Chuyên đề: Tỉ lệ thứci.
Trang 1Chuyên đề: Tỉ lệ thức
i l ý THUYếT
1 Định nghĩa tỉ lệ thức:
d
c b
a
với b, d 0 gọi là một tỉ lệ thức
2 Tính chất của tỉ lệ thức :
d
c b
a
ad = bc với a,b,c,d 0
3 Tính chất của dãy ti số bằng nhau:
d b
c a d b
c a d
c b a
( Với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa )
4 Mở rộng:
tg nd mb
te nc ma g d b
e c a g d b
e c a g
e
d
c
b
a
2 2 2
2 2
2 2
2
d b
c a d b
c a bd
ac d
c b
a
d
c
b
a
3 3 3
3 3 3 3
3
nd mb
nc ma bdg
ace g
e d
c b
a g
e
d
c
b
a
( Với giả thiết các tỉ số dều có nghĩa )
GV gợi ý cho HS chứng minh các tính chất này
5 Chú ý:
Các số a,b,c tỉ lệ với các số x,y,z khi và chỉ khi a x b y c z hoặc a:b:c = x:y:z
II Một số dạng toán:
1 Dạng 1: Lập tỉ lệ thức
VD1: Lập các tỉ lệ thức từ đẳng thức sau: 7.(-28)=(-49).4
HD: áp dụng tc của tỉ lệ thức ta đợc 4 tỉ lệ thức
VD2: Các số sau có lập thành tỉ lệ thức không: 0,9; -1,7; 4,25; -0,36
HD: Cách 1: Xét tích: (-0,36).4,25=0,9.(-1,7)(=-1,53) => Lập đợc tỉ lệ thức Kinh nghiệm: So sánh tích của số có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất và số có giá trị tuyệt đối lớn nhất với tích của 2 số còn lại
5
2 25
, 4
7 , 1 9
, 0
36 , 0
=> Lập đợc tỉ lệ thức Kinh nghiệm: So sánh thơng của 2 số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn với thơng của 2 số còn lại
2 Dạng 2: Tìm số hạng cha biết trong tỉ lệ thức
VD: Tìm x biết: a)
7
3 13
37
x
x
; b)
3
2 2
1
x
x x
x
; c)
x
x
25
24
6 HD: a) Cách 1:
7
3 13
37
x
x
=> 7.(37-x)=3.(x+13) => Tìm đợc x Cách 2:
7
3 13
37
x
x
10
50 7
3
13 37
7
13 3
37
=> Tìm đợc x Cách 3:
7
3 13
37
x
x
=> 1+
7
3 1 13
37
x
x
=>
7
10 13
50 7
10 13
37 13
x x
x x
=> Tìm đợc x
Với các cách làm tơng tự ta tính đợc x ở phần b và phần c
Trang 23 Dạng 3: Chứng minh tỉ lệ thức
(Với giả thiết các tỉ số đa ra đều có nghĩa)
VD1: Cho tỉ lệ thức
d
c b
a
Chứng minh rằng: a)
d c
c b a
a
b)
d c
d c
b
a
b
a
c) 22 2 22 2
8 11
3 7 8
11
3 7
d c
cd c
b a
ab a
HD: a) Cách 1: Đặt
d
c b
a
=k với k 0 => a=kb; c=kd Ta tính
b a
a
theo k và
d
c
c
theo k rồi suy ra đpcm
Cách 2:
d
c b
a
=>
d c
b a d
b c
a
=> đpcm Cách 3:
d
c b
a
=>
c
d c a
b a c
d a
b c
d a
b) Với các cách làm tơng tự nh phần a
c) Cách 1: Nh cách 1 ở phần a
Cách 2:
d
c b
a
11
11 3
3 8
8 7
7
c
a cd
ab d
b c
a cd
ab d
b c
a d
b c
a
=> đpcm
Kinh nghiệm: Với cách 1 ta sẽ giải đợc tất cả các bài toán nh VD1
VD2: Cho a+c=2b và 2bd=c(b+d) Chứng minh 4 số a,b,c,d lập đợc tỉ lệ thức HD: Từ a+c=2b => d(a+c)=2bd
=> d(a+c)=c(b+d) => ad=bc => đpcm
VD3: Cho
cd
ab d c
b a
2 2
2 2
CMR:
d
c b
a
hoặc
c
d b
a
HD:
cd
ab d
c
b
a
2
2
2
2
=
cd d c
ab b a cd d c
ab b a cd
ab
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
2
2 2
=>
d c
b a d c
b a d
c
b a d
c
b
a
Khi
d c
b a
d
c
b
a
biến đổi ta đợc
d
c b
a
Khi
d c
b a d
c
b
a
biến đổi ta đợc
c
d b
a
4) Dạng 4: Tìm số hạng cha biết thoả mãn điều kiện cho trớc
VD: Tìm x,y,z biết:
a)
5
3
y
x
và x+y=16
b)
5
3
y
x
và xy=90
c)
3 5
2
z
y
x
và 3x+y-2z=34 d) x:y:z=2:5:(-3) và xyz=-120
e) x:y:z=2:5:(-3) và x2-y2+2z2=78
f) 3x=5y; 7y=2z và 2x-3y+z=46
g) 5x=8y=20z và y2-z2=42
Trang 3HD: Cách 1: Cách làm chung đối với các bài tập dạng này là:
Đặt điều kiện thứ nhất là k (k 0)
Rút x,y,z theo k
Thay x,y,z vào điều kiện thứ 2 để tìm k
Thay k trở lại điều kiện 1 ta tìm đợc x,y,z
Cụ thể: a) Gọi
5 3
y x
=k (k 0) => x=3k, y=5k => x+y=8k=16 => k=2 => x=6 và y=10
Tuy nhiên ở phần d),e),f),g) ta phải biến đổi điều kiện 1 về dạng nh phần c) Cách 2: a) HS dễ dàng làm đợc
b) HS dễ mắc sai lầm là áp dụng
5 3
y x
15
90 5
xy
=6 => x,y
GV cần lu ý để HS không phạm sai lầm đó
5
3
y
x
15
90 5 3 25 9
2 2
y xy
x => x2=54 => x= 54
y2=150 => y= 150
=> (x;y) = ( 54 ; 150);(- 54 ; 150)
c) HS làm đợc
d) x:y:z=2:5:(-3) và xyz=-120
Từ x:y:z=2:5:(-3) =>
3 5
2
z y x
30
120 )
3 (
5 2 27 125
8
3 3 3
x
Từ đó tìm đợc x3,y3,z3 rồi suy ra x,y,z ( Cần nhấn mạnh để HS không mắc sai lầm nh ở phần b)
e) x:y:z=2:5:(-3) và x2-y2+2z2=78
Từ x:y:z=2:5:(-3) =>
3 5
2
z y x
3
78 9 2 25 4
2 9
25 4
22 2 2 2 2 2
x
=> Không có giá trị của x,y,z thoả mãn đầu bài
f) 3x=5y; 7y=2z và 2x-3y+z=46
3x=5y =>
6 10 3 5
y x y x
7y=2z =>
21 6 7 2
z y z y
=>
21 6
10
z y
x
kết hợp với 2x-3y+z=46 tìm đợc x,y,z
g) 5x=8y=20z và y2-z2=42
Từ 5x=8y=20z =>
2 5 8 40
20 40
8 40
21
42 4 25 4 25
64
2 2 2 2
2
5 Dạng 5: áp dụng vào giải toán
VD1: Chia một số M thành 3 phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ với 5 và 6, phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 8và 9, phần thứ ba hơn phần thứ hai là 150 Tìm số M
HD: Gọi mỗi phần lần lợt là x,y,z (x,y,z > 0)
Theo bài ta có:
9 8
, 6 5
z y y x
và z - y=150
Trang 4Theo dạng 4 tìm đợc x,y,z
VD2: Tìm ba số tự nhiên, biết rằng BCNN của chúng là 3150 Tỉ số của số thứ nhất và số thứ hai là 5:9, tỉ số của số thứ nhất và số thứ ba là 10:7
HD: Gọi mỗi số lần lợt là a,b,c ( a,b,c N* )
Ta có: BCNN(a,b,c)=3150,
9
5
b
a
và
7
10
c a
Từ
9
5
b
a
và
7
10
c
a
=> a b c k
7 18
=> a=10k, b=18k, c=7k => BCNN(10k,18k,7k)=3150 => 630k=3150 => k=5
=> Tìm đợc a,b,c
VD3: Ba lớp 7A,7B,7C có 144 HS Nếu rút ở lớp 7A đi
4
1
số HS của lớp đó, rút ở lớp 7B đi
7
1
số HS của lớp đó, rút ở lớp 7C đi
3
1
số HS của lớp đó thì số
HS của ba lớp bằng nhau Tính só HS lúc đầu ở mỗi lớp
HD: Gọi số HS cần tìm là x,y,z (x,y,zN*)
Ta có: x x y y z z
3
1 7
1 4
1
3
1 7
1 4
1
9 7 8 3
2 7
6 4
z y
x kết hợp với x+y+z=144 tìm đợc x,y,z
6) Một số dạng toán khác
VD1: Cho 3 số a,b,c 0 thoả mãn
b
b a c a
a c b c
c b
Hãy tính giá trị của biểu thức: P=
a
c c
b b
a
1 1 1 HD: Xét 2 trờng hợp:
- Nếu a+b+c 0 ta có:
c b a
c b a b
b a c a
a c b c
c b
a
=> a+b=2c =>
b
c b
1
b+c=2a =>
c
a c
1
c+a=2b =>
a
b a
1
=> P= 2 .2 .2 8
a
b c
a b
c
( Vì a,b,c 0)
- Nếu a+b+c=0 => a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b
=> P= . . . . 1
a
b c
a b
c a
c a c
c b b
b
a
Vậy
VD2: Cho
c
bx ay b
az cx a
cy
Chứng minh:
z
c y
b x
a
HD: Từ
c
bx ay b
az cx a
cy
Trang 5=> 2 2 2 2 02 2 0
c b a c
bcx acy b
abz bcx a
acy
abz