Bài giảng toán cao cấp 2 (phần giải tích) bài 1 nguyễn phương

Từ hàm thường được sử dụng khi đàm luận về tác động liên đới, như đượcthấy trong các câu phản hồi sau đây khi tìm kiếm trên Google cụm từ "làhàm của":"Hiểu biết là một hàm của kinh nghiệ

Nguyễn Phương

Bộ môn Toán kinh tế

Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com

Ngày 7 tháng 2 năm 2023

1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ 3

Từ hàm thường được sử dụng khi đàm luận về tác động liên đới, như đượcthấy trong các câu phản hồi sau đây khi tìm kiếm trên Google cụm từ "làhàm của":

"Hiểu biết là một hàm của kinh nghiệm."

"Dân số loài người là một hàm của lượng cung thực phẩm."

"Tự do là một hàm của trạng thái kinh tế của một quốc gia."

Điểm chung của các phát biểu trên là một đại lượng hay đặc tính nào đó(hiểu biết, dân số, tự do) phụ thuộc vào một đại lượng khác (kinh nghiệm,lượng cung thực phẩm, trạng thái kinh tế của một quốc gia) Đây chính làbản chất của khái niệm hàm trong toán học

Nói một cách đơn giản, một hàm gồm có hai tập hợp và một quy tắc liên kết

Định nghĩa 1.1.Một ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu

f : X → Y ) là một phép tương ứng liên kết với mỗi phần tử x ∈ X với một phần tử duy nhất y ∈ Y , phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu

1 Xđược gọi là tập hợp nguồn

2 Y được gọi là tập hợp đích

3 y được gọi là ảnh của x qua f

Với mỗi y ∈ Y , tập con của X gồm các phần tử có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là ảnh ngược (tạo ảnh) của phần tử y qua f , ký hiệu là

f−1(y)

f−1(y) = {x ∈ X|f (x) = y}

Với mỗi tập con A ⊂ X, tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của

x ∈ A qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A ký hiệu là f (A)

f (A) = {f (x)|x ∈ A}

Với mỗi tập con B ⊂ Y , tập con của X gồm các phần tử x có ảnh

f (x) ∈ B được gọi là ảnh ngược (tạo ảnh) của tập B ký hiệu là f−1(B)

f−1(B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B}

Ví dụ 1.1.Cho hàm số f (x) = x3+ x2 Tìm f (1), f (−1), f (a), f (a − 1).

Ví dụ 1.2.- Hàm cung: Q S = f (P ) = cP + d

- Hàm cầu: Q D = f (P ) = aP + b

Hình:Các cách hiểu về hàm số

Ví dụ 2.1.Xét hàm số f (x) = x2− x + 2 và cho giá trị của x gần 2.

Định nghĩa 2.1.Nếu f (x) ngày càng gần tới số L khi x ngày càng gần a từ cả

hai phía thì số L được gọi là giới hạn của hàm f (x) khi x tiến gần đến a

(nhưng không bằng a) Ký hiệu

lim

x→a f (x) = L,

Nếu không có số L như vậy, ta nói rằng giới hạn của f (x) khi x tiến về a là

không tồn tại

Định nghĩa 2.2.Cho y = f (x) và L, a là hai số thực L là giới hạn của hàm

y = f (x) khi x tiến về a, ký hiệu

lim

x→a f (x) = L,

nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho

0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| ≤ ϵ.

x→−25 − 3 lim

x→−2 x

=(−2)

3+ 2(−2)2− 1

5 − 3(−2) = −

111

Định lý 2.1.Nếu f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) với mọi x và lim

Ví dụ 2.3.Chứng minh rằng

lim

x→0 x2sin 1

x = 0.

Định nghĩa 2.3.Nếu f (x) tiến gần đến L khi x tiến gần đến a từ bên trái (khi

Định nghĩa 2.4.Nếu các giá trị của hàm số f (x) tiến gần đến số L khi x tăng

Định nghĩa 2.5.Nếu f (x) tăng không bị chặn khi x → a ta viết

Một vài dạng vô định thường gặp

α(x) = 1

Theo từ điển, liên tục là một "sự nối tiếp không bị gián đoạn hay không

bị ngắt quãng"

Theo cách nói thông thường, hàm liên tục là hàm có đồ thị được vẽ màkhông nhấc bút lên khỏi mặt giấy, nghĩa là một đường cong liền nét

Định nghĩa 3.1.Hàm f (x) được gọi là liên tục tại a nếu

lim

x→a f (x) = f (a).

Nếu f (x) không liên tục tại a thì hàm số được gọi là gián đoạn tại a.

gián đoạn tại −1 và liên tục tại 1.

Ví dụ 3.5.Tìm tất cả các giá trị của m sao cho

Ví dụ 4.1 Nghiên cứu thực nghiệm một đoàn tàu cao tốc chạy trên đườngray thẳng Bằng dữ liệu thu thập thực tế, thì kỹ sư đã xác được quãng

đường (đơn vị là feet) di chuyển của đoàn tàu từ điểm gốc tại thời điểm t

(đơn vị là giây) được xác định bởi công thức sau:

s = f (t) = 4t2, t ∈ [0, 30],

trong đó f là quy tắc xác định vị trí của đoàn tàu.

➤Trong khoảng thời gian t = 0, 1, 2, , 10 thì vị trí của đoàn tàu so với điểm gốc là f (0) = 0, f (1) = 4, f (2) = 16, f (3) = 36, , f (10) = 400

➤Bây giờ, giả sử chúng ta muốn tính vận tốc của đoàn tàu tại thời điểm

t = 2? Nếu đoàn tàu di chuyển thằng đều, tốc độ và chiều chuyển động

không thay đổi theo thời gian thì ta có vận tốc là v = s

t

➤Trong thực tế, đoàn tàu di chuyển với tốc độ thay đổi theo thời gian t Nên việc xác định vẫn tốc của đoàn tàu tại một thời điểm t là rất khó khăn,

kể cả dựa vào phương trình quãng đường trên

➤Nhưng dựa vào phương trình s = f (t) = 4t2, t ∈ [0, 30]ta có thể tínhđược vị trí của đoàn tàu tại bất kỳ thời điểm nào Vì vậy, ta có thể tính vận

tốc trung bình của đoàn tàu Chẳng hạn trong khoảng thời gian [2, 4] được

tính như sau:

Quãng đường đi được

Thời gian đi =

➤Ta thấy rằng, vận tốc trên không phải là vận tốc của đoàn tàu tại thời

điểm t = 2, nhưng nó cho ta thấy vận tốc gần đúng của đoàn tàu tại gần thời điểm t = 2.

➤Nếu ta quan sát vận tốc trung bình của đoàn tàu trong khoảng thời gian

f (t) "gần" 16 Nói cách khác, hàm số f (t) có "giới hạn" bằng 16 khi t tiến gần

➤Trong trường hợp tổng quát, vận tốc trung bình của đoàn tàu trong

khoảng thời [t, t + h] được tính như sau:

Vận tốc TB =Quãng đường đi

Thời gian đi =

f (t + h) − f (t)

Mặc khác, nếu ta cho h tiến gần về 0 thì ta có vận tốc tức thời của đoàn tàu tại thời điểm t được tính như sau:

➤Cho hàm số y = f (x) Nếu x thay đổi từ x0 đến x0 + h, h > 0, thì số gia (biến số) ∆x của x (lượng thay đổi của x từ x0 đến x) được tính như sau:

Định nghĩa 4.1.Đạo hàm của hàm f tại điểm x, ký hiệu f′(x), là

f′(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x) h

nếu giới hạn trên tồn tại

Ký hiệu đạo hàm thường gặp

Định nghĩa 4.2.Đạo hàm bên trái của hàm số f tại điểm x0, ký hiệu f−(x0),

được định nghĩa như sau:

nếu các giới hạn tồn tại

Định nghĩa 4.3.Đạo hàm bên phải của hàm số f tại điểm x0, ký hiệu f′

Ví dụ 4.4.Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0, biết

Định lý 4.2.Hàm số f (x) có đạo hàm tại x thì f liên tục tại x

Ngược lại, chưa chắc đúng.➤Ta xét f (x) = |x| Rõ ràng f (x) liên tục tại

x = 0 , nhưng f (x) không có đạo hàm tại x = 0.

1 Hàm số f (x) có đạo hàm trái tại x thì f liên tục trái tại x.

2 Hàm số f (x) có đạo hàm phải tại x thì f liên tục phải tại x.

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp

5 Cho y = f (u), u = u(x) và tồn tại u′(x), y′(u) , khi đó y x′ = f u′(u).u′x.

Ví dụ 4.7.Tính đạo hàm của các hàm số sau:

6) (sin u)′ = cos u.u′

7) (cos u)′= − sin u.u′

Định lý 4.4.Giả sử f là một hàm số đơn điệu và f′(x0) ̸= 0 Khi đó,hàmngượcf−1khả vi tại y0 = f (x0) và f−1
′(y0) = 1

Trong các ứng dụng, đôi khi ta phải tính tốc độ thay đổi của một hàm

số, mà bản thân nó lại là tốc độ thay đổi Chẳng hạn, gia tốc của mộtchiếc ô tô là tốc độ thay đổi vận tốc của nó theo thời gian, trong khi vậntốc là tốc độ thay đổi của quãng đường xe đi được theo thời gian.Các phát biểu về tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi cũng được sử dụngkhá phổ biến trong kinh tế học Chẳng hạn, trong thời kỳ lạm phát, bạn

có thể thấy một chuyên gia kinh tế nói rằng, mức giá chung mặc dù vẫntăng, song tốc độ tăng của nó giảm dần Điều này ngụ ý rằng, mức giáchung hiện vẫn tăng lên, nhưng không tăng nhanh như thời gian trướcđó

Tốc độ thay đổi của hàm f (x) theo x là đạo hàm f′(x) Tương tự, tốc độ thay đổi của f′(x) theo x là đạo hàm (f′(x))′ Để đơn giản ký hiệu, ta

viết đạo hàm của đạo hàm của f (x) là f′′(x)và gọi đó là đạo hàm cấp

hai của f (x).

Định nghĩa 5.1.- Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại x thì ta nói f (x) có đạo hàm cấp 1 tại x Kí hiệu f′(x).

- Đạo hàm (nếu có) của đạo hàm cấp 1 được gọi là đạo hàm cấp 2 của f (x) tại x Kí hiệu f′′(x)

Đạo hàm cấp hai của một hàm số biểu thị tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số đó.

- Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1 của f (x) được gọi là đạo hàm cấp n của f (x) Kí hiệu f (n) (x)

Định nghĩa 6.2.Cho α(x), β(x) là hai VCB khi x → a Xét giới hạn

lim

x→a

α(x) β(x) = L.

i) Nếu L = 0, ta nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x) Kí hiêu:

Định lý 6.1.Giả sử khi x → a, ta có các cặp VCB tương đương

α(x) ∼ α∗(x); β(x) ∼ β∗(x)và nếu tồn tại lim

α∗(x)

β∗(x) .

Chú ý:

Khi x → 0, ta có các cặp VCB tương đương sau:

arcsin x ∼ x ln(1 + x) ∼ x a x − 1 ∼ x ln a

e x − 1 ∼ x; (1 + x) a ∼ 1 + ax, (a ̸= 0).

Định nghĩa 6.3.Hàm f được gọi là khả vi tại x ∈ I nếu và chỉ nếu tại x số gia ∆y có thể phân tích thành tổng của một đại lượng tỷ lệ với số gia ∆x và một đại lượng vô cùng bé bậc cao hơn so với ∆x khi ∆x → 0 Hơn nữa,

∆y = f (x + ∆x) − f (x) = A∆x + o(∆x), khi ∆x → 0.

với A là hằng số và o(∆x) là VCB cấp cao hơn ∆x khi ∆x → 0.

Khi đó, A∆x được gọi là vi phân của f tại x, ký hiệu dy(x) hoặc df (x)

Định lý 6.2.- Hàm số khả vi tại x0 khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm tại x0 Khi đó, A = f′(x0).

- Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì biểu thức vi phân của f (x) là

df = f′(x0)dx

Đặc biệt, nếu y = f (x) = x, thì dy = dx = f′(x)dx = ∆x, nên ta có thể viết

Định nghĩa 6.4 (Vi phân cấp cao) Vi phân cấp n của hàm số y = f (x) là vi phân của vi phân cấp n − 1 của f (x), kí hiệu là d n f (x).

Định lý 7.1 (Quy tắc L’Hospital) Cho các hàm số f (x) và g(x) có đạo hàm trong lân cận của điểm a và g′(a) ̸= 0 Nếu:

i) Giới hạn lim

x→a

f (x) g(x) có dạng vô định 0

Ví dụ 7.1.Tính giới hạn của các hàm số sau:

Các dạng vô định thường gặp (tiếp theo)

Ví dụ 7.2.Tính giới hạn của các hàm số sau:

Định nghĩa 7.1.Giả sử f có đạo hàm cấp n tại điểm c.

1 Đa thức Taylor bậc n của f tại c là

2+f

′′′(0)3! x

3+ · · · + f

(n)(0)

n! x

n

′′′(0)3! x

3+ · · · + f

n(0)

n! x

n

➣Sử dụng kết quả trên với n = 5, ta có

Định lý 7.2.Giả sử f có đạo hàm cấp n là f (n) liên tục trên I và f có đạo hàm cấp n + 1 trên khoảng I, c là một điểm nằm giữa I Thì với mỗi x ∈ I, tồn tại z x giữa x và c sao cho

Ví dụ 7.5.Xác định khai triển Maclaurin của hàm số f (x) = sin x.

f′′(0)2! x

2+f

′′′(0)3! x

7

7! + · · ·

∞

CÔNG THỨC MACLAURIN THƯỜNG GẶP

1) e x = 1 + x + x

2

2! +

x33! + · · · +

Ví dụ 7.6.Khai triển Taylor tới cấp n của các hàm số sau:

Định lý 7.3 (Điều kiện cần) Nếu hàm số f (x) không giảm trên (a; b) (không tăng trên (a; b)) và f (x) khả vi thì f′(x) ≥ 0 (f′(x) ≤ 0).

Định lý 7.4 (Điều kiện đủ) Cho hàm số f (x) khả vi trong khoảng (a; b) Nếu tại mọi x ∈ (a; b) mà đạo hàm:

f′(x) > 0 thì f (x) tăng trong (a; b)

f′(x) < 0 thì f (x) giảm trong (a; b)

f′(x) = 0 thì f (x) là hàm hằng trong (a; b)

Định nghĩa 7.2.Cho x0 thuộc miền xác định D của y = f (x) Ta nói

1 f (x) đạt cực tiểu (địa phương) tại x0 nếu tồn tại lân cận V sao cho

f (x) > f (x0) ∀x ∈ V \{x0}

2 f (x) đạt cực đại (địa phương) tại x0 nếu tồn tại lân cận V sao cho

f (x) < f (x0) ∀x ∈ V \{x0}

Định nghĩa 7.3.Cho x0 thuộc miền xác định D của y = f (x) Ta nói

1 f (x) đạt cực tiểu toàn cục (giá trị nhỏ nhất) tại x0nếu

f (x) ≥ f (x0) ∀x ∈ D

2 f (x) đạt cực đại toàn cục (giá trị lớn nhất) tại x0nếu

0 1 2 3 4 5 6 7 8 91

2

3

y = f (x)

cực tiểuđịa phương

cực đại địa phương

cực tiểu địa phương/toàn cục

Định lý 7.5 (Định lí Fermat - Điều kiện cần của cực trị) Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) Nếu f (x) đạt cực trị tại x0 ∈ (a; b) và có đạo hàm tại x0 thì f′(x0) = 0.

Định nghĩa 7.4.Điểm tới hạn của hàm số là các điểm thuộc một trong hailoại sau:

i) Điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 (gọi là điểm dừng)

ii) Điểm mà tại đó hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

Ví dụ 7.9.Tìm điểm tới hạn của các hàm số

a) y =√3

x2

b) y = xq3

(x − 1)2

Định lý 7.6 (Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm bậc nhất) Giả sử x0là

điểm tới hạn của hàm số f (x) và hàm số có đạo hàm trong khoảng

Định lý 7.7.Cho hàm số y = f (x) khả vi cấp n tại các điểm gần x0và thoả

mãn f′(x0) = f′′(x0) = = f (n−1) (x0) = 0 và f (n) (x0) ̸= 0 Khi đó,

1 Nếu n chẵn và f (n) (x0) > 0 thì f (x) đạt cực tiểu địa phương tại x0.

2 Nếu n chẵn và f (n) (x0) < 0 thì f (x) đạt cực đại địa phương tại x0.

3 Nếu n lẻ thì f (x) không đạt cực trị địa phương tại x0.

Ví dụ 7.11.Tìm cực trị của hàm số f (x) = x3− 3x2+ 1(nếu có)

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên miền [a, b]

1 Kiểm tra tính liên tục của hàm f (x) trên [a, b].

2 Giả sử x1 , , x n ∈ [a, b] là nghiệm của f′(x) = 0.

1 Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x (trong khoảng từ x0đến

Ví dụ 8.1.Tìm tốc độ thay đổi của hàm y = x2theo x và ước lượng nó khi

x = 2 và x = −1 Hãy giải thích kết quả nhận được.

Ví dụ 8.2.Hàm cầu của một loại sản phẩm là P = 50 − Q2 Tìm tốc độ thay

đổi giá với mỗi đơn vị sản phẩm Q Giá sẽ tăng như thế nào tại Q = 3 Giả

sử P được tính bằng đô la ($).

Độ thay đổi tuyệt đối, độ thay đổi tương đối

1 Độ thay đổi tuyệt đối:Khi đại lượng x tăng lên ∆x đơn vị thì ∆x được gọi là độ thay đổi tuyệt đối của x.

Đô thay đổi tuyệt đối của x phụ thuộc vào đơn vị đo của x và mang ý nghĩa khác nhau tùy theo biến x.

2 Độ thay đổi tương đối:Tỉ số ∆x

x tính bằng % được gọi là độ thay đổi

tương đối của đại lượng x.

Độ thay đổi tương đối không phụ thuộc vào đơn vị đo

Ví dụ 8.3.Giá một căn nhà là 500 triệu đồng, hiện nay giá nhà tăng lên 600triệu đồng

1 ∆x = 600 − 500 = 100triệu đồng ←− độ thay đổi tuyệt đối

Định nghĩa 8.1.Cho hàm số y = f (x) Giá trị biên tế của y theo x tại x0 ,kí

hiệu là M x y(x0), là lượng thay đổi tuyệt đối của biến phụ thuộc y khi biến

độc lập x thay đổi 1 đơn vị.

∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) ≈ f′(x0)∆x khi ∆x rất nhỏ, ∆y chỉ lượng thay đổi tuyệt đối của y, ∆x chỉ lượng thay đổi tuyệt đối của x.

Khi ∆ = 1, giá trị biên tế được tính xấp xĩ là đạo hàm của y theo x, tức là

M x y(x0) ≈ f′(x0)

lượng đo sự thay đổi của sản lượng khi lao động hay vốn tăng thêm 1 đơnvị.

Ví dụ 8.4.Hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = f (L) = 5√L Tìm

Định nghĩa 8.3.Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu là M C(Q), là đại

lượng đo sự thay đổi của chi phí C khi Q tăng thêm 1 đơn vị.

Ví dụ 8.5.Hàm chi phí sản xuất của một sản phẩm là

Định nghĩa 8.4.Doanh thu biên (Marginal Revenue), kí hiệu là M R, là đại

lượng đo sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị

Ví dụ 8.6.Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là Q = 1000 − 14P Tìm

Ví dụ 8.7.Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có

được như sau:

Định nghĩa 8.6.Cho hàm số y = f (x) Hệ số co dãn của y theo x, kí hiệu là

ε yx, là

ε yx= ∆y/y

∆x/x trong đó ∆y/y chỉ lượng thay đổi tương đối của y, ∆x/x chỉ lượng thay đổi tương đối của x.

Ý nghĩa:

Hệ số co dãn cho biết lượng thay đổi tương đối (%) của y khi x thay đổi 1%.

Khi ∆x rất nhỏ (∆x → 0), giá trị biên tế được tính xấp xĩ là đạo hàm của y theo x, tức là

dy/y x

Định nghĩa 8.7.Độ co dãn của cầu theo giá, kí hiệu là ED, là đại lượng đo

sự thay đổi tương đối (%) của lượng cầu khi giá tăng 1%

E D=% lượng thay đổi của lượng cầu

% lượng thay đổi của giá =

Trong trường hợp hàm cầu, Q D = f (P ) = aP + b với a < 0, b > 0, thì

sự thay đổi tương đối (%) của lượng cung khi giá tăng 1%.

E S = % lượng thay đổi của lượng cung

% lượng thay đổi của giá =

Trong trường hợp hàm cầu, Q S = f (P ) = cP + d với c > 0, d > 0, thì

E S = c P

Q S

Ví dụ 8.9.Hàm cung của một sản phẩm là Q S = f (P ) = 100P − 5.

Các bài toán trong kinh tế thường với mục đích tối ưu hóa một hàm mục

tiêu y = f (x), tức là chọn x để y đạt giá trị lớn nhất hoặc đạt giá trị nhỏ nhất.

Lợi nhuận tối đa.Lợi nhuận π = T R − T C đạt giá trị cực đại.

Ví dụ 8.10.Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có

được như sau:

- Hàm cầu là P = 600 − 2Q.

- Hàm chi phí là T C = 0, 2Q2+ 28Q + 200.

a) Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, khi ấy giá

bán và lợi nhuận đạt được là bao nhiêu?

b) Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ thì

sản lượng và giá bán là bao nhiêu để công ty đạt lợi nhuận tối đa? Khi

ấy lợi nhuận là bao nhiêu?