Bài giảng toán cao cấp 2 (phần giải tích) bài 3 nguyễn phương

C ỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộcĐịnh nghĩa 3.3 Điểm dừng.. C ỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc... C ỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộcĐịnh nghĩa 3.4 Tập l

Toán cao cấp 2 - Phần Giải tích Bài 3 Hàm nhiều biếnNguyễn Phương

Bộ môn Toán kinh tế

Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com

Ngày 12 tháng 12 năm 2022

H ÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa

H ÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa

x

f (a, b)

z = f (x, y) (x, y)

(a, b)

0

O D

H ÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.Đồ thị của hàm hai biến là tập hợp các điểm trong khônggian 3–chiều được xác định như sau:

H ÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa

20

H ÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa

H ÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn

Định nghĩa 1.3.Cho z = f (x, y) là hàm hai biến và M0(x0, y0)thuộc miền

xác định của f Giới hạn của f (x, y) khi (x, y) tiến về (x0, y0)là L, ký hiệu

lim

(x,y)→(x0,y0)f (x, y) = L, nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi điểm M (x, y) thuộc đĩa mở có tâm (x0, y0), bán kính δ và (x, y) ̸= (x0, y0), thì

|f (x, y) − L| < ϵ.

Hàm số z = f (x, y) có giới hạn là L khi (x, y) dần đến (x0, y0)có nghĩa là:

Khi M (x, y) dần đến M0(x0, y0)thì giá trị của hàm số tại M (x, y) cũng dần đến L.

H ÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn

H ÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn

Ví dụ 1.5.Xét giá trị của hàm số f (x, y) = sin x

H ÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn

H ÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn

Tính chất 1.1.Cho b, x0, y0, L và K là các số thực, cho n là số nguyên dương, và f , g thoả mãn

H ÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn

H ÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn

Ví dụ 1.8.Chứng minh không tồn tại

H ÀM NHIỀU BIẾN Liên tục

Định nghĩa 1.4.Cho hàm số f (x, y) với miền xác định D chứa điểm (x0, y0)

1 Hàm số f liên tục tại (x0, y0)nếu

lim

(x,y)→(x0,y0)f (x, y) = f (x0, y0).

2 Hàm số f liên tục trên D nếu f liên tục tại tất cả các điểm thuộc D.

Hàm số z = f (x, y) liên tục tại (x0, y0)có nghĩa là: Khi M (x, y) dần đến

M0(x0, y0)thì giá trị của hàm số tại M (x, y) cũng dần đến giá trị của hàm số tại điểm M0(x0, y0)

Các tính chất liên tục của hàm hai biến giống như hàm một biến

Ví dụ 1.9.Hàm f (x, y) = sin(x2+ xy − y) là hàm liên tục vì f (x, y) là hợp của hai hàm liên tục u(x, y) = x2+ xy − y2, g(x) = sin(x)

H ÀM NHIỀU BIẾN Liên tục

xy2

x2+ y2

≤ |x|

(x,y)→(0,0)

xy2

x2+ y2

= 0, suy ra

lim

(x,y)→(0,0)

xy2

x2+ y2 = 0 Vậy f (x, y) liên tục tại (0, 0) khi a = 0.

Định lý 1.1 (Định lý Weierstrass). Hàm số f liên tục trên một tập D đóng và bị chặn thì f bị chặn và đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

D

Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.Cho hàm hai biến z = f (x, y) xác định trên miền D và (x0, y0) ∈ D.

i) Nếu giới hạn lim

giới hạn này được gọi là đạo hàm riêng theo biến y của f (x, y) tại (x0, y0) Kí hiệu: f′

Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN Định nghĩa

Quy tắc tìm đạo hàm riêng

1 Để tìm đạo hàm riêng của z = f (x, y) theo biến x, ta coi z = f (x, y) là hàm một biến x, biến còn lại y là hằng số.

2 Để tìm đạo hàm riêng của z = f (x, y) theo biến y, ta coi z = f (x, y) là hàm một biến y, biến còn lại x là hằng số.

Ví dụ 2.1.Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:

Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm riêng cấp cao

Định nghĩa 2.2.

Hình 2.1:Đạo hàm riêng cấp cao

Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm riêng cấp cao

Định lý 2.1 (Định lý Schwarz). Nếu hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng f′′

y + 1

Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN Hàm khả vi và vi phân toàn phần

Định nghĩa 2.3.Cho hàm z = f (x, y) và (x0, y0)là điểm trong của miền

xác định Hàm f được gọi làkhả vitại (x0, y0)nếu số gia toàn phần

∆f (x0, y0) = f (x0+ ∆x, y0+ ∆y) − f (x0, y0)

có thể biễu diễn được ở dạng

∆f (x0, y0) = A∆x + B∆y + ε1∆x + ε2∆y trong đó A, B là các hằng số, ε1và ε2→ 0 khi (∆x, ∆y) → (0, 0).

Định lý 2.2.Nếu hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng ∂f ∂x , ∂f ∂y liên tục

tại (x0, y0)thì z = f (x, y) khả vi tại (x0, y0)và ∂f (x0,y0 )

∂x = A, ∂f (x0,y0 )

∂y = B.

Định nghĩa 2.4.Đại lượng df (x0, y0) = f x′(x0, y0)∆x + f y′(x0, y0)∆ygọi là

vi phâncủa hàm z = f (x, y) tại (x0, y0)

Vì dx = ∆x, dy = ∆y nên

df (x0, y0) = f x′(x0, y0)dx + f y′(x0, y0)dy

Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN Hàm khả vi và vi phân toàn phần

Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN Hàm khả vi và vi phân toàn phần

Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN Hàm khả vi và vi phân toàn phần

Định nghĩa 2.5.Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần dz của hàm số

z = f (x, y) được gọi là vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số z = f (x, y) và được ký hiệu là d2z hoặc d2f

Kí hiệu dx2= (dx)2, dy2= (dy)2, ta có:

d2z = z xx′′ dx2+ 2z xy′′ dxdy + z yy′′ dy2

Ví dụ 2.5.Tìm vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số sau:

z = f (x, y) = 2x2− 3xy − y2

Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm của hàm hợp

Định nghĩa 2.6.

Hình 2.2:Hàm hợp

Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm của hàm hợp

Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm của hàm hợp

x hoặc ∂f ∂x = ∂f ∂u ∂u ∂x+∂f ∂v ∂v ∂x

f y′ = f u′u′y + f v′v′y hoặc ∂f ∂y = ∂f ∂u ∂u ∂y+∂f ∂v ∂v ∂y

Ví dụ 2.7.Cho f = f (u, v) = e uv , u(x, y) = x2+ y2, v(x, y) = xy

Tính f x′, f y′

Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm của hàm hợp

∂x ,

df

dx

Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm của hàm ẩn

Định nghĩa 2.7.Cho phương trình F (x, y) = 0 Nếu tồn tại một ánh xạ

y = y(x) sao cho F (x, y(x)) = 0 thì ta nói y = y(x) làhàm ẩnxác định bởi F

Đ ẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm của hàm ẩn

Định nghĩa 2.8.Cho phương trình F (x, y, z) = 0 Nếu tồn tại một ánh xạ

z = z(x, y) sao cho F (x, y, z(x, y)) = 0 thì ta nói z = z(x, y) làhàm ẩnxác

định bởi F Đạo hàm của hàm ẩn

C ỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Định nghĩa 3.1.Cho (x0, y0)thuộc miền xác định D ⊆ R2của z = f (x, y).

1 f (x, y) đạt cực tiểu (địa phương) tại (x0, y0)nếu tồn tại lân cận V ⊆ D

Định nghĩa 3.2.Cho (x0, y0)thuộc miền xác định D ⊆ R2của z = f (x, y).

1 f (x, y) đạt cực tiểu toàn cục (giá trị nhỏ nhất) tại (x0, y0)nếu

f (x, y) ≥ f (x0, y0) ∀(x, y) ∈ D

2 f (x, y) đạt cực đại toàn cục (giá trị lớn nhất) tại (x0, y0)nếu

f (x, y) ≤ f (x0, y0) ∀(x, y) ∈ D

C ỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Định nghĩa 3.3 (Điểm dừng). Điểm (x0, y0) ∈ R2được gọi là điểm

dừng của hàm số z = f (x, y) nếu z = f (x, y) có tất cả các đạo hàm riêng cấp một bằng 0 tại (x0, y0)

Định lý 3.1 (Điều kiện cần của cực trị). Nếu hàm số z = f (x, y) đại cực trị tại (x0, y0)và có các đạo hàm riêng tại (x0, y0)thì (x0, y0)là điểm

C ỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

C ỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Ví dụ 3.1.Khảo sát cực trị tự do của hàm

1 f (x, y) = x2+ xy + y2− 2x − y.

2 f (x, y) = x4+ y4− x2− 2xy − y2

3 f (x, y) = 1 +px2+ y2.

C ỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Định nghĩa 3.4 (Tập lồi). Cho D ⊆ R2 D được gọi là tập lồi nếu với mọi x và y thuộc D và với mọi t trong khoảng [0, 1], điểm

tx + (1 − t)y cũng thuộc D , tức là,

∀x, y ∈ D, ∀t ∈ [0, 1] ⇒ tx + (1 − t)y ∈ D

Hình 3.1:Tập lồi Hình 3.2:Tập không lồi

C ỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Định nghĩa 3.5.Hàm số z = f (x, y) được gọi là hàm lồi trên tập lồi

C ỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Định nghĩa 3.7.Hàm số z = f (x, y) được gọi là hàm lõm trên tập lồi

C ỰC TRỊ Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Định lý 3.3.Cho hàm số z = f (x, y) và miền xác định D là tập lồi Đặt

trong đó p A và p Blần lượt là giá bán (USD trên 1 cân) của A và B Hãy xác

định giá bán của mỗi sản phẩm để tối đa hóa doanh thu P của công ty.

C ỰC TRỊ Cực trị có điều kiện ràng buộc

Định nghĩa 3.9.Cực trị của hàm số z = f (x, y) với điều kiện là các biến

x, y phải thỏa mãn ràng buộc cho bởi phương trình ϕ(x, y) = a được gọi là

cực trị có điều kiện (hay cực trị có ràng buộc)

Tìm cực trị của z = f (x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = a bằng

phương pháp khử

1 Chuyển hàm ϕ(x, y) = a về hàm theo biến x (hoặc y) và thay vào hàm

z = f (x, y) Khi đó, z = f (x, y) trở thành hàm 1 biến theo x (hoặc y).

2 Sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm 1 biến, ta tìm được cực trị

của f (x) (hoặc f (y)).

Giả sử f (x) có đạo hàm cấp 1,2 trên (a, b) chứa điểm dừng x0với

f′(x) = 0

Nếu f′′

(x0) < 0 =⇒: f (x) đạt cực đại tại x0

Nếu f′′(x0) > 0 =⇒ : f (x) đạt cực tiểu tại x0

3 Kết luận cực trị của hàm 2 biến

Ví dụ 3.3.Khảo sát cực trị các hàm số sau: f (x, y) = xy với điều kiện

x + y = 1

C ỰC TRỊ Cực trị có điều kiện ràng buộc

Tìm cực trị của z = f (x, y) với điều kiện φ(x, y) = a bằng

C ỰC TRỊ Cực trị có điều kiện ràng buộc



C ỰC TRỊ Cực trị có điều kiện ràng buộc

y = − 12λ ,

2 =⇒ x =

√2

2 , y =

√22

λ =

√2

2 =⇒ x = −

√2

2 , y = −

√22

C ỰC TRỊ Cực trị có điều kiện ràng buộc

2 ,

√2

2 ; −

√22

2 , −

√2

2 ;

√22



và fCT= −√

2

C ỰC TRỊ Cực trị có điều kiện ràng buộc

H < 0 thì (x0, y0)là điểm cực tiểu

C ỰC TRỊ Cực trị có điều kiện ràng buộc

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số z = f (x, y) trên miền đóng và bị chặn D

1 Giả sử P1, P2, là các điểm dừng của z = f (x, y) Loại các điểm không nằm trong D và tính các giá trị của z = f (x, y) tại các điểm còn lại.

2 Tìm cực trị của z = f (x, y) trên biên của D bằng phương pháp

Lagrange hoặc phương pháp khử

3 So sánh giá trị z = f (x, y) ở hai bước trên và kết luận.

Ví dụ 3.6.

1 f (x, y) = (x − 6)2+ (y + 8)2trên miền x2+ y2≤ 25

2 f (x, y) = x2− y2trên miền x2+ y2≤ 2x.

3 f (x, y) = x2− xy + y2trên miền |x| + |y| ≤ 1.

4 f = x2− y2+ 2xy trên miền [0, 2] × [1, 3].

Ứng dụng trong kinh tế Ý nghĩa biên tế

Ứng dụng trong kinh tế Hệ số co dãn

Gọi y là đại lượng kinh tế phụ thuộc vào các biến kinh tế khác x1, x2, , x n

biểu diễn qua hàm số y = f (x1, x2, , x n)

Khi đó, độ co dãn của y theo biến x jđược định nghĩa là:

Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế

Lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo

Giả sử doanh nghiệp sản xuất n mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn

hảo (tức là nhà sản xuất phải bán hết sản phẩm với giá thị trường quyết

định) với các mức giá P1, P2, , P n Hàm chi phí C = C(Q1, Q2, , Q n)

với Q i là mức sản lượng của sản phẩm thứ i mà doanh nghiệp sản xuất Tìm

mức sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa

Ví dụ 4.4.Doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh

hoàn hảo với giá P1= 60, P2= 75 Hàm chi phí C = Q2+ Q1Q2+ Q2 Tìm

mức sản lượng (Q1, Q2)để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa

Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế

Lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện sản xuất độc quyền

Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất n loại sản phẩm (giá cả do nhà sản xuất quyết định) Biết hàm cầu của n loại sản phẩm này là

Q D i = D i (P1, P2, , P n) Hàm tổng chi phí là C = C(Q1, Q2, , Q n) Tìmmức sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa

Ví dụ 4.5.Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm Biếthàm cầu của hai loại sản phẩm này và hàm tổng chi phí như sau:

Q D1 = 40 − 2P1+ P2; Q D2= 15 + P1− P2

C = Q21+ Q1Q2+ Q22Tìm mức sản lượng (Q1, Q2)để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa

Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế

Lập kế hoạch phân phối cho nhiều thị trường tiêu thụ tách biệtGiả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất 1 loại sản phẩm và phân phối trên

n thị trường tách biệt Biết hàm cầu trên n thị trường là Q D i = D i (P i) Hàm

tổng chi phí là C = C(Q) với Q = Q1+ Q2+ + Q n Tìm lượng hàng phânphối trên từng thị trường để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa

Ví dụ 4.6.Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại sản phẩm và kinhdoanh trên 2 thị trường tách biệt với hàm cầu:

Q D1 = 840 − 2P1; Q D2 = 1230 − 3P2

Hàm chi phí C = 20 + 150Q + Q2với Q = Q1+ Q2

Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường để doanh nghiệp đạt lợinhuận tối đa

Ứng dụng trong kinh tế Tối ưu trong kinh tế

Bài toán tối ưu của người tiêu dùng

Giả sử một người tiêu dùng định dùng số tiền là I để mua n loại sản phẩm Biết rằng giá của các loại sản phẩm này là P1, P2, , P n Hàm hữu dụng

cho n loại sảm phẩm này là u = u(x1, x2, , x n)trong đó x ilà số lượng của

loại sản phẩm thứ i mà người đó mua Hãy xác định số lượng phải mua sao

cho giá trị sử dụng lớn nhât

Ví dụ 4.7.Một người dùng số tiền 400 (ngàn đồng) để mua 2 loại hàng hóa

với giá P1= 500(ngàn đồng) và P2= 400(ngàn đồng) Tìm số lượng 2 loạihàng trên người đó sẽ mua để có giá trị sử dụng lớn nhất Biết hàm hữu

dụng của 2 mặt hàng trên là U (x, y) = (x + 4)(y + 15) với x là số lượng của mặt hàng thứ nhất, y là số lượng của mặt hàng thứ hai.