Bài giảng toán cao cấp 2 (phần giải tích) bài 2 nguyễn phương

Tìm các đại lượng trong kinh tế bằng tích phân xác định 532... NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Định nghĩa... NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân... NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các

Bài 2 Tích phân hàm một biến số

Nguyễn Phương

Bộ môn Toán kinh tế

Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com

Ngày 18 tháng 12 năm 2022

1

Tìm các đại lượng trong kinh tế bằng tích phân xác định 53

2

Định nghĩa 1.1.Hàm số F (x) được gọi lànguyên hàmcủa hàm số f (x) trên D nếu

1 Hàm số F (x) + C, với C là hằng số bất kỳ, cũng là nguyên hàm của hàm số f (x).

2 Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều biểu diễn được dưới dạng số F (x) + C, với C là một hằng số.

3

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Định nghĩa

Các công thức tính tích phân cơ bản

a + x

a − x

+ C

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân

Phương pháp đổi biến

NếuR f (u)du = F (u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân

Phương pháp tính tích phân các phân thức tối giản

x − a

x + a

+ C

x − x2

x − x1

+ C

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân

Tích phân phân thức hữu tỉ

Q m (x) với n < m được gọi là phân

thức hữu tỉ thực sự

Phương pháp tính tích phân các phân thức hữu tỉ

Giả sử Q m (x)có thể khai triển thành tích các thừa số bậc 1 và bậc 2

Q m (x) = a0(x − a) k (x2+ px + q) r

Ta công nhận điều sau : Phân thức hữu tỉ thực sự P n (x)

Q m (x) khai triển đượcthành tổng của phân thức tối giản

Để tìm A1 , A2, , M1, N1, có 2 phương pháp

1 Phương pháp 1.(hệ số bất định) Quy đồng mẫu số (1), sau đó cân bằng

lũy thừa theo biến x, dẫn đến hệ phương trình tìm

A1, A2, , M1, N1,

2 Phương pháp 2.Có thể tìm A1 , A2, , M1, N1, khi thay thế x trong

(1), bằng một cách chọn phù hợp

11

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân

Phương pháp tính tích phân hàm lượng giác

từ đây ta đưa tích phân trên về tích phân hàm hữu tỉ

Trong một số trường hợp riêng, ta có thể tìm ra nột phép thế thích hợp

1 Nếu R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x), đặt t = sin x

2 Nếu R(cos x, − sin x) = −R(cos x, sin x), đặt t = cos x

3 Nếu R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x), đặt t = tan x

4 NếuR sinq x cos p xdx , đặt t = sin x hoặc t = cos x

12

Ví dụ 2.1.Tìm diện tích miền phẳng S giới hạn bởi đường cong

y = f (x) = x2, trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x = 1.

Hình 2.1

13

Hình 2.5 Hình 2.6

15

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa

Cho hàm số f xác định trên [a, b] và phân hoạch của đoạn [a, b] với các điểm

x0= a < x1 < x2< < x n−1 < x n = b Trên mỗi miền con S1 , S2, S3, , S nlấy tùy ý 1 điểm (tương ứng là

x∗1, x∗2, x∗3, , x∗n)

Hình 2.716

Tính chất 2.2.Với f, g là hàm số liên tục

8) Nếu m ≤ f (x) ≤ M với a ≤ x ≤ b thì

m(b − a) ≤

Z b a

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tính chất

trên [a; b] thì

Z b a

f (x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a) với F (x) là nguyên hàm của f (x) hay F′(x) = f (x)

trên [a; b] thì với mọi nguyên hàm F (x)

f (t)dt

!′

= f (φ(x))φ′(x)

20

22

Phương pháp tính tích phân đổi biến

Nếu

Z b a

f (x)dx = F (x)

b

a + C

thì

Z b a

f (φ(t))φ′(t)dt = F (φ(t))