Bài giảng Toán cao cấp 2 Trường Đại học Thương Mại

Bài giảng Toán cao cấp 2 Trường Đại học Thương MạiCHƯƠNG 1 HÀM NHIỀU BIẾN VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊI. Hàm 2 biến1. Định nghĩaVí dụ:2. Tập xác định của hàm 2 biếnĐịnh nghĩa: là tập hợp các điểm (x,y) sao cho hàm số cónghĩa.Ví dụ: Tìm tập xác định và biểu diễn hình học TXĐ củahàm số sauII. Đạo hàm riêng của hàm 2 biến1. ĐHR cấp 1: Nhận xét: trong thực hành, muốn tính ĐHR cấp 1 theo biến x thì coi y là hằng số và đạo hàm như đốivới hàm 1 biến. Tương tự, tính ĐHR theo y thì coi x là hằng số.2. ĐHR cấp 2:Nhận xét: f(x,y) là hàm 2 biến và các ĐHR cấp 1 của nócũng là những hàm 2 biến, Vì thế, chúng lại có thể có cácĐHR. Khi đó ta xác định các ĐHR cấp 2 của f như sau:III. Ứng dụng để tính gần đúng giá trị biểu thứcBài toán: Giả sử ta cần tính giá trị của hàm 2 biến f tạimột điểm (x,y) nhưng không tính đúng được. Ta lại biếtgiá trị của f tại điểm (x0,y0) rất gần (x,y). Khi đó ta cócông thức tính gần đúng sau:IV. Ứng dụng để tìm cực trị hàm 2 biến1. Cực trị tự doĐịnh nghĩa: Ta nói hàm

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2

CHƯƠNG 7

HÀM NHIỀU BIẾN VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

I Hàm 2 biến

1 Định nghĩa

Ví dụ:

II Đạo hàm riêng của hàm 2 biến

1 ĐHR cấp 1:

Nhận xét: trong thực hành, muốn tính ĐHR cấp 1

theo biến x thì coi y là hằng số và đạo hàm như đối với hàm 1 biến Tương tự, tính ĐHR theo y thì coi

x là hằng số

2 ĐHR cấp 2:

Nhận xét: f(x,y) là hàm 2 biến và các ĐHR cấp 1 của nó

cũng là những hàm 2 biến, Vì thế, chúng lại có thể có các ĐHR Khi đó ta xác định các ĐHR cấp 2 của f như sau:

III Ứng dụng để tính gần đúng giá trị biểu thức

Bài toán: Giả sử ta cần tính giá trị của hàm 2 biến f tại

một điểm (x,y) nhưng không tính đúng được Ta lại biếtgiá trị của f tại điểm (x0,y0) rất gần (x,y) Khi đó ta cócông thức tính gần đúng sau:

IV Ứng dụng để tìm cực trị hàm 2 biến

1 Cực trị tự do

Định nghĩa: Ta nói hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực đại (cực

tiểu) tại điểm 𝑀(𝑥0, 𝑦0) nếu tồn tại một lân cận của M sao cho trên đó hàm số luôn xác định và BĐT

𝑓 𝑥0, 𝑦0 ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦) (tương ứng 𝑓 𝑥0, 𝑦0 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦)) luôn thỏa mãn

Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị

a Điều kiện cần của cực trị

Định lý:Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực trị tại điểm

𝑀(𝑥0, 𝑦0) và tại đó có các ĐHR thì

𝑓𝑥

′ 𝑥0, 𝑦0 = 0

𝑓𝑦′ 𝑥0, 𝑦0 = 0

Mỗi điểm M thoả mãn hệ thức trên được gọi là

một điểm dừng (hay điểm tới hạn)

b Điều kiện đủ của cực trị

Định lý:Giả sử điểm 𝑀(𝑥0, 𝑦0) là một điểm dừng của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) và tại đó có các ĐHR cấp hai:

a Điều kiện cần của cực trị

Giả sử 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑔 𝑥, 𝑦 có các ĐHR liên tục trên 1 lân cận của 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) và 𝑔𝑥′ (𝑥0, 𝑦0) khác 0 hoặc 𝑔𝑦′ (𝑥0, 𝑦0) khác

b Điều kiện đủ của cực trị

Giả sử 𝑥0, 𝑦0, 𝜆0 là một điểm dừng của hàm Lagrang

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm

a 𝑍 = 𝑥 + 𝑦 với điều kiện 𝑥2 + 𝑦2 = 8

b 𝑍 = 𝑥3 + 𝑦3 − 3𝑥𝑦 với điều kiện 𝑥 + 𝑦 = 2

Chương 2: Phép tính tích phân

Nội dung

 Tích phân bất định

 Tích phân xác định

 Tích phân suy rộng

I TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1 Khái niệm

Định nghĩa 1: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 , xác định trên [a; b]

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên [a;b] nếu

𝑎 𝐹(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 (𝑎 ≠ 0)

4 Các phương pháp tính tích phân bất định

4.1 Phương pháp khai triển: Biến đổi biểu thức dưới dấu

tích phân đưa về các công thức tích phân đã có

Chú ý: Biểu thức biến đổi vi phân

4.2 Phương pháp đổi biến số

Xét tích phân ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

a) Đặt 𝑡 = 𝑢 𝑥 với 𝑢 𝑥 là một hàm khả vi Biến đổi 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 về dạng:

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑢)𝑑𝑢 Nếu ∫ 𝑔(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝐶 thì

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 𝑢 𝑥 + 𝐶

b) Đặt 𝑥 = 𝜑 𝑡 với 𝜑 𝑡 là một hàm khả vi, đơn điệu thì

dx=𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑡 𝜑′(𝑡)𝑑𝑡

Một vài nhận xét cho cả tích phân bất định và tích phân xác định

Ví dụ 2: Tính tích phân

𝐼1 = sin4 𝑥 cos3 𝑥 𝑑𝑥

𝐼2 = sin4 𝑥 𝑑𝑥

Tích phân hàm chứa căn thức

TH1: Tích phân chứa căn thức → đặt t bởi một căn thức thích hợp

Ngoài ra xét một số trường hợp sau

4.3 Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u(x), v(x) là các hàm khả vi, ta có

𝑑 𝑢𝑣 = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 Một số dạng tích phân tính bằng phương pháp tích phân từng phần

· Các tích phân

𝑒𝑎𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥𝑑𝑥; 𝑒𝑎𝑥 cos 𝑘𝑥𝑑𝑥 Đặt tùy ý nhưng phải tích phân từng phần ít nhất 2 lần liên tiếp.

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:

𝐼1 = 𝑥 arctan 𝑥 𝑑𝑥

𝐼2 = x sin2 𝑥 𝑑𝑥

𝐼3 = 𝑒−2𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

𝑎

3 Các phương pháp tính tích phân xác định

a Phương pháp đổi biến số

Tương ứng với 2 cách đổi biến 𝑥 = 𝜑 𝑡 và 𝑡 = 𝜑(𝑥) ta cũng có hai cách đổi biến trong tích phân xác định Tuy

nhiên chú ý đổi cận khi đổi biến trong tích phân xác định

𝜋 4 0

III TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Khi xét tích phân xác định, thì khoảng lấy tích phân là khoảng hữu hạn và f(x) liên tục trên khoảng đó Ta xét tích phân mở rộng trong hai trường hợp sau

 Khoảng lấy tích phân vô hạn

 Hàm f(x) có điểm gián đoạn vô cực tại một điểm trên đoạn lấy tích phân

1 Trường hợp khoảng lấy tích phân là vô hạn

1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1 Cho hàm f(x) xác định trên 𝑎, +∞ , khả

tích trên mọi đoạn [a, b] với 𝑎 < 𝑏 < +∞ Kí hiệu tích phân suy rộng của hàm f(x) trên 𝑎, +∞ là

 Nếu giới hạn trên là hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng

∫𝑎+∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 là hội tụ và giới hạn trên là giá trị của nó

 Ngược lại, nếu giới hạn trên là vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng ∫𝑎+∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 là phân kỳ

Ví dụ 1 Xét sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân

1

1.2 Các định lý so sánh

Định lý 1: Giả sử các hàm 𝑓 𝑥 , 𝑔(𝑥) khả tích trên mọi

đoạn 𝑎, 𝑏 , (𝑎 ≤ 𝑏) với b lớn tùy ý và

0 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 , ∀𝑥 ≥ 𝑎

Khi đó

Nếu ∫𝑎+∞ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 hội tụ thì ∫𝑎+∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 hội tụ

Nếu∫𝑎+∞ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 phân kỳ thì ∫𝑎+∞ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 phân kỳ

2 Trường hợp hàm số có điểm gián đoạn vô cực trên

đoạn lấy tích phân

 Nếu giới hạn trên là hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 là hội tụ và giới hạn trên là giá trị của nó

 Ngược lại, tích phân suy rộng ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 là phân kỳ

TH2: Tương tự, nếu hàm f(x) khả tích trên mọi đoạn [c, b], với a < c < b và f(x) gián đoạn vô cực bên phải tại a thì

Ví dụ 4 Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng

Giải:

𝐼2 = 𝑑𝑥

(2 − 𝑥) 1 − 𝑥

1 0

= lim

𝑎→1−

𝑑𝑥 (2 − 𝑥) 1 − 𝑥

= −2𝑑𝑡

(1 + 𝑡2)

1−𝑎 1

2

2.2 Công thức Newton –Lepnit suy rộng

Nếu hàm 𝑓(𝑥) có điểm gián đoạn vô cực tại 𝑥 = 𝑎 (hoặc

𝑥 = 𝑏) và nó có nguyên hàm 𝐹(𝑥)trên (𝑎, 𝑏] (hoặc [𝑎, 𝑏))

Nếu 𝐹(𝑥) là hàm liên tục trên đoạn [𝑎, 𝑏] thì tích phân suy rộng hội tụ và:

Ví dụ 5: Xét sự hội tụ, phân kỳ của TPSR

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2

CHƯƠNG 10

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

ĐẶT VẤN ĐỀ

Giải phương trình dao động điều hòa

trong vật lý:

I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Định nghĩa: Phương trình vi phân là phương trình liên

hệ giữa biến độc lập, hàm chưa biết và các đạo hàm

hoặc vi phân của nó

Ví dụ

2 CẤP CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

 Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân của hàm số có mặt trong phương trình ấy

 Phương trình vi phân cấp n là phương trình

có dạng

Trong đó, không được khuyết

NGHIỆM CỦA PTVP

Định nghĩa: Nghiệm của phương trình vi phân

cấp n là mọi hàm số khả vi đến cấp n mà khi thay vào phương trình đó ta được một đồng nhất thức

Nghiệm của phương trình vi phân là

với C là hằng số tùy ý

Ví dụ:

c Sự tồn tại duy nhất nghiệm

 Bài toán: Cho phương trình vi phân cấp

 Định lí:

 Nếu hàm f(x, y) liên tục trong một lân cận

của thì bài toán trên có nghiệm

 Nếu đạo hàm riêng cũng liên tục trên lân cận đó thì nghiệm đó là duy nhất

2 PTVP cấp 1 có biến phân ly

a Khái niệm: Phương trình vi phân cấp một

biến số phân li có dạng

(1)

Một số phương trình đưa được về dạng (1)

Ví dụ Giải các phương trình vi phân sau

b 𝑦2 + 1𝑑𝑥 = 𝑥𝑦𝑑𝑦 ; 𝑦 1 = 2

Giải

Nếu 𝑥 = 0 thay vào thỏa mãn là nghiệm

Nếu 𝑥 ≠ 0 thì chia 2 vế cho 𝑥 1 + 𝑦 2 ta có:

3 Phương trình đẳng cấp cấp 1

a Khái niệm: Phương trình vi phân

cấp một đẳng cấp là loại phương trình vi phân có thể đưa về được dạng sau:

Nhận xét:

- Phương trình vi phân dạng 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) với

f(tx, ty)=f(x, y), ∀𝑡 ≠ 0 có thể đưa về được dạng (1)

- Hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) được gọi là hàm đẳng cấp bậc 𝑚 nếu thỏa mãn

𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑚𝑓(𝑥, 𝑦)

Ví dụ: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 là hàm đẳng cấp bậc 2

- Phương trình 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 có thể đưa được về dạng (1) nếu 𝑀 𝑥, 𝑦 , 𝑁 𝑥, 𝑦 là những hàm đẳng cấp cùng bậc

𝑢 = 𝐶(𝐶 = ±𝐷)

Thay 𝑢 = 𝑦

𝑥 ta được 𝑥(𝑦−𝑥)

𝑦 = 𝐶

Nếu 𝑥 = 0; 𝑢 = 0; 𝑢 = 1 tức là 𝑥 = 0; 𝑦 = 0; 𝑦 = 𝑥 thay vào thỏa mãn là nghiệm của phương trình

b 𝑥𝑦′ = 𝑦 − 𝑥 𝑒𝑦𝑥

4 Phương trình tuyến tính cấp 1

a Định nghĩa: Phương trình vi phân

tuyến tính cấp một có dạng trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục

b Cách giải:

Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số (PP Lagrange)

 Giải phương trình thuần nhất

𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 0 ⇔ 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 0

⇔

𝑦 = 0 𝑑𝑦

nhât: 𝑦 = 𝐶𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥, (𝐶 ∈ ℝ) (∗)

 Biến thiên hằng số: Ở (*), Coi C là hàm của x: C=C(x), khi đó

𝑦 = 𝐶 𝑥 𝑒− ∫ 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑦′

= 𝐶(𝑥)′𝑒− ∫ 𝑝 𝑥 𝑑𝑥

− 𝐶 𝑥 𝑒− ∫ 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑝(𝑥) Thay vào phương trình (1), ta được

𝐶(𝑥)′𝑒− ∫ 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 − 𝐶 𝑥 𝑒− ∫ 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑝 𝑥

+ 𝑝 𝑥 𝐶 𝑥 𝑒− ∫ 𝑝 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑞 𝑥 ⇔ 𝐶′ 𝑥 = 𝑞 𝑥 𝑒∫ 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ⇔

𝐶 𝑥 = ∫ 𝑞 𝑥 𝑒∫ 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐷

Thay C(x) vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (1) là

Khi đó ta có 𝑦 = 𝐶(𝑥) 𝑒 −𝑥2 Lấy đạo hàm 2 vế thu được

5 Phương trình Becnuly

a Định nghĩa: Phương trình Becnuly có dạng

trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục; là một số thực cho trước

 Đổi biến

 Đưa về PTVP tuyến tính cấp 1

b Cách giải

1) Nếu 𝛼 < 0 thì chia cả hai vế của (1) cho 𝑦𝛼 ta được

𝑦−𝛼𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦1−𝛼 = 𝑞 𝑥 (2) Đặt 𝑧 = 𝑦 1−𝛼 ⇒ 𝑧′ = 1 − 𝛼 𝑦−𝛼, thay vào (2) ta có

𝑧′

1 − 𝛼 + 𝑝 𝑥 𝑧 = 𝑞 𝑥 ⇔ 𝑧

′ + 1 − 𝛼 𝑝 𝑥 𝑧

= 1 − 𝛼 𝑞 𝑥 2) Nếu 0 < 𝛼 ≠ 1 thì ngoài nghiệm như ở 3) còn thêm nghiệm y = 0

Ví dụ: Giải phương trình sau:

𝑎 𝑦′ + 𝑦

𝑥 = 𝑥

2 𝑦4

Giải

TH1: 𝑦 = 0 là nghiệm của phương trình

TH2: 𝑦 ≠ 0 chia 2 vế cho 𝑦4 ta được

= 𝐶 𝑥3

Coi 𝐶 = 𝐶(𝑥) ta có 𝑍 = 𝐶 𝑥 𝑥3 ⇒ 𝑍′ = 𝐶′ 𝑥3 + 3𝑥2 𝐶 Thay 𝑣à𝑜 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ (∗) 𝑡𝑎 đượ𝑐:

𝑏 𝑦′ + 𝑦 = 𝑒𝑥 𝑦

Thỏa mãn y(0) = 4

III PTVP CẤP 2

1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

 a Các dạng biểu diễn

Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát

Dạng đã giải ra được đối với đạo hàm

b Định lý tồn tại duy nhất nghiệm

c Nghiệm của PTVP cấp 2

Giải PTVP cấp hai, được kết quả dạng

trong đó là các hằng số tùy ý thì đẳng thức đó gọi

là nghiệm tổng quát của PTVP đó.

Nếu thay các giá trị cụ thể vào

nghiệm tổng quát thì nghiệm gọi

là một nghiệm riêng của phương trình

2 MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP GIẢM CẤP ĐƯỢC

b Trường hợp vế phải không phụ thuộc y

Phương trình có dạng:

Cách giải:- Đổi biến

- Đưa về ptvp cấp 1 với p, từ đó giải

ra y

c.Trường hợp vế phải không chứa x

Dạng phương trình:

Cách giải:

- Đặt biến phụ:

- Đưa về PTVP cấp 1 với biến y, hàm p(y)

- Giải p(y), từ đó tìm ra nghiệm của phương trình

đã cho

Định lý 3: Nếu lần lượt là các nghiệm

riêng của các phương trình

Và phương trình

phương trình:

c Nghiệm của phương trình thuần nhất

 Nếu phương trình (3) có hai nghiệm phức liên hợp 𝑘1,2 = 𝛼 + 𝑖 𝛽 thì

nghiệm tổng quát của (2) là

d Nghiệm riêng của phương trình vi phân

tuyến tính không thuần nhất

 Nếu không là nghiệm của PTĐT thì nghiệm riêng có thể tìm ở dạng:

, trong đó là đa thức bậc n với các hệ số chưa biết (sẽ được xác định bằng phương pháp hệ số bất định)

 Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có thể tìm ở

 Trường hợp 2:

 Nếu không là nghiệm của phương

trình đặc trưng thì nghiệm riêng của phương trình (1) có thể tìm ở dạng

 Nếu là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng của phương trình có thể tìm ở dạng

Ví dụ: Giải phương trình

Phương trình sai phân

Chương 4

Đặt vấn đề

Trong các bài toán về đạo hàm và phương trình

vi phân, chúng ta làm việc với biến số liên tục Tuy nhiên, trong thực tế, các số liệu thu thập và cần xử lý là các thời điểm rời rạc Trong chương này, chúng ta xét biến nhận các giá trị thuộc

𝑍+ = {0, 1, 2, … } và ta sử dụng khái niệm sai

phân thay cho đạo hàm, vi phân.

I KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Giả sử x (n) là một hàm số, biến n xác định trên 𝑍+

Giá trị của hàm số tại n kí hiệu là x(n)

Sai phân cấp một của hàm số tại n là:

Δ𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 1 − 𝑥(𝑛)

Sai phân cấp hai của hàm số tại n là:

Δ2𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 2 − 2𝑥 𝑛 + 1 + 𝑥(𝑛)

1 Sai phân

2 Phương trình sai phân

Định nghĩa 1: Giải sử x(n) là một hàm số đối số

nguyên, chưa biết, cần tìm Đẳng thức

Định nghĩa 2: Nghiệm của (1) là mọi hàm số đối

số nguyên mà khi thay vào phương trình được đẳng thức đúng

- Nghiệm tổng quát của PTSP cấp k có dạng:

𝑥 𝑛 = 𝜑(𝑛, 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑘)

- Nghiệm riêng:

𝑥 𝑛 = 𝜑(𝑛, 𝐶10, 𝐶20, … , 𝐶𝑘0)

II PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

TUYẾN TÍNH CẤP MỘT

1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một

a Giải thuần nhất hệ số hằng

Định lý: Nếu phương trình đặc trưng có

nghiệm 𝜆 thì nghiệm tổng quát của phương trình là

𝑥 𝑛 = 𝐶𝜆𝑛 = 𝐶 − 𝑏

𝑎

𝑛

, 𝐶 𝑙à ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố 𝑡ù𝑦 ý

𝑥 𝑛 = 𝛼𝑛𝑄𝑚(𝑛) trong đó 𝑄𝑚(𝑛) là đa thức bậc m, hệ số chưa biết

- Nếu 𝛼 là nghiệm của PTĐT (tức = − 𝑏

𝑎 ) thì nghiệm riêng có thể tìm dưới dạng

𝑥 𝑛 = 𝑛𝛼𝑛𝑄𝑚(𝑛)

2

Ví dụ: Giải phương trình sai phân sau:

𝑥 𝑛 + 1 − 2𝑥 𝑛 = −2 cos 𝑛𝜋

2 − sin

𝑛𝜋 2

Giải: Dạng của nghiệm riêng: 𝑥 𝑛 = Acos 𝑛𝜋

Thay vào phương trình và giải được 𝐴 = 1

𝐵 = 0

2 PTSPTT cấp một hệ số biến thiên

 Dạng của phương trình:

𝑥 𝑛 + 1 − 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑓 𝑛 (3)

Trong đó 𝑎 𝑛 ≠ 0, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 Không mất tổng quát giả sử 𝑎 𝑛 ≠ 0, ∀𝑛 ≥ 0

 PTTN tương ứng:

𝑥 𝑛 + 1 − 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 0 (4)

a Giải phương trình thuần nhất

𝑥 𝑛 + 1 − 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 0

⇔ 𝑥 𝑛 + 1 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 Gán cho n lần lượt giá trị 0, 1, 2, …, n-1 ta được

𝑥 1 = 𝑎 0 𝑥 0

𝑥 2 = 𝑎 1 𝑥 1

……

𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 − 1 𝑥 𝑛 − 1

Nhân vế với vế, lấy hằng số tự do C= x(0), được nghiệm tổng quát của PTTN là

𝑥 𝑛 = 𝐶Π𝑖=0𝑛−1𝑎(𝑖)

Chú ý: Nếu 𝑎 𝑛 ≠ 0 từ giá trị 𝑛0 trở đi thì ta gán n lần lượt giá trị 𝑛0, 𝑛0 + 1, … , 𝑛 − 1 và

chọn hằng số tự do là: 𝐶 = 𝑥(𝑛0)

Ví dụ: Giải PTSP sau:

𝑥 𝑛 + 1 + 𝑛𝑥 𝑛 = 0

𝑥 𝑛 + 1 − 3𝑛𝑥 𝑛 = 0

b Giải phương trình không thuần nhất

Thay n lần lượt bởi 0, 1, 2, …, n-1

𝐶 1 − 𝐶 0 = 𝑓(0)

𝑎(0)

𝐶 2 − 𝐶 1 = 𝑓(1)

𝑎 0 𝑎(1)

Cộng vế với vế thu được:

𝑎 0 𝑎 1 … 𝑎(𝑖)

𝑛−1

𝑖=0

𝑗 =0

CHÚ Ý

 Khi sử dụng phương pháp biến thiên hằng số thường

dẫn đến phương trình tuyến tính cấp 1 để tìm 𝐶 𝑛 ở dạng

𝐶 𝑛 + 1 − 𝐶 𝑛 = 𝑔 𝑛

Trường hợp đơn giản thì ta thường thay lần lượt các giá trị cho 𝑛 rồi cộng theo vế Khi đó nếu tổng ở vế phải phức tạp thì ta có thể để kết quả ở công thức tính tổng.

Trong trường hợp 𝑔 𝑛 có thể viết ở dạng 𝑔 𝑛 =

𝛼𝑛𝑃𝑚 𝑛 hoặc 𝑔 𝑛 = 𝛼𝑛 𝑃𝑚 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛽 ±

𝑄𝑘 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑛𝛽 có thể tìm 𝐶 𝑛 bằng cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng.

 Ví dụ: Giải phương trình sai phân sau

a.𝑥 𝑛 + 1 − 3𝑛𝑥 𝑛 = 3𝑛 𝑛+12 𝑛2−2n + 3

b 𝑥 𝑛 + 1 − 3𝑛𝑥 𝑛 = 3𝑛 𝑛+12 2𝑛 n + 1

III PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

TUYẾN TÍNH CẤP HAI HỆ SỐ HẰNG

𝑥 𝑛 + 2 + 𝑝𝑥 𝑛 + 1 + 𝑞𝑥 𝑛 = 0 (2)

Phương pháp giải: Pp chọn

Bước 1: Giải PT thuần nhất (2) tìm

nghiệm tổng quát 𝑥(𝑛)

Khi đó nghiệm của (1) là:

𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑥(𝑛)

Giải PT thuần nhất

𝑥 𝑛 + 2 + 𝑝𝑥 𝑛 + 1 + 𝑞𝑥 𝑛 = 0

Phương trình đặc trưng: 𝑘2 + 𝑝𝑘 + 𝑞 = 0 (*)

 Nếu phương trình (*) có hai nghiệm thực phân biệt 𝑘1, 𝑘2 thì :

Tìm 1 nghiệm riêng của PT không thuần nhất

Ví dụ: Giải các phương trình sau: