Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 10: Phương trình sai phân

Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 10: Phương trình sai phân. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: khái niệm sai phân và phương trình sai phân; phương trình sai phân tuyến tính cấp một; phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng;... Mời các bạn cùng tham khảo!

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2

CHƯƠNG 10

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Đặt vấn đề

I KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Giả sử x (n) là một hàm số, biến n xác định trên 𝑍+

Giá trị của hàm số tại n kí hiệu là x(n)

1 Sai phân

Ví dụ 1

2 Phương trình sai phân

Định nghĩa 2: Nghiệm của (1) là mọi hàm số đối

số nguyên mà khi thay vào phương trình được đẳng thức đúng

II PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

TUYẾN TÍNH CẤP MỘT

1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một

hệ số hằng

a Giải thuần nhất hệ số hằng

b Tìm nghiệm riêng

2 PTSPTT cấp một hệ số biến thiên

a Giải phương trình thuần nhất

Gán cho n lần lượt giá trị 0, 1, 2, …, n-1 ta được

b Giải phương trình không thuần nhất

Thay n lần lƣợt bởi 0, 1, 2, …, n-1

Trong trường hợp 𝑔(𝑛) có thể viết ở dạng 𝑔 𝑛 = 𝛼𝑛𝑃𝑚(𝑛) hoặc 𝑔 𝑛 = 𝛼𝑛(𝑃𝑚 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛽 ± 𝑄𝑘 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑛𝛽) có thể tìm

𝐶 𝑛 bằng cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1

hệ số hằng

 Ví dụ: Giải phương trình sai phân sau

a.𝑥 𝑛 + 1 − 3𝑛𝑥 𝑛 = 3𝑛 𝑛+12 (𝑛2−2n + 3)

b 𝑥 𝑛 + 1 − 3𝑛𝑥 𝑛 = 3𝑛 𝑛+12 2𝑛(n + 1)

III PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

TUYẾN TÍNH CẤP HAI HỆ SỐ HẰNG

Tìm 1 nghiệm riêng của PT không thuần nhất