Bài giảng Toán cao cấp 2: Phần Giải tích - Nguyễn Phương

Bài giảng Toán cao cấp 2: Phần Giải tích cung cấp cho người học những kiến thức như: Các khái niệm cơ bản về hàm số; giới hạn của hàm số; hàm số liên tục; đạo hàm của hàm số; đạo hàm cấp cao; vi phân của hàm số; ứng dụng của đạo hàm. Mời các bạn cùng tham khảo!

Bài 1 Hàm một biến số

Nguyễn Phương

Bộ môn Toán kinh tế

Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com

Ngày 30 tháng 11 năm 2022

1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ 3

Định nghĩa 1.1.Một ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu

f : X → Y ) là một phép tương ứng liên kết với mỗi phần tử x ∈ X với một phần tử duy nhất y ∈ Y , phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu

1 Xđược gọi là tập hợp nguồn

2 Y được gọi là tập hợp đích

3 y được gọi là ảnh của x qua f

Với mỗi y ∈ Y , tập con của X gồm các phần tử có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là ảnh ngược (tạo ảnh) của phần tử y qua f , ký hiệu là

f−1(y)

f−1(y) = {x ∈ X|f (x) = y}

Với mỗi tập con A ⊂ X, tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của

x ∈ A qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A ký hiệu là f (A)

f (A) = {f (x)|x ∈ A}

Với mỗi tập con B ⊂ Y , tập con của X gồm các phần tử x có ảnh

f (x) ∈ B được gọi là ảnh ngược (tạo ảnh) của tập B ký hiệu là f−1(B)

f−1(B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B}

Ví dụ 1.1.Cho hàm số f (x) = x3+ x2 Tìm f (1), f (−1), f (a), f (a − 1).

Ví dụ 1.2.- Hàm cung: Q S = f (P ) = cP + d

- Hàm cầu: Q D = f (P ) = aP + b

Ví dụ 2.1.Xét hàm số f (x) = x2− x + 2 và cho giá trị của x gần 2.

Định nghĩa 2.1.Cho f : D −→ R xác định bởi y = f(x), khi x có giá trị gần a

Nếu không có số L như vậy, ta nói rằng giới hạn của f (x) khi x tiến về a là

không tồn tại

Định nghĩa 2.2.Cho y = f (x) và L, a là hai số thực L là giới hạn của hàm

y = f (x) khi x tiến về a, ký hiệu

lim

x→a f (x) = L,

nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho

|x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| ≤ ϵ.

Định nghĩa 2.4.Ta viết

lim

x→a+f (x) = L,

và ta đọc là "giới hạn phải của f (x) bằng L khi x tiến về từ bên phải a" nếu

có thể làm cho các giá trị của f (x) gần tùy ý với L bằng cách hạn chế x đủ gần với a và x lớn hơn a.

Ví dụ 2.2.Chứng minh rằng

lim

x→0 |x| = 0.

Ký hiệu:

lim

x→a f (x) = +∞.

Ký hiệu:

lim

x→a f (x) = −∞.

5 − 3(−2) = −

111

Định lý 2.2.Nếu f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) với mọi x và lim

Ví dụ 2.6.Chứng minh rằng

lim

x→0 x2sin 1

x = 0.

Một vài dạng vô định thường gặp

Định nghĩa 3.1.Hàm f (x) được gọi là liên tục tại a nếu

lim

x→a f (x) = f (a).

Hình:Hàm số liên tục

Hình:Hàm số bị gián đoạn.

gián đoạn tại −1 và liên tục tại 1.

Ví dụ 3.5.Tìm tất cả các giá trị của m sao cho

liên tục trên R

Ví dụ 4.1 Nghiên cứu thực nghiệm một đoàn tàu cao tốc chạy trên đườngray thẳng Bằng dữ liệu thu thập thực tế, thì kỹ sư đã xác được quãng

đường (đơn vị là feet) di chuyển của đoàn tàu từ điểm gốc tại thời điểm t

(đơn vị là giây) được xác định bởi công thức sau:

s = f (t) = 4t2, t ∈ [0, 30],

trong đó f là quy tắc xác định vị trí của đoàn tàu.

➤Trong khoảng thời gian t = 0, 1, 2, , 10 thì vị trí của đoàn tàu so với điểm gốc là f (0) = 0, f (1) = 4, f (2) = 16, f (3) = 36, , f (10) = 400

➤Bây giờ, giả sử chúng ta muốn tính vận tốc của đoàn tàu tại thời điểm

t = 2? Nếu đoàn tàu di chuyển thằng đều, tốc độ và chiều chuyển động

thay đổi theo thời gian thì ta có vận tốc là v = s

t

➤Trong thực tế, đoàn tàu di chuyển với tốc độ thay đổi theo thời gian t Nên việc xác định vẫn tốc của đoàn tàu tại một thời điểm t là rất khó khăn,

kể cả dựa vào phương trình quãng đường trên

➤Nhưng dựa vào phương trình s = f (t) = 4t2, t ∈ [0, 30]ta có thể tínhđược vị trí của đoàn tàu tại bất kỳ thời điểm nào Vì vậy, ta có thể tính vận

tốc trung bình của đoàn tàu Chẳng hạn trong khoảng thời gian [2, 4] được

tính như sau:

Quãng đường đi được

Thời gian đi =

f (4) − f (2)

4 − 2 =

64 − 16

2 = 24,tức là đoàn tàu đi chuyển với vận tốc trung bình 24 (feet/s)

➤Ta thấy rằng, vận tốc trên không phải là vận tốc của đoàn tàu tại thời

điểm t = 2, nhưng nó cho ta thấy vận tốc gần đúng của đoàn tàu tại gần thời điểm t = 2.

➤Nếu ta quan sát vận tốc trung bình của đoàn tàu trong khoảng thời gian

Nhận xét: Từ bảng trên, ta thấy khi cho giá trị của t "gần" 2 thì giá trị của

f (t) "gần" 16 Nói cách khác, hàm số f (t) có "giới hạn" bằng 16 khi t tiến gần

➤Trong trường hợp tổng quát, vận tốc trung bình của đoàn tàu trong

khoảng thời [t, t + h] được tính như sau:

Vận tốc TB =Quãng đường đi

Thời gian đi =

➤Cho hàm số y = f (x) Nếu x thay đổi từ x0 đến x0 + h, h > 0, thì số gia (biến số) ∆x của x (lượng thay đổi của x từ x0 đến x) được tính như sau:

được gọi là tỷ lệ trung bình thay đổi của y đối với x trên khoảng [x0 , x0+ h].

➤Tỷ lệ thay đổi tức thời được xác định như sau:

Định nghĩa 4.1.Đạo hàm của hàm f tại điểm x, ký hiệu f′(x), là

f′(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x) h

nếu giới hạn trên tồn tại

Ký hiệu đạo hàm thường gặp

Định nghĩa 4.2.Đạo hàm bên trái của hàm số f tại điểm x0, ký hiệu f′

nếu các giới hạn tồn tại

Định nghĩa 4.3.Đạo hàm bên phải của hàm số f tại điểm x0, ký hiệu f′

Ví dụ 4.4.Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0, biết

Định lý 4.1.Hàm số f (x) có đạo hàm tại x thì f liên tục tại x

Ngược lại, chưa chắc đúng.➤Ta xét f (x) = |x| Rõ ràng f (x) liên tục tại

x = 0 , nhưng f (x) không có đạo hàm tại x = 0.

1 Hàm số f (x) có đạo hàm trái tại x thì f liên tục trái tại x.

2 Hàm số f (x) có đạo hàm phải tại x thì f liên tục phải tại x.

Định nghĩa 4.4.Hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng mở I nếu f (x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc I.

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp

5 Cho y = f (u), u = u(x) và tồn tại u′(x), y′(u) , khi đó y x′ = f u′(u).u′x.

Ví dụ 4.7.Tính đạo hàm của các hàm số sau:

6) (sin u)′= cos u.u′

7) (cos u)′= − sin u.u′

Định lý 4.3.Giả sử f là một hàm số đơn điệu và f′(x0) ̸= 0 Khi đó,hàmngượcf−1khả vi tại y0 = f (x0) và f−1
′(y0) = 1

Định nghĩa 5.1.- Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại x thì ta nói f (x) có đạo hàm cấp 1 tại x Kí hiệu f′(x).

- Đạo hàm (nếu có) của đạo hàm cấp 1 được gọi là đạo hàm cấp 2 của f (x) tại x Kí hiệu f′′(x).

- Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1 của f (x) được gọi là đạo hàm cấp n của f (x) Kí hiệu f (n) (x)

Định nghĩa 6.2.Cho α(x), β(x) là hai VCB khi x → a Xét giới hạn

lim

x→a

α(x) β(x) = L.

i) Nếu L = 0, ta nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x) Kí hiêu:

Định lý 6.1.Giả sử khi x → a, ta có các cặp VCB tương đương

α(x) ∼ α∗(x); β(x) ∼ β∗(x)và nếu tồn tại lim

α∗(x)

β∗(x) .

Chú ý:

Khi x → 0, ta có các cặp VCB tương đương sau:

arcsin x ∼ x ln(1 + x) ∼ x a x − 1 ∼ x ln a

e x − 1 ∼ x; (1 + x) a ∼ 1 + ax, (a ̸= 0).

Định nghĩa 6.3.Hàm f được gọi là khả vi tại x ∈ I nếu và chỉ nếu tại x số gia ∆y có thể phân tích thành tổng của một đại lượng tỷ lệ với số gia ∆x và một đại lượng vô cùng bé bậc cao hơn so với ∆x khi ∆x → 0 Hơn nữa,

∆y = f (x + ∆x) − f (x) = A∆x + o(∆x), khi ∆x → 0.

với A là hằng số và o(∆x) là VCB cấp cao hơn ∆x khi ∆x → 0.

Khi đó, A∆x được gọi là vi phân của f tại x, ký hiệu dy(x) hoặc df (x)

Định lý 6.2.- Hàm số khả vi tại x0 khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm tại x0 Khi đó, A = f′(x0).

- Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì biểu thức vi phân của f (x) là

df = f′(x0)dx

Đặc biệt, nếu y = f (x) = x, thì dy = dx = f′(x)dx = ∆x, nên ta có thể viết

vi phân của f tại x về dạng sau: dy = f′(x)dx.

Vì vậy, ta có thể biểu diễn đạo hàm qua ký hiệu sau: f′(x) = dx dy

Định nghĩa 6.4 (Vi phân cấp cao) Vi phân cấp n của hàm số y = f (x) là vi phân của vi phân cấp n − 1 của f (x), kí hiệu là d n f (x).

Ví dụ 6.3.Sử dụng vi phân xấp xỉ√26, 5.

Lời giảiXét hàm số y = f (x) =√x và x = 25.

➤Bây giờ, ta xét sự thay đổi của y, ∆y, khi thay đổi từ x = 25 đến x = 26, 5,

số gia tương ứng là ∆x = 1, 5 Theo định nghĩa vi phân, ta có

Định lý 7.1 (Quy tắc L’Hospital) Cho các hàm số f (x) và g(x) có đạo hàm trong lân cận của điểm a và g′(a) ̸= 0 Nếu:

i) Giới hạn lim

x→a

f (x) g(x) có dạng vô định 0

Ví dụ 7.1.Tính giới hạn của các hàm số sau:



Các dạng vô định thường gặp (tiếp theo)

Ví dụ 7.2.Tính giới hạn của các hàm số sau:

Định nghĩa 7.1.Giả sử f có đạo hàm cấp n tại điểm c.

1 Đa thức Taylor bậc n của f tại c là

2+f

′′′(0)3! x

3+ · · · + f

(n)(0)

n! x

n

′′′(0)3! x

➣Sử dụng kết quả trên với n = 5, ta có

Định lý 7.2.Giả sử f có đạo hàm cấp n là f (n) liên tục trên I và f có đạo hàm cấp n + 1 trên khoảng I, c là một điểm nằm giữa I Thì với mỗi x ∈ I, tồn tại z x giữa x và c sao cho

Ví dụ 7.5.Xác định khai triển Maclaurin của hàm số f (x) = sin x.

f′′(0)2! x

2+f

′′′(0)3! x

7

7! + · · ·

=

∞X

n=0

(−1)n x

2n+1

(2n + 1)!

CÔNG THỨC MACLAURIN THƯỜNG GẶP

1) e x = 1 + x + x

2

2! +

x33! + · · · +

Ví dụ 7.6.Khai triển Taylor tới cấp n của các hàm số sau:

Định lý 7.3 (Điều kiện cần) Nếu hàm số f (x) không giảm trên (a; b) (không tăng trên (a; b)) và f (x) khả vi thì f′(x) ≥ 0 (f′(x) ≤ 0).

Định lý 7.4 (Điều kiện đủ) Cho hàm số f (x) khả vi trong khoảng (a; b) Nếu tại mọi x ∈ (a; b) mà đạo hàm:

f′(x) > 0 thì f (x) tăng trong (a; b)

f′(x) < 0 thì f (x) giảm trong (a; b)

f′(x) = 0 thì f (x) là hàm hằng trong (a; b)

Định nghĩa 7.2.Cho x0 thuộc miền xác định D của y = f (x) Ta nói

1 f (x) đạt cực tiểu (địa phương) tại x0 nếu tồn tại lân cận V sao cho

f (x) > f (x0) ∀x ∈ V \{x0}

2 f (x) đạt cực đại (địa phương) tại x0 nếu nếu tồn tại lân cận V sao cho

f (x) < f (x0) ∀x ∈ V \{x0}

Định nghĩa 7.3.Cho x0 thuộc miền xác định D của y = f (x) Ta nói

1 f (x) đạt cực tiểu toàn cục (giá trị nhỏ nhất) tại x0nếu

f (x) ≥ f (x0) ∀x ∈ D

2 f (x) đạt cực đại toàn cục (giá trị lớn nhất) tại x0nếu

f (x) ≤ f (x0) ∀x ∈ D

0 1 2 3 4 5 6 7 8 91

2

3

y = f (x)

cực tiểuđịa phương

cực đại địa phương

cực tiểu địa phương/toàn cục

Định lý 7.5 (Định lí Fermat - Điều kiện cần của cực trị) Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b) Nếu f (x) đạt cực trị tại x0 ∈ (a; b) và có đạo hàm tại x0 thì f′(x0) = 0.

Định nghĩa 7.4.Điểm tới hạn của hàm số là các điểm thuộc một trong hailoại sau:

i) Điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 (gọi là điểm dừng)

ii) Điểm mà tại đó hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

Ví dụ 7.9.Tìm điểm tới hạn của các hàm số

a) y =√3

x2

b) y = xq3

(x − 1)2

Định lý 7.6 (Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm bậc nhất) Giả sử x0là

điểm tới hạn của hàm số f (x) và hàm số có đạo hàm trong khoảng

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên miền [a, b]

1 Kiểm tra tính liên tục của hàm f (x) trên [a, b].

2 Giả sử x1 , , x n ∈ [a, b] là nghiệm của f′(x) = 0.

Đạo hàm là đại lượng đo tốc độ của sự thay đổi

1 Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x (trong khoảng từ x0đến

1 Nếu x thay đổi một lượng ∆x thì y sẽ thay đổi một lượng xấp xỉ bằng

y′(x0)lần lượng thay đổi của x.

2 Đặc biệt, nếu x thay đổi một lượng ∆x = 1 tại x0 thì y sẽ thay đổi một lượng xấp xỉ bằng y′(x0).

Định nghĩa 8.1.Cho hàm số y = f (x) Giá trị biên tế của y theo x tại x0 ,kí

hiệu là M x y(x0), là lượng thay đổi tuyệt đối của biến phụ thuộc y khi biến

độc lập x thay đổi 1 đơn vị.

∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) ≈ f′(x0)∆x khi ∆x rất nhỏ, ∆y chỉ lượng thay đổi tuyệt đối của y, ∆x chỉ lượng thay đổi tuyệt đối của x.

Khi ∆ = 1, giá trị biên tế được tính xấp xĩ là đạo hàm của y theo x, tức là

M x y(x0) ≈ f′(x0)

Định nghĩa 8.2.Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu là M Q, là đại

lượng đo sự thay đổi của sản lượng khi lao động hay vốn tăng thêm 1 đơnvị

Ví dụ 8.1.Hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = f (L) = 5√L Tìm

Định nghĩa 8.3.Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu là M C(Q), là đại

lượng đo sự thay đổi của chi phí C khi Q tăng thêm 1 đơn vị.

Ví dụ 8.2.Hàm chi phí sản xuất của một sản phẩm là

T C = 0, 0001Q3− 0, 02Q2+ 5Q + 100 Tìm M C khi Q = 50.

M C = (T C)′Q = 0, 0003Q − 0, 04Q + 5

M C = 3, 75

Định nghĩa 8.4.Doanh thu biên (Marginal Revenue), kí hiệu là M R, là đại

lượng đo sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị

Ví dụ 8.3.Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là Q = 1000 − 14P Tìm

Ví dụ 8.4.Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có

được như sau:

Định nghĩa 8.6.Cho hàm số y = f (x) Hệ số co dãn của y theo x, kí hiệu là

ε yx, là

ε yx= ∆y/y

∆x/x trong đó ∆y/y chỉ lượng thay đổi tương đối của y, ∆x/x chỉ lượng thay đổi tương đối của x.

Ý nghĩa:

Hệ số co dãn cho biết lượng thay đổi tương đối (%) của y khi x thay đổi 1%.

Khi ∆x rất nhỏ (∆x → 0), giá trị biên tế được tính xấp xĩ là đạo hàm của y theo x, tức là

ε yx≈ dy/y

dx/x = f

′(x) x

y

Định nghĩa 8.7.Độ co dãn của cầu theo giá, kí hiệu là ED, là đại lượng đo

sự thay đổi tương đối (%) của lượng cầu khi giá tăng 1%

E D=% lượng thay đổi của lượng cầu

% lượng thay đổi của giá =

Định nghĩa 8.8.Độ co dãn của cung theo giá, kí hiệu là ES, là đại lượng đo

sự thay đổi tương đối (%) của lượng cung khi giá tăng 1%

E S = % lượng thay đổi của lượng cung

% lượng thay đổi của giá =

Các bài toán trong kinh tế thường với mục đích tối ưu hóa một hàm mục

tiêu y = f (x), tức là chọn x để y đạt giá trị lớn nhất hoặc đạt giá trị nhỏ nhất.

Lợi nhuận tối đa.Lợi nhuận π = T R − T C đạt giá trị cực đại.

Ví dụ 8.7.Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có

được như sau:

- Hàm cầu là P = 600 − 2Q.

- Hàm chi phí là T C = 0, 2Q2+ 28Q + 200.

a) Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, khi ấy giá

bán và lợi nhuận đạt được là bao nhiêu?

b) Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ thì

sản lượng và giá bán là bao nhiêu để công ty đạt lợi nhuận tối đa? Khi

ấy lợi nhuận là bao nhiêu?

Bài toán tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao nhất

Giá sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa, biết hàm

cầu của doanh nghiệp đối với mặt hàng đó là Q D = D(P ), hàm tổng chi phí

là C = C(Q) Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất

để lợi nhuận cực đại

Ví dụ 8.8.Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng hóa với

Q D= 656 −1

2P và hàm chi phí C(Q) = Q3− 77Q2+ 1000Q + 100 Tìm mức

sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất