 0
m z2 + z +7 = 0 n.z2 – z + 1 = 0
o.z2 + 2z + 5 = 0 p.8z2 – 4z + 1 = 0 q.x2 + 7 = 0
r x2 – 3x + 3 = 0
s x2 –5x +7=0
t x2 –4x + 11 = 0 u.z2 – 3z + 11 = 0
2 Giải phương trình sau trên trường số phức
a z4 – 5z2 – 6 = 0
b.z4 +7z2 – 8 = 0
c.z4 – 8z2 – 9 = 0
d.z4 + 6z2 + 25 = 0
e.z4 + 4z – 77 = 0
f 8z4 + 8z3 = z + 1
g.z4 + z3 + 12z2 + z + 1 = 0 h.z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0
i 4z 3 7i z 2i
z i
− − = −
−
j 3 1 2 1 1
0
Bài toán 4 Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC)
a x 2 − + (3 4i)x 5i 1 0 + − = ; b z 2 − 2iz 2i 1 0 + − =
Giải.
a x 2 − + (3 4i)x 5i 1 0 + − =
Gọi δ là một căn bậc hai của ∆, ta có δ = + 1 2i
Do ∆ ≠ 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
− + δ + + +
2
− − δ + − +
b z 2 − 2iz 2i 1 0 + − =
∆ = − = − = − ≠
Gọi δ ' là một căn bậc hai của ∆ ', ta có δ = − ' 1 i
Do ∆ ≠ ' 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Trang 8− + δ + −
2
− − δ − −
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ (NC)
1 Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0
b.(z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0
c x2 + +(1 i x) − − = 2 i 0
d.2z2 – iz + 1 = 0
e.z2 + (-2 + i)z – 2i = 0
f z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
g.z2 + ( 1 – 3 i)z – 2(1 + i) = 0
h x2 − +(2 8i x) + 14i− 23 0 =
i z2 − −(5 14i z) − 2 12 5( + i) = 0
j z2 − 80z+ 4099 100 − i= 0
l z2 −(cos ϕ +isin ϕ)z i+ cos sin ϕ ϕ = 0.
m z4 − 8 1( −i z) 2 + 63 16 − i= 0
n z4 − 24 1 ( −i z) 2 + 308 144 − i= 0 o.( 1 – i)x2 – 2x – (11 + 3i) = 0 p.( 1 + i)x2 – 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0 q.z2 + 18z + 1681 = 0
2 Giải các hệ phương trình :
a
−
=
+
+
=
+
i z
z
i z
z
2 5
4
2
2
2
1
2
1
b
+
−
=
+
−
−
=
i z
z
i z
z
2 5
5 5
.
2
2
2
1
2
1
c 12 22
1 2
5 2 4
+ = +
d. + + + =u u v2 v22i4uv=0
e − − = −2 = 1
C DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (NC)
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1 Dạng lượng giác của số phức.
z = r(cos ϕ + i sin ) ϕ (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈ ¡ , z 0) ≠
o r = a 2 + b 2 là môđun của z
o ϕ là một acgumen của z thỏa
a cos
r b sin
r
ϕ =
ϕ =
2 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác Nếu z = r(cos
i sin ) , z ' r '(cos ' isin ')
o z.z ' = r.r '[cos( ϕ+ϕ + ') i sin( ϕ+ϕ ')]
3 Công thức Moa-vrơ : n∈N* thì [r(cos ϕ+ i sin ϕ )] n = r (cos n n ϕ+ i sin n ) ϕ
Nhân xét: (cos ϕ + i sin ) ϕ = n cos n ϕ + i sin n ϕ
4 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức z = r(cosϕ +isin ϕ ) (r > 0) là
Trang 9và (cos sin ) [cos( ) sin( )]
II CÁC DẠNG TOÁN.
Bài toán 1 Viết dạng lượng giác của các số phức sau:
a z 2 2i = − ; b z = − − 1 3.i
Giải.
a z 2 2i = −
oMô đun r = a 2 + b 2 = 2 2
oGọi ϕ là một acgumen của z ta có
1 cos
2
sin
2
ϕ =
ϕ = −
Dạng lượng giác z 2 2 cos i sin
π π
= − ÷+ − ÷
b z = − − 1 3.i
oMô đun r = a 2 + b 2 = 2
oGọi ϕ là một acgumen của z ta có
1 cos
2 2
3 3
sin
2
ϕ = −
ϕ = −
Dạng lượng giác z 2 cos 2 i sin 2
π π
= − ÷+ − ÷
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1 Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a − 2 + 2 3i.
b.4 – 4i
c 1 – 3i.
d sin 4
4
e cos8
8
−
f ( 1 −i 3 )( 1 +i)
g 11−+i i3
2 Thực hiện phép tính
4 sin 4 (cos 3 ).
6 sin 6
b 23(cos(cos15450 ..sinsin15450))
0 0
i
i
+ +
c 3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o)
d
) 2 sin 2 (cos 2
) 3
2 sin 3
2 (cos 2
π π
π π
i
i
+ +
3 Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a.1 i− 3
b.1 + i
c ( 1 −i 3 )( 1 +i)
d.1−1+i i3
e 2 i.( 3 −i)
f 2+12i g.z = sin ϕ +i cos ϕ
Bài toán 2 Tính:
Trang 10a ( )6
10
10 9
(1 i)
3 i
+ +
Giải.
10
(1 i) − 3 i +
10
π π π π
− = − ÷+ − ÷÷ = − ÷+ − ÷= − = −
π π
10
b ( )
10
9
(1 i)
3 i
+
+
( )
10
10
9
16
3 i
+
+
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tính :
a [ 2 (cos 30 0 +isin 30 0)]7
b.( 3 −i) 6
c 11 33
−
+
i
i
d
12
2
3
2
1
+i
e.i 1+i ÷2010 f
21
3 2 1
3 3 5
−
+
i i
g cos sin 5 (1 3 ) 7
h 13 280
+
−
+
i i
i ( )25
1 i+
j (( ))49
50
3
1
i
i
+ +
k.(cos12o + isin12o)5
Bài toán 3 Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a z = − − 1 i 3; b z 1 i 3
1 i
−
= +
Giải.
a − − 1 i 3
Dạng lượng giác: z 2 cos 2 i sin 2
π π
= − ÷+ − ÷
Hai căn bậc hai của z là
1
π π
= − ÷+ − ÷= − ÷÷= − = −
Trang 112
π π
= − − ÷+ − ÷= − − ÷÷= − + = − +
1 i
−
=
+
Dạng lượng giác z 2 cos 7 i sin 7
π π
= − ÷+ − ÷
Hai căn bậc hai của z là 4
1
π π
= − ÷+ − ÷
2
= − − ÷+ − ÷= ÷+ ÷
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
a –1 + 4 3i.
b.4 + 6 5i.
c –1 – 2 6i.
d.1+4 3i
e.( 3 - i)6
f 1 2004
+i i
g.− 11 + 4 3i
h ( )1 −i
2 2
i sin4
4
j sin3
3
k. 4 6 5i+
l − −1 2 6i