TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP THỐNG KÊ FULL ĐÁP ÁN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Độc lập Tự do Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC Môn thi TOÁN CAO CẤP THỐNG KÊ Thời gian làm bài 180 phút Câu 1 Một k[.]

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC

Môn thi: TOÁN CAO CẤP THỐNG KÊ

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1: Một kĩ sư nông nghiệp có 8 hạt đậu trong đó có 4 hạt loại 1, 4 hạt loại 2, biết rằng hôm

qua người đó đã gieo đi 2 hạt, Hôm nay người đó lại lấy tiếp 2 hạt để gieo

1.1 Hãy tính xác suất để 2 hạt đậu lấy được hôm nay là 2 hạt loại 1

1.2 Giả sử hôm nay người đó lấy được 2 hạt loại 1, tính xác suất để hôm qua người đó đã

gieo 2 hạt đậu loại 2

Câu 2: Một viện nghiên cứu về Công nghệ sinh học có 3 phòng thí nghiệm như nhau, xác suất

thực hiện thành công 1 thí nghiệm của các phòng lần lượt là 0.6, 0.7 và 0.8 Một thực tập sinh chọn 1 phòng thí nghiệm bất kỳ và tiến hành 3 thí nghiệm độc lập về gien ung thư

2.1 Hãy tính xác suất để trong 3 thí nghiệm đó có 2 thí nghiệm thành công

2.2 Gọi X là số thí nghiệm thành công trong 3 thí nghiệm Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, tính kì vọng và phương sai

Câu 3: Để điều tra về năng suất của một giống đậu Hà lan, người ta tiến hành điều tra năng suất

trên 100 mảnh ruộng của một cơ sở gieo trồng tại Việt Nam Kết quả được cho bởi bảng số liệu sau đây:

Năng suất (tạ/ha) 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50

Số mảnh 5 10 17 25 20 10 8 5 3.1 Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng năng suất trung bình của giống đậu Hà lan trên bằng khoảng tin cậy đối xứng

3.2 Cho biết năng suất tối đa của giống đậu trên

3.3 Theo số liệu công bố thì trồng tại Hà lan, giống đậu trên có năng suất là 32.5 tạ/ha Theo Anh (chị) thì năng suất của giống đậu này trồng tại cơ sở gieo trồng tại Việt Nam có giảm đi không? Cho biết t0.95 =1.96, t0.975 =1.645

Câu 4: Trong 1 phòng thí nghiệm, người ta tiến hành nghiên cứu tác dụng của 1 loại thuốc độc

với một loại gia súc bằng cách tiêm liều độc và theo rõi thời gian sống của lần lượt 9 con gia súc cùng loại, kết quả như sau:

X-Liều độc(mg) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Y- Thời gian sống(giờ) 22 17 15 12 7 5 3 2 1 4.1 Hãy xác định mối tương quan giữa liều độc và thời gian sống của gia súc

4.2 Xác định phương trình đường thẳng hồi quy mô tả mối tương quan giữa thời gian sống và liều độc

4.3 Nếu tiêm liều độc là 5.5 mg thì theo Anh (chị) sau bao lâu gia súc sẽ chết?

Ghi chú: + Đề thi không được tham khảo tài liệu

+ Cán bộ coi thi không được giải thích thêm

Trang 2

ĐÁP ÁN MÔN THI: TOÁN CAO CẤP THỐNG KÊ Câu số 1

Đặt A0 là biến cố 0 hạt loại 1, 2 hạt loại 2 : ( 0) 2 286

8

2 4

0

=

C

C C A

8

1 4

1

4 =

=

C

C C A

8

0 4

2

4 =

=

C

C C A

Hệ A0, A1, A2 là hệ đầy đủ

1.1 Đặt B là biến cố 2 hạt hôm nay là loại 1, áp dụng công thức xác suất toàn phần

) 2 / ( ) 2 ( ) 1 / ( ) 1 ( ) 0 / ( ) 0 (

)

15

1 )

2 / (

; 15

8 )

1 / (

; 15

6 )

0

/

6

2 2

0 4 2

6

1 2

1 4 2

6

0 2

2

=

C

C C A B p C

C C

A

B

p

15

1 28

6 15

8 28

16 15

6 28

6 )

p

1.2 Áp dụng công thức Bayes

p A p B A

p A B

p B



 

Câu 2

Đặt A1 là biến cố chọn phòng thí nghiệm 1

1 ( 1) ( 2) ( 3)

3

P A = p A = p A = , Hệ A1,A2,A3 là hệ đầy đủ

Đặt B0 là biến cố 0 thí nghiệm thành công, áp dụng công thức toàn phần

( 0) ( 1) ( 0 / 1) ( 2) ( 0 / 2) ( 2) ( 0 / 3)

p B = p A p B A +p A p B A + p A p B A

0 0 3 0 0 3 0 0 3

1

( 0.6 0.4 0.7 0.3 0.8 0.2 )

Đặt B1 là biến cố 1 thí nghiệm thành công

1 1 2 1 1 2 1 1 2

1

( 1) ( 0.6 0.4 0.7 0.3 0.8 0.2 )

3

Trang 3

2 2 1 2 2 1 2 2 1

1

( 2) ( 0.6 0.4 0.7 0.3 0.8 0.2 )

3

3 3 0 3 3 0 3 3 0

1

( 3) ( 0.6 0.4 0.7 0.3 0.8 0.2 )

3

2.1 Xác suất để trong 3 thí nghiệm đó có 2 thí nghiệm

thành công bằng 0.419

2.2 X nhận giá trị X=0, 1, 2, 3

Bảng phân phối xác suất

pk 0.033 0.191 0.419 0.357

Phương sai D(X) = 0.67

Câu số 3

Lập bảng tính toán

; 758257

8 '

; 1

X

3.1 Khoảng tin cậy đối xứng ( ' )

n

S t

X   với t = 1 96

Từ đó khoảng tin cậy đối xứng là khoảng (27.38338;3081662)

3.2 Năng suất tối đa của giống đậu trên là cận phải của khoảng tin cậy với t =1.645

Từ đó suy ra Năng suất tối đa của giống đậu trên là 30.54 tạ/ha

3.3 Đặt mệnh đề H0: Năng suất không thay đổi

H1: Năng suất giảm

Trường hợp kiểm định 1 phía

Tính

n S

X T

/ '



−

10 / 758257

8

5 32 1 29

=

−

Trang 4

Kết luận mệnh đề H1 là mệnh đề đúng tức là khẳng định giống đậu hà lan khi gieo trồng tại Việt Nam có năng suất giảm

Câu số 4:

9

1 2 9

1

9

1

9

1

=



=

i i

i i i i

i i

x

i

) ( ) ( ) ,

Y D X D

Y X XY Y

x R

Kết luận X và Y là 2 đại lượng tương quan nghịch biến với mức độ tương quan chặt

4.2 Phương trình đường thẳng hồi quy có dạng Y=AX+B trong đó

6666 22

; 66667 2 )

X D

Y X XY

A

Vậy phương trình đường thẳng hồi quy là Y=

-2.66667X+22.6666

4.3 Nếu tiêm liều độc là 5.5mg thì sau 7.9999 giờ gia súc sẽ chết

Ghi chú:

+ Nếu học viên viết đúng công thức, tính toán sai trừ 25% tổng số điểm từng câu

+ Các kết quả tính toán cuối cùng làm tròn đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy

Trang 5

Câu 1: Sinh học phân các trường hợp trẻ sinh đôi thành hai loại: sinh đôi thật tức là hai đứa trẻ

do cùng 1 trứng sinh ra và sinh đôi giả là hai đứa trẻ do 2 trứng sinh ra Biết rằng nếu là sinh đôi thật thì hai đứa trẻ luôn cùng giới tính còn sinh đôi giả thì tỷ lệ cùng giới là 50% Ngẫu nhiên gặp hai đứa trẻ sinh đôi cùng giới tính, hãy tính xác suất để hai đứa trẻ do 2 trứng sinh ra biết rằng theo thống kê trên thế giới trong các trường hợp sinh đôi thì tỷ lệ sinh đôi thật chiếm 80%

Câu 2: Để tuyển chọn sinh viên đi du học tại nước ngoài, các thí sinh phải trải qua 5 vòng kiểm

tra độc lập về trình độ ngoại ngữ Biết rằng xác suất để thí sinh vượt qua được 1 vòng độc lập đều

là 80% và nếu không vượt qua được trực tiếp 1 vòng nào đó thì bắt buộc phải kiểm tra lại Chọn một thí sinh bất kỳ và cho tiến hành kiểm tra, tính xác suất để sinh viên đó vượt qua được cả 5 vòng trong đó không có vòng nào bị kiểm tra quá hai lần

Câu 3: Một nhân viên phòng thí nghiệm phải tiến hành 3 thí nghiệm độc lập, biết rằng xác suất

thực hiện thành công thí nghiệm thứ nhất là 0.7, thí nghiệm thứ hai là 0.8 và thí nghiệm thứ ba là 0.9 Gọi X là biến ngẫu nhiên đặc trưng cho số lần thực hiện thành công các thí nghiệm

a Hãy lập bảng phân phối xác suất của X

b Tính kỳ vọng, phương sai và vẽ đồ thị hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

Câu 4: Để xác định tỷ lệ nhiễm virus H5N1 của gà tại một địa phương vào thời điểm tháng 4/2008, người ta tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 500 con gà tại địa phương và thấy có 50 con bị nhiễm virus H5N1 Với độ tin cậy 95%

a Hãy ước lượng tỉ lệ số gà bị nhiễm virus H5N1 bằng khoảng tin cậy đối xứng

b Giả sử số gà tại địa phương trên là 10.000 con Hãy cho biết tại thời điểm tháng 4/2008, tại địa phương trên có khoảng bao nhiêu con gà bị nhiễm virus H5N1

c Theo số liệu tháng 11/2007 thì tỉ lệ nhiễm virus H5N1 là 12% Theo Anh (chị) thì tỷ lệ này vào tháng 4/2008 có giảm đi không?

Cho biết t0.95 =1.96, t0.975 =1.645

Câu 5: Để nghiên cứu về lượng Protêin chứa trong hạt lúa mỳ với năng suất lúa, người ta tiến

hành điều tra trên 10 thửa ruộng và được kết quả như sau:

Năng suất (xi) 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5

Tỷ lệ Prôtein (yi) 10.0 10.2 11.0 10.5 12.0 12.2 12.5 12.6 12.7 12.8

a Hãy xác định mối tương quan giữa hai đại lượng X và Y

b Xác định phương trình đường thẳng hồi quy mô tả mối tương quan giữa Y theo X

c Xác định gần đúng giá trị Y(14.0)

Trang 6

Đặt A1 là biến cố sinh đôi thật, p(A1)=0.8

Đặt A2 là biến cố sinh đôi giả, p(A2)=0.2 Hệ A1,A2 là

hệ đầy đủ

Đặt B là biến cố 2 trẻ sinh đôi cùng giới tính Áp dụng công thức Bayes

p(A2)p(B/A2)]

= 0.20.5/(0.81+0.20.5)=0.111

Câu số 2

Đặt Ak là biến cố thí sinh phải kiểm tra lại k vòng ,

5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 , 8 0 2

0

)

( = 5 5− =

k C

A

Hệ {Ak} là hệ đầy đủ Đặt B là biến cố thí sinh không kiểm tra lại quá 2 lần mỗi vòng

Áp dụng công thức xác suất toàn phần



=

−

=

0 5 5 5

0

5 5

5

0

2 0 8

0 8 0 8 0 2 0 )

/ ( ) ( )

(

k

k k k

k k k k k

k

A p B

p

Câu số 3

Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị 0,1,2,3

p(X=0)=0.30.20.1=0.006

p(X=1)= 0.70.20.1+0.30.80.1+0.30.20.9=0.092

p(X=2)= 0.70.80.1+0.70.20.9+0.30.80.9=0.398

p(X=3)= 0.70.80.9=0.504

a Bảng phân phối xác suất

b Kỳ vọng E(X) = 10.092+20.398+30.504

Trang 7

Phương sai D(X) =

10.092+40.398+90.504-2.4062.406 = 0.449

c Hàm phân phối xác suất và đồ thị





























=

3 1

, 3 2

496 0

, 2 1

098 0

, 1 0

006 0

, 0 0

)

(

x x x x x

x

F

Câu số 4

Theo giả thiết ta có m=50, n=500, W=m/n=0.1

a Khoảng tin cậy đối xứng của tỷ lệ là khoảng













n

W W t

W  (1 ) với t =1.96

Vậy khoảng tin cậy của tỷ lệ gà nhiễm virus là khoảng (0.073704-0.126296)

b Số gà bị nhiễm virus tại địa phương từ 0.07370410.000đến 0.12629610.000con

Tức là từ 737 con đến 1263 con

c Theo giả thiết p=0.12, q=1-p=0.88, W=0.1

Đặt mệnh đề H0: tỷ lệ gà nhiễm virus tại thời điểm 4/2008 so với 11/2007 không thay đổi

H1: Tỷ lệ gà nhiễm virus tại thời điểm tháng 4/2008 có giảm đi

Trường hợp kiểm định 1 phía

500

88 0 12 0

12 0 1



−

=

−

=

n pq

p W



Vì  =1.376t =1.645

Trang 8

Kết luận mệnh đề H0 là mệnh đề đúng tức là tỷ lệ gà nhiễm virus H5N1 chưa có xu hướng giảm

Câu số 5:

Lập bảng tính toán

35 1335

; 27 1390

; 25 1286

; 5 117

;

5

112

10

1 10

1 2 10

1 10

1



=

i i i i

i i

x

95539 0 )

,

(

10

1

2 10

1 10 1 2 10

1

2 10

1 10 1 2

10

1 10

1

10 1

=

























−

























−

=



=

i i

i i i

i i

y y

x x

y x y

x Y

X

r

Kết luận X và Y là 2 đại lượng tương quan đồng biến với mức độ tương quan chặt

b Phương trình đường thẳng hồi quy có dạng Y=AX+B trong đó

4 4

; 65333 0

10

1 10 1 10

1

2 10

1 10 1 2

10

1 10

1

10 1

=



−

=













−



=

i i i

i

i i

i i i

i i

x A

y B

x x

y x y

x A

Vậy phương trình đường thẳng hồi quy là

Y=0.653X+4.4

c Giá trị Y(14.0)  0.653314+4.4=13.5462

Ghi chú:

1 Nếu học viên viết đúng công thức, tính toán sai trừ 50% tổng số điểm từng câu

2 Các kết quả tính toán cuối cùng làm tròn đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy

Trang 9

Câu 1: Một kĩ sư nông nghiệp có 1 hộp chứa 12 hạt giống cùng loại trong đó có 6 hạt giống loại

1 và 6 hạt giống loại 2, biết rằng hôm thứ nhất người đó đã gieo 2 hạt giống bất kỳ trong hộp Hôm thứ hai người đó tiếp tục lấy ra 3 hạt giống bất kỳ trong hộp

a Hãy tính xác suất để trong 3 hạt giống đó có ít nhất một hạt giống loại 1

b Giả sử 3 hạt giống đó đều là loại 1, hãy tính xác suất để hôm thứ nhất người đó đã gieo 2 hạt giống loại 2

Câu 2: Một người có 3 địa chỉ ưa thích như nhau để truy cập vào mạng Internet tra cứu thông tin,

xác suất truy cập thành công tại địa chỉ thứ nhất là 0.5, tại địa chỉ thứ hai là 0.6 và tại địa chỉ thứ

ba là 0.7 Một hôm người đó chọn một địa chỉ bất kỳ và truy cập vào mạng Internet

a Tính xác suất để người đó truy cập thành công

b Giả sử tại một địa chỉ bất kỳ, người đó truy cập liên tiếp 4 lần và có 2 lần thành công Tính xác suất để người đó đã truy cập tại địa chỉ thứ hai

Câu 3: Một đề thi trắc nghiệm công nghệ sinh học gồm 4 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời

trong đó chỉ có 1 phương án trả lời đúng Biết rằng nếu trả lời đúng 1 câu được 5 điểm, trả lời sai

bị trừ đi 2 điểm Một sinh viên làm bài bằng cách chọn hú họa các phương án trả lời, gọi X là số điểm đạt được

a Hãy lập bảng phân phối xác suất của X

b Tính kỳ vọng, phương sai và vẽ đồ thị hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

c Theo Anh (chị), nếu trả lời hú họa như vậy thì chắc chắn sẽ chỉ được bao nhiêu điểm?

Câu 4: Để xác định chiều cao trung bình của một giống cây trồng 1 tháng tuổi, người ta tiến hành

đo thử 100 cây trong vườn ươm, kết quả thu được cho bởi bảng số liệu sau đây:

Chiều cao (cm) 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

Số cây 2 6 12 20 30 15 10 2 2 1 Với độ tin cậy 95%

a Hãy ước lượng chiều cao trung bình của giống cây trên bằng khoảng tin cậy đối xứng

b Theo tiêu chuẩn quy định thì cây giống 1 tháng tuổi cần đạt chiều cao là 55cm Hãy cho biết các cây giống trong vườn ươm trên đã đạt tiêu chuẩn quy định không?

c Biết rằng số cây giống trong vườn ươm là 100.000 cây Hãy cho biết số cây tối thiểu trong vườn ươm có chiều cao dưới 55cm là bao nhiêu cây

Cho biết t0.95 =1.96, t0.975 =1.645

Câu 5: Để nghiên cứu mối quan hệ về trọng lượng (X) của cơ thể người và lượng huyết tương

trong máu (Y), bệnh viện Đa khoa tiến hành điều tra 10 người và thu được kết quả như sau: Trọng lượng(kg) 58.0 70.0 74.0 63.5 62.0 70.5 71.0 66.0 72.0 73.0 Huyết tương (lít) 2.75 2.90 3.20 2.76 2.61 3.0 2.90 2.78 3.10 3.30

a Hãy xác định mối tương quan giữa trọng lượng và huyết tương trong cơ thể người

b Xác định phương trình đường thẳng hồi quy mô tả mối tương quan giữa X theo Y

c Theo Anh (chị), nếu trọng lượng cơ thể tăng lên 1kg thì lượng huyết tương tăng lên bao nhiêu?

Trang 10

Đặt A0 là biến cố gieo đi 0 hạt giống loại 1, 2 loại 2,

22

5 )

0

12

2 6 0

=

C

C C

A

p

22

12 )

1

12

1 6 1

=

C

A

p

22

5 )

2

12

0 6 2

=

C

C C

A

p

Hệ A1, A2 là hệ đầy đủ

a Đặt B là biến cố lấy ra 3 hạt giống trong đó có ít nhất 1 hạt giống loại 1, Khi đó BP là biến cố 3 hạt giống loại 2

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

p(BP)=p(A0)p(BP/A0)+ p(A1)p(BP/A1)+ p(A2)p(BP/A2)

66

6 22

5 22

12 22

5

3 10

3 6 0 4 3

10

3 5 0 5 3

10

3 4 0



=

C

C C C

C

66 60

b Đặt C là biến cố 3 hạt giống loại 1, áp dụng công thức Bayes:

264 10 22

5 22

12 22

5

22

5 )

/

2

(

3 10

0 6 3 4 3

10

0 5 3 5 3

10

0 4 3 6

3 10

0 4 3 6

=



 +



 +



=

C

C C C

C C

C

C C C

A

p

Câu số 2

Đặt A1 là địa chỉ 1, A2 là địa chỉ 2, A3 là địa chỉ 3,

p(A1)= p(A2)= p(A3)=1/3

Hệ A1,A2,A3 là hệ đầy đủ

a Đặt B là biến cố truy nhập thành công Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

p(B)=p(A1) p(B/A1)+ p(A2) p(B/A2)+ p(A3)

p(B/A3)

=1/30.5+1/30.6+1/30.7=0.6

Tiêu đề	Tuyển Tập Đề Thi Toán Cao Cấp Thống Kê Full Đáp Án
Trường học	Trường Đại Học Thái Nguyên
Chuyên ngành	Toán cao cấp - Thống kê
Thể loại	Tài liệu luyện thi
Thành phố	Thái Nguyên

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	596,43 KB