Bài giảng toán cao cấp 2

⟶ ⟶ Tuy định nghĩa chính xác là như vậy nhưng do trong giáo trình chỉ đề cập đến 2 loại hàm số siêu việt nên một hàm số được cho trong giáo trình này nếu không phải là một tron

Chương 2 Phép tính vi phân hàm nhiều biến

1 Giới hạn và liên tục hàm hai biến

2 Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1 Ứng dụng: tính gần đúng

3 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

4 Công thức Taylor

5 Đạo hàm theo hướng và Gradient

6 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợp

7 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn

8 Ứng dụng của đạo hàm riêng

9 Cực trị tự do của hàm f(x,y) Điều kiện đủ qua Δ và dạng toàn phương

10 Cực trị có điều kiện Định lí Lagrange, điều kiện đủ dạng toàn phương

11 Giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm f(x,y) trên miền đóng, bị chặn

Chương 2 Tích phân bội

1 Các mặt bậc 2

2 Tích phân kép Định nghĩa và cách tính

3 Đổi biến trong tích phân kép Đổi sang tọa độ cực

4 Ứng dụng của tích phân kép

5 Tích phân bội 3 Định nghĩa và cách tính

6 Đổi biến trong tích phân bội 3 Đổi sang tọa trụ, tọa độ cầu

7 Ứng dụng của tích phân bội 3

Chương 3 Phương trình vi phân

1 Các khái niệm cơ bản Bài toán Cauchy, nghiệm tổng quát

2 Phương trình vi phân cấp 1

PTVP có biến phân ly, PTVP đẳng cấp,

PTVP toàn phần, PTVP tuyến tính cấp 1 và PTVP Bernoulli

3 PTVP cấp 2 giảm cấp được

4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao

Chương 1 VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

I Giới hạn dãy số

1 Định nghĩa : Ta gọi mỗi ánh xạ u : N ⟶ R là một dãy số và ký hiệu ( )

Ký hiệu : ⟶ hay đơn giản hơn ⟶

b Dãy số được gọi là tiến dần tới số L nếu và chỉ nếu dãy số tiến dần tới 0 , ký hiệu :

a Nói chung : nếu u ⟶ a và v ⟶ b ( a ,b R , a > 0 ) thì u mũ v tiến tới a mũ b

b Để tính ⟶ ( ) ( ) ta có thể lấy loga Ne-pe 2 vế hoặc sử dụng công thức :

⟶ ( ) ( )= ⟶ [ ( ) ] ( )

5 Dãy vô cùng bé và dãy vô cùng lớn

Định nghĩa :

a Dãy số được gọi là một vô cùng bé nếu và chỉ nếu ⟶

b Dãy số được gọi là một vô cùng lớn nếu và chỉ nếu | | ⟶

tiến dần tới 0 ) “Dần tới 0” là có giới hạn bằng 0

Ví dụ :

⟶

⟶

Tuy định nghĩa chính xác là như vậy nhưng do trong giáo trình chỉ đề cập đến 2 loại hàm số siêu việt nên một hàm số được cho trong giáo trình này nếu không phải là một trong 2 loại đó thì nó là hàm số

sơ cấp Hai loại hàm số siêu việt đó là :

2 Định nghĩa giới hạn hàm số

Sau đây chữ A ký hiệu cho một số thực hoặc ,

a Hàm số f(x) được gọi là có giới hạn 0 khi x tiến dần tới A nếu và chỉ nếu với mọi dãy số mà

d Hàm số f(x) được gọi là có giới hạn khi x ⟶ A khi x ⟶ A nếu và chỉ nếu với mọi dãy số

mà ⟶ thì dãy số f( ) ⟶ khi ⟶ Ký hiệu : ⟶ ( )

3 Tính chất :

1) Nếu hàm số sơ cấp f(x) xác định trên doạn [b,c] chứa a thì f(x) ⟶ f(a) khi x ⟶ a

2) Giới hạn của tổng hiệu tích thương hai giới hạn 2 giới hạn bằng tổng hiệu tích thương 2 giới hạn khi các giới hạn bên phải tồn tại hữu hạn ( nghĩa là tồn tại và bằng một số thực ,khác 0 khi ở mẫu

⟶ √ ( ) √ ⟶ ( )

⟶ ( ) ⟶ ( )

⟶ ( )

⟶ ( )

…

4) Giới hạn của hàm siêu việt u mũ v : ⟶ ( ) ( )

a Nói chung : nếu u ⟶ a và v ⟶ b ( a ,b R , a > 0 ) thì u mũ v tiến tới a mũ b :

⟶ ( ) ( ) ( ⟶ ( )) ⟶ ( )

b Để tính ⟶ ( ) ( ) ta có thể lấy loga Ne-pe 2 vế :

⟶ ( ) ( )

⟶ ( ) ( )

⟶ ( ( ) ( )) Hoặc sử dụng công thức : ⟶ ( ) ( )= ⟶ [ ( ) ] ( )

4 Một số kết quả 1) ⟶ ( ) với mọi đa thức ( ) có bậc lớn hơn hay bằng 1 2) ⟶ ( )

3) ⟶ ( )

4) ⟶

5) ⟶

6) ⟶

7) ⟶

8) ⟶

9) ⟶

10) ⟶

11) ⟶

12) …  Chú ý : Các công thức trên vẫn đúng khi ta thay x bởi một biểu thức u(x) nào đó miễn là nó dần tới những giá trị tương ứng của x Chẳng hạn với công thức 4 ta có : ( )⟶ ( ( )) ( )

Có nghĩa là : nếu

⟶ ( )

thì

⟶ ( ( )) ( )

III Dạng xác định và dạng vô định của giới hạn

Khi gặp các giới hạn , ta dùng quy tắc L’Hospital

Gặp dạng ta biến đổi về dạng hoặc

Gặp dạng hạn : ( ) , , ta lấy lô-ga nê-pe 2 vế để đưa về dạng rồi lại đưa về

dạng hoặc

Ngoài ra đối với dạng ta còn có thể sử dụng công thức sau như đã nói ở trên :

⟶ ( ) ( ) ⟶ [ ( ) ] ( )

IV Hàm tương đương :

1 Định nghĩa : u(x) được gọi là tương đương với v(x) khi x ⟶ A ký hiệu u(x) ~ v(x) nếu và chỉ nếu :

c u(x) ~ u(x) ; u(x) ~ v(x) ⟹ v(x) ~ u(x) ; u(x) ~ v(x) ~ w(x) ⟹ u(x) ~ w(x) (gọi là tính chất :

1) Tổng, hiệu , tích hai vô cùng bé cũng là một vô cùng bé

2) tích vô cùng bé với một số khác o là một vô cùng bé

⟶

5 Dãy vô cùng bé tương đương :

Khi x ⟶ A nếu u(x) là vô cùng bé thì ta có dãy tương đương sau :

√ ( ) ( ( ))

VI Các phương pháp tìm giới hạn

1 Phương pháp khử : Chia cả tử và mẫu cho biểu thức gây nên dạng vô định

2 Phương pháp địa phương hóa : Thường chia cả tử số và mẫu số cho Sau đó biến

đổi và áp dụng tính chất giới hạn một tổng bằng tổng giới hạn , giới hạn một thương bằng thương giới hạn …Rồi tính riêng mỗi giới hạn thành phần

3 Phương pháp thay thế ( vô cùng lớn ,vô cùng bé tương đương ) Nhớ là không được thay thế một bộ phận của tử số hay một bộ phận của mẫu số ! Phải thay thế nguyên cả tử số hoặc nguyên cả mẫu số hoặc cả hai !

4 Phương pháp L’Hôpital ( Lô-pi-tan)

( Guillaume de L'Hôpital – một nhà toán học Pháp 1661-1704 )

Giới hạn của thương 2 vô cùng bé hoặc 2 vô cùng lớn bằng L khi thương các đạo hàm có giới hạn là L ( xem phần đạo hàm )

Trước hết phải có thói quen lựa chọn phương pháp Sau đó phải nắm vững các kết quả , có

kỹ năng biến đổi và có kỹ năng thay thế !

h

Ví dụ 1 ( phương pháp thay thế vô cùng bé tương đương )

⟶

[ ( )] ⟶

√ ⟶

Ví dụ 3 ( phương pháp thay thế vô cùng bé tương đương )

⟶

( ) ( ) ( ) ⟶

Vì :

( ) ( )

và :

( )

Ví dụ 4 : Tìm giới hạn :

⟶

( ) ( ) ( )

Cách 1 : Thay thế tương đương :

⟶

( ) ( ) ( ) ⟶

Cách 2 : Địa phương hóa : Chia cả tử và mẫu cho x mũ 2 và đưa về tổng , hiệu ,thương các giới hạn :

( ( )) ( ) ( )

Ví dụ 5 : Tìm giới hạn :

⟶ ( )

Cách 1 : Sử dụng công thức : ⟶ ( ) ( ) ⟶ [ ( ) ] ( )

⟶ ( ) ⟶ [ ] ⟶ [ ]

⟶ [ ] ⟶

Cách 2 : Sử dụng công thức :

⟶ ( ( )) ( )

với điều kiện

⟶ ( )

Ta có :

⟶ ( )

⟶ ( )

⟶ ( )

⟶ ( ( )) ⟶ ( )

( ) ⟶

⟶

⟶

⟹ ⟹

(*) đã sử dụng quy tắc L’ Hôpital

VII Liên tục

1 Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trong khoảng (a,b) chứa điểm

Hàm số được gọi là liên tục tại ⟺ ⟶ ( ) ( )

Hàm số được gọi là liên tục trái tại ⟺ ⟶ ( ) ( )

Hàm số được gọi là liên tục phải tại ⟺ ⟶ ( ) ( )

Định lý : Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi hàm số vừa liên tục trái vừa liên tục phải tại Nếu hàm số liên tục tại mọi điểm trong khoảng (a,b) thì ta nói hàm số liên tục trong khoảng (a,b) Hàm số được gọi là liên tục trên đoạn [a,b] nếu và chỉ nếu nó liên tục trong khoảng (a,b) , liên tục trái tại

b và liên tục phải tại a

Nếu f(x) không liên tục tại a thì ta nói f(x) gián đoạn tại và được gọi là một điểm gián đoạn của hàm số

Định lý : Hàm số gián đoạn tại khi và chỉ khi nó không có giới hạn trái hoặc không có giới hạn phải tại hoặc có cả hai nhưng một trong hai hoặc cả hai giá trị không bằng ( )

2 Sự liên tục của hàm số sơ cấp

Định lý : Hàm số sơ cấp xác định tại đâu thì liên tục tai đấy

 Bài toán xét tính liên tục

Thông thường nhất là bài toán sau :

Với giá trị nào của k thì hàm số sau sẽ liên tục tại x=0 :

( ) [

Để giải bài toán này ta chỉ việc tính 2 vế của đẳng thức :

⟶ ( ) ( )

Rồi so sánh hai giá trị tìm được

Bài tập

1 Giới hạn

⟶ ( )

bằng : A/ 1/4 b/ 1/2

c/ -1 d/ Một đáp số khác

2 Giới hạn

⟶

( ) bằng : a/ -3/2 B/ 3/2

c/ -1/2 d/ Một đáp số khác

3 Giới hạn

⟶

( ) bằng : a/ 1/3 B/ 1/2

c/ -1 d/ Một đáp số khác

4 Giới hạn

⟶

( ) bằng : a/ 4/3 b/ 5/6 C/ 1 d/ Một đáp số khác

5 Gía trị của a để hàm số :

( ) [

liên tục tại x = 0 là

a/ a= 0 B/ a= 2

c/ a = 1 d/ M ột đáp số khác

6 Hàm số : ( ) [

gián đoạn tại :

a/ x= -1 b/ x= 0 c/ x = 1 d/Một đáp số khác

VIII Đạo hàm

1 Định nghĩa : Nếu f(x) xác định trong một khoảng chứa a và ⟶ ( ) ( ) thì f(x) được gọi

là có đạo hàm bằng A tại a và ký hiệu : f’(a) = A

Ví dụ : có đạo hàm tại là A=4 vì :

⟶

( ) ( ) ⟶

⟶

2 Tính chất :

1) Nếu f’(x)=A và g’(x)=B với A,B R thì (f(x) g(x))’=A B

2) (k.f(x))’=k.f’(x)

3) (u/v)’ = (u’v-uv’)

4) … 3 Đạo hàm của hàm hợp ( ( )) ( ) ( )

4 Đạo hàm cấp cao : ( )( ) [ ( )( )] 5 Đạo hàm của hàm ngược Nếu x=g(y) là hàm ngược của hàm số y=f(x) thì ta có : khi các đạo hàm tồn tại hữu hạn và

6 Đạo hàm hàm ẩn a Hàm ẩn được xác định từ phương trình tổng quát Có 2 cách cho hàm số bằng biểu thức : hàm tường minh và hàm ẩn Hàm tương minh là những hàm được cho dưới dạng y=f(x) mà vế phải không có chứa y Hàm ẩn là những hàm được cho ẩn chứa trong phương trình F(x,y)=0 Phương trình này ẩn chứa trong nó 2 hàm số là hàm ngược của nhau y=y(x) và x=x(y) Định lý Nếu y=f(x) được xác định từ phương trình : F(x,y)=0 thì : ( )

Ví dụ : Cho hàm ẩn y=f(x) xác định từ phương trình Hãy tinh f’(x) Ta có : y’=f’(x)= F’x/F’y= (2x-2y) / -2x = (x-y)/x Nếu từ phương trình trên rút ra y ta có y=( -2)/2x ⟹ y’= [(2x.2x-2( )]/4

= 1/x [( 2 )/2x]=(x-y)/x b Hàm ẩn được xác định từ phương trình tham số Cho phương trình tham số { ( )

( )

Phương trình này xác định cho ta 2 hàm ẩn là hàm ngược của nhau y=y(x) và x=x(y) Khi đó đạo hàm của mỗi hàm được tính bởi công thức : y’(x) = y’(t) / x(t) và x(y) = x’(t) / y’(t) Đạo hàm cấp 2 của hàm y = y(x) được xác định bởi y”(x) = (y’(x))’(t) / x’(t) Ví dụ : Cho {

Ta có : ( ) và ( ) ⟹ ( )

( ( )) ( ) ⟹ ( )

Ta cũng có thể tính bằng các khác : từ phương trình tham số ta có : ⟹ ⟹ ⟹

1 Đạo hàm cấp 2 của hàm số y=cos(3x) là :

A/ y’’= -9cos3x b/ y’’=9cos3x

c/ y’’=9sin3x d/M ột đáp số khác

2 Vi phân cấp 2 của hàm số y= là :

a/ ( ) B/ ( ) b/ ( ) c/ Một đáp số khác

1 Định nghĩa : F(x) được gọi là một nguyên hàm của f(x) trên D ⟺ F’(x) = f(x) trên D

Ta gọi bài toán : “Tìm mọi nguyên hàm của hàm số y = f(x)” là bài toán tích phân không xác định và ký hiệu bài toán như sau :

∫ ( )

Định lý : Nếu F’(x) =f(x) thì :

∫ ( ) ( )

2 Tính chất : 1) Tích phân của tổng hiệu bằng tổng hiệu tích phân ∫[ ( ) ( )] ∫ ( ) ∫ ( )

2) Có thể đưa hằng số khác 0 ra ngoài dấu tích phân : ∫ ( ) ∫ ( )

3 Công thức ) ∫

) ∫( ) ( )( )

) ∫ | |

) ∫

) ∫

) ∫

) ∫

) ∫

) ∫ ∫( )

) ∫ ∫( )

) ∫ √

) ∫ | |

) ∫ | |

) ∫

) ∫

|

| ) ∫

√ ) ∫

√ | √ | ) ∫ √ √

) ∫ √ √ | √ |

( )

( )( )

∫ ( )

∫ ∫

9 Tích phân lượng giác

cách 3 : Biến đổi đồng nhất về tích phân đơn giản

∫

∫

∫ ∫

( )

∫

II Tích phân xác định

1 Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x) xác định trên đoạn [a,b] Chia đoạn [a,b] thành n đoạn

[ ] bởi các điểm chia ,rồi trên mỗi đoạn

nhỏ lấy một điểm Nếu giới hạn :

( )⟶ ∑ ( )

tồn tại hữu hạn và băng một số L thì hàm số y=f(x) được gọi là khả tích trên đoạn [a,b] đồng thời L được gọi là tích phân xác định từ a đến b của hàm số y=f(x) và ký hiệu :

( )⟶ ∑ ( )

Theo phương pháp này chúng ta không phải đổi cận tích phân

Công thức (*) được gọi là công thức Newton-Leibnitz

Giải : Tính tích phân không xác định :

Đặt √ ⟹ ⟹ , thay vào tích phân ta có :

Cho hàm số f(x) xác liên tục trên đoạn [a,b] khi đó hàm số :

( ) ∫ ( )

là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a,b] , có nghĩa là :

( ) ( ) ( )

Biểu thức tích phân bên trái của F(x) được gọi là tích phân có cận biến thiên

Công thức đạo hàm theo cận :

3) Diện tích hình thang cong giới hạn bởi { ( )

III Tích phân suy rộng

1 Định nghĩa :

∫ ( )

⟶ ∫ ( )

∫ ( )

⟶ ∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

Các tích phân được gọi là hội tụ nếu và chỉ nếu các giới hạn bên phải tồn tại hữu hạn hoặc các tích phân bên phải hội tụ

2 Tính chất : tương tự như tích phân xác định

3 Cách tính : Dựa vào định nghĩa

4 Các dấu hiệu hội tụ

Chương 2 Vi phân hàm nhiều biến

Những bài toán thực tế dẫn đến việc nghiên cứu hàm nhiều biến

1 Bài toán lập kế hoạnh sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo

2 Bài toán lập kế hoạnh sản xuất trong điều kiện cạnh tranh độc quyền

3 Bài toán lợi nhuận cao nhất của một sản phẩm trên nhiều thị trường ( sinh viên tự đọc )

I Khái niệm hàm nhiều biến

1 Định nghĩa :

Mỗi ánh xạ f : ⟶ , trong đó , được gọi là một hàm số n biến D được gọi là miền xác

định của hàm số Cũng như hàm số một biến , hàm số nhiều biến thường được cho bởi một công thức ( )

Nếu M=(a,b,c,…) D thì ( ) ( ) được gọi là giá trị của hàm số tại M

Đồ thị của hàm số z = f(x,y) là tập hợp :

G(f)={ (x,y,f(x,y)) }

Đồ thị của hàm số f(x,y) còn được gọi là mặt z = f(x,y) Đây là một mặt ( phẳng hoặc cong ) trong không

gian ba chiều với hệ tọa độ Decartes (Oxyz)

( , ) ( ) được gọi là số gia riêng của biến x

( , ) ( ) được gọi là số gia riêng của biến y

3 Đạo hàm riêng :

Ta gọi giới hạn :

⟶

( ) ( )

là đạo hàm riêng của hàm số u=u(x,y) theo biến x tại điểm M=(( )

Có thể hiểu “nôm na” : Khi coi y là hằng số còn x là biến số ta sẽ có hàm số một biến Nếu hàm số này

có đạo hàm ( trên miền D của biến x) thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm riêng theo x của hàm U và

ký hiệu hay Đạo hàm riêng theo y được định nghĩa tương tự Đạo hàm riêng của các biến khác cũng được định nghĩa tương tự trong trường hợp hàm có nhiều hơn 2 biến

4 Vi phân toàn phần

1) Biểu thức vi phân toàn phần

Cho hàm số z=f(x,y) có các đạo hàm riêng và , ta gọi biểu thức sau đây là vi phân toàn phần của z=f(x,y) và ký hiệu là dz :

dz = dx + dy

2) Công thức tính gần đúng nhờ vi phân toàn phần

( , ) ( ) ( ) + ( )

Ví dụ 1: Tính gần đúng giá trị của biểu thức P = √

Vi dụ 2 : Một hình trụ bằng kim loại cao h=20cm ,bán khính đáy r=4cm , lúc nóng lên chiều cao

và bán kính đáy nở thêm một đoạn h = r = 0,1cm Hãy tính gần đúng thể tích hình trụ sau khi

nở

Ta có ; ⟹ , ⟹ ( ) ( )( ) ( )

5 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao cấp cao

1) Đạo hàm riêng cấp cao : Các đạo hàm riêng của được gọi là đạo hàm riêng cấp 2 :

7 Đạo hàm riêng của hàm ẩn

1) Hàm ẩn được xác định từ phương trình tổng quát

Có 2 cách cho hàm số bằng biểu thức : hàm tường minh và hàm ẩn Hàm tương minh là những hàm được cho dưới dạng u=f(x,y,z,…) mà vế phải không có chứa u Hàm ẩn là những hàm được cho ẩn chứa trong phương trình F(x,y,z,…u,v…)=0 Một phương trình có bao nhiêu ẩn số thì có bấy nhiêu hàm

ẩn ,chứa trong đó Khi chọn một ẩn nào đó làm hàm (chẳng hạn u) thì tất cả các ẩn khác làm biến theo nghia : cứ cho các biến những giá trị số thì giá trị của hàm được xác định bằng cách giải phương trình một ẩn ( ẩn là u) Nếu phương trình có nghiệm thì hàm số xác định với họ những giá trị của các biến (một phần tử của ) , nếu phương trình vô nghiệm thì coi như hàm số không xác định với họ giá trị đó

của các biến số Ta nói có một hàm ẩn u của các biến x,y,z,…được xác định từ phương trình F(x,y,z,u…)

= 0 nếu và chỉ nếu tồn tại một tập hợp con D của sao cho với mỗi α = (a,b,c,…) thuộc D phương trình một ẩn u : F(a,b,c,u…)=0 có nghiệm duy nhất

Định lý

Nếu z=f(x,y,…) là một hàm ẩn được xác định từ phương trình : F(x,y,z,…) = 0 mà hàm số u=F(x,y,z,…)

có các đạo hàm riêng theo z,x,y,…thì :

Cho hàm ẩn y=f(x) xác định từ phương trình :

Hãy tinh y’= f’(x)

Ta có : y’=f’(x)= F’x/F’y= - (2x-2y) / -2x = (x-y)/x ( x ≠ 0)

Nếu từ phương trình trên rút ra y ta có y=( -2)/2x ( x ≠ 0) ⟹ y’= [(2x.2x-2( )]/4 = 1/x [( 2 )/2x]=(x-y)/x

2) Hàm ẩn được xác định từ phương trình tham số

Cho phương trình tham số { ( )

Nhưng không phải bao giờ cũng làm được như vậy ! Nếu từ phương trình tham số có thể tìm được y theo x ( hay x theo y) thì mới có thể tính được y’(x) ( hoặc x’(y) ) như trên

8 Đạo hàm theo hướng

1) Định nghĩa : Cho hàm số f(x,y) , vector ⃗⃗ với và là các vector đơn vị trên 2 trục

tọa độ Đạo hàm của hàm số f(x,y) theo hướng ⃗⃗ tại ( ) được ký hiệu là ⃗⃗ ( ) (

Vector chỉ hướng ⃗⃗ thường được viết dưới dạng :

⃗⃗ ( cos α và cos β được gọi là các cosin chỉ hướng )

Ví dụ : Tính đạo hàm của theo hướng ⃗⃗

√

√ tại (2,3)

Ta có ( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( ) Vậy :

⃗⃗ ( ) √ √ √

2 Cực trị tự do của hàm nhiều biến

Tìm cực trị của hàm ( )

B1 Tìm các điểm dừng bằng cách giải hệ : {

B2 Tính các đạo hàm cấp 2 tại mỗi điểm dừng ( )

Nếu dạng toàn phương ( ) xác định dương thì là điểm cực tiểu

Nếu dạng toàn phương ( ) xác định âm thì là điểm cực đại

Nếu dạng toàn phương ( ) không xác định dấu thì không là điểm cực trị

Hoặc có thể dựa vào định lý Sylvester để xét , như sau :

Lập ma-trận ( ) với ( ) và xét dấu các định thức con chính của A

Nếu ( nghĩa là dạng toàn phương xác định dương ) thì là cực tiểu Nếu ( ) ( nghĩa là dạng toàn phương xác định âm ) thì là cực đại

Nếu không thế mà thì không là cực trị

3 Cực tri có điều kiện của hàm 2 biến

Tìm cực trị của hàm số u = f(x,y) với điều kiện φ(x,y)=0 1) Phương pháp 1 “thay thế”

Khi có thể biến đổi : φ(x,y)=0 ⟺ y=θ(x) (hoặc x = θ(y)) thì ta thay y=θ(x) vào f(x,y) và

tìm cực trị của hàm 1 biến ( đã biết )

Ví dụ : 2) Phương pháp nhân tử Lagrange

Đặt L(x,y) = f(x,y) + .φ(x,y) với là số thực nào đó ( được gọi là nhân tử Lagrange)

B1 Giải hệ sau để tìm điểm dừng và giá trị tương ứng của λ : {

Giả sử ( ) là điểm dừng ứng với

B2 Tính vi phân toàn phần cấp 2 của L(x,y) tại ( nó là một dạng toàn phương của

Ví dụ 1 :

Tìm cực trị của hàm số f(x,y) = với điều kiện

Ví dụ 2 :

Tìm cực tri của hàm số f(x,y) = với điều kiện

3) Giá trị lớn nhất và bé nhất trên một miền đóng D

2 Tìm cực trị có điều kiện của hàm số :

với điều kiện :

3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

Có thể hiểu tọa độ cầu là tọa độ trong không gian Nó dựa vào tọa độ vuông góc để xác định

Cho hệ tọa độ Đề-các trong không gian Oxyz Khi đó tọa độ cầu của một điểm M trong không gian gồm bộ 3 số ( r, , ) trong đó | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | , θ là góc có hướng (Oz , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) , còn là góc có hướng (nằm

trong mặt phẳng Oxy hợp bởi Ox và véc-tơ hình chiếu của ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ lên mặt phẳng Oxy

Vì | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | nên √

…

Vậy nếu biết tọa độ Đề các (x,y,z) của điểm M thì tọa độ cầu của M được xác định bởi :

( ){

√ ( ) (

√ )trong đó atan2(y,x) là một biến thể của hàm arctan trả ra góc tính từ trục x của vectơ (x,y) trong toàn miền

(Ta không thể dùng hàm arctan thông thường, , vì nó sẽ trả ra cùng một góc cho