Bài giảng toán cao cấp 2 (phần giải tích) bài 3 nguyễn phương

Hãy xác định giá bán của mỗi sản phẩm để tối đa hóa doanh thu P của công ty... Cực trị của hàm số z = f x, y với điều kiện là các biến x, y phải thỏa mãn ràng buộc cho bởi phương trình ϕ

Toán cao cấp 2 - Phần Giải tích

Bài 3 Hàm nhiều biến

4

Định nghĩa 1.2 Đồ thị của hàm hai biến là tập hợp các điểm trong không gian 3–chiều được xác định như sau:

5

6

7

Định nghĩa 1.3 Cho z = f (x, y) là hàm hai biến và M 0 (x 0 , y 0 ) thuộc miền

xác định của f Giới hạn của f (x, y) khi (x, y) tiến về (x 0 , y 0 ) là L, ký hiệu

Hàm số z = f (x, y) có giới hạn là L khi (x, y) dần đến (x 0 , y 0 ) có nghĩa là:

Khi M (x, y) dần đến M 0 (x 0 , y 0 ) thì giá trị của hàm số tại M (x, y) cũng dần đến L.

8

9

Ví dụ 1.5 Xét giá trị của hàm số f (x, y) = sin x

Tính chất 1.1 Cho b, x 0 , y 0 , L và K là các số thực, cho n là số nguyên dương, và f , g thoả mãn

Ví dụ 1.8 Chứng minh không tồn tại

14

Định nghĩa 1.4 Cho hàm số f (x, y) với miền xác định D chứa điểm

(x 0 , y 0 )

1 Hàm số f liên tục tại (x 0 , y 0 ) nếu

lim

(x,y)→(x 0 ,y 0 ) f (x, y) = f (x 0 , y 0 ).

2 Hàm số f liên tục trên D nếu f liên tục tại tất cả các điểm thuộc D.

Hàm số z = f (x, y) liên tục tại (x 0 , y 0 ) có nghĩa là: Khi M (x, y) dần đến

M 0 (x 0 , y 0 ) thì giá trị của hàm số tại M (x, y) cũng dần đến giá trị của hàm số tại điểm M 0 (x 0 , y 0 )

Các tính chất liên tục của hàm hai biến giống như hàm một biến.

Ví dụ 1.9 Hàm f (x, y) = sin(x 2 + xy − y) là hàm liên tục vì f (x, y) là hợp của hai hàm liên tục u(x, y) = x 2 + xy − y 2 , g(x) = sin(x)

15

xy 2

x 2 + y 2

xy 2

x 2 + y 2

= 0 , suy ra

lim

(x,y)→(0,0)

xy 2

x 2 + y 2 = 0 Vậy f (x, y) liên tục tại (0, 0) khi a = 0.

Định lý 1.1 (Định lý Weierstrass) Hàm số f liên tục trên một tập D đóng và bị chặn thì f bị chặn và đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

Định nghĩa 2.1 Cho hàm hai biến z = f (x, y) xác định trên miền D và (x 0 , y 0 ) ∈ D.

i) Nếu giới hạn lim

∆y tồn tại và hữu hạn thì

giới hạn này được gọi là đạo hàm riêng theo biến y của f (x, y) tại (x 0 , y 0 ) Kí hiệu: f y ′ (x 0 , y 0 ) hay f y (x 0 , y 0 ) hay ∂f (x 0 , y 0 )

Quy tắc tìm đạo hàm riêng

1 Để tìm đạo hàm riêng của z = f (x, y) theo biến x, ta coi z = f (x, y) là hàm một biến x, biến còn lại y là hằng số.

2 Để tìm đạo hàm riêng của z = f (x, y) theo biến y, ta coi z = f (x, y) là hàm một biến y, biến còn lại x là hằng số.

Ví dụ 2.1 Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:

Định lý 2.1 (Định lý Schwarz) Nếu hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng f xy ′′ và f yx ′′ và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại điểm (x, y) thì

Định nghĩa 2.3 Cho hàm z = f (x, y) và (x 0 , y 0 ) là điểm trong của miền

xác định Hàm f được gọi là khả vi tại (x 0 , y 0 ) nếu số gia toàn phần

∆f (x 0 , y 0 ) = f (x 0 + ∆x, y 0 + ∆y) − f (x 0 , y 0 )

có thể biễu diễn được ở dạng

∆f (x 0 , y 0 ) = A∆x + B∆y + ε 1 ∆x + ε 2 ∆y trong đó A, B là các hằng số, ε 1 và ε 2 → 0 khi (∆x, ∆y) → (0, 0).

Định lý 2.2 Nếu hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng ∂f ∂x , ∂f ∂y liên tục

tại (x 0 , y 0 ) thì z = f (x, y) khả vi tại (x 0 , y 0 ) và ∂f (x 0 ,y 0 )

∂x = A, ∂f (x 0 ,y 0 )

Định nghĩa 2.4 Đại lượng df (x 0 , y 0 ) = f x ′ (x 0 , y 0 )∆x + f y ′ (x 0 , y 0 )∆y gọi là

vi phân của hàm z = f (x, y) tại (x 0 , y 0 )

Vì dx = ∆x, dy = ∆y nên

df (x 0 , y 0 ) = f x ′ (x 0 , y 0 )dx + f y ′ (x 0 , y 0 )dy

21

Định nghĩa 2.5 Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần dz của hàm số

z = f (x, y) được gọi là vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số z = f (x, y) và được ký hiệu là d 2 z hoặc d 2 f

f x ′ = f u ′ u ′ x + f v ′ v x ′ hoặc ∂f ∂x = ∂f ∂u ∂u ∂x + ∂f ∂v ∂v ∂x

f y ′ = f u ′ u ′ y + f v ′ v y ′ hoặc ∂f ∂y = ∂f ∂u ∂u ∂y + ∂f ∂v ∂v ∂y

Ví dụ 2.7 Cho f = f (u, v) = e uv , u(x, y) = x 2 + y 2 , v(x, y) = xy

Tính f x ′ , f y ′

27

∂x ,

df

dx

28

Định nghĩa 2.7 Cho phương trình F (x, y) = 0 Nếu tồn tại một ánh xạ

y = y(x) sao cho F (x, y(x)) = 0 thì ta nói y = y(x) là hàm ẩn xác định bởi F

Định nghĩa 2.8 Cho phương trình F (x, y, z) = 0 Nếu tồn tại một ánh xạ

z = z(x, y) sao cho F (x, y, z(x, y)) = 0 thì ta nói z = z(x, y) là hàm ẩn xác

định bởi F Đạo hàm của hàm ẩn

Định nghĩa 3.1 Cho (x 0 , y 0 ) thuộc miền xác định D ⊆ R 2 của z = f (x, y).

1 f (x, y) đạt cực tiểu (địa phương) tại (x 0 , y 0 ) nếu tồn tại lân cận V ⊆ D

Định nghĩa 3.2 Cho (x 0 , y 0 ) thuộc miền xác định D ⊆ R 2 của z = f (x, y).

1 f (x, y) đạt cực tiểu toàn cục (giá trị nhỏ nhất) tại (x 0 , y 0 ) nếu

f (x, y) ≥ f (x 0 , y 0 ) ∀(x, y) ∈ D

2 f (x, y) đạt cực đại toàn cục (giá trị lớn nhất) tại (x 0 , y 0 ) nếu

f (x, y) ≤ f (x 0 , y 0 ) ∀(x, y) ∈ D

31

Định nghĩa 3.3 (Điểm dừng) Điểm (x 0 , y 0 ) ∈ R 2 được gọi là điểm

dừng của hàm số z = f (x, y) nếu z = f (x, y) có tất cả các đạo hàm riêng cấp một bằng 0 tại (x 0 , y 0 )

Định lý 3.1 (Điều kiện cần của cực trị) Nếu hàm số z = f (x, y) đại cực trị tại (x 0 , y 0 ) và có các đạo hàm riêng tại (x 0 , y 0 ) thì (x 0 , y 0 ) là điểm

Định nghĩa 3.4 (Tập lồi) Cho D ⊆ R 2 D được gọi là tập lồi nếu với mọi x và y thuộc D và với mọi t trong khoảng [0, 1], điểm

Định nghĩa 3.5 Hàm số z = f (x, y) được gọi là hàm lồi trên tập lồi

Định nghĩa 3.7 Hàm số z = f (x, y) được gọi là hàm lõm trên tập lồi

Định lý 3.3 Cho hàm số z = f (x, y) và miền xác định D là tập lồi Đặt

trong đó p A và p B lần lượt là giá bán (USD trên 1 cân) của A và B Hãy xác

định giá bán của mỗi sản phẩm để tối đa hóa doanh thu P của công ty.

38

Định nghĩa 3.9 Cực trị của hàm số z = f (x, y) với điều kiện là các biến

x, y phải thỏa mãn ràng buộc cho bởi phương trình ϕ(x, y) = a được gọi là

cực trị có điều kiện (hay cực trị có ràng buộc).

Tìm cực trị của z = f (x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = a bằng

phương pháp khử

1 Chuyển hàm ϕ(x, y) = a về hàm theo biến x (hoặc y) và thay vào hàm

z = f (x, y) Khi đó, z = f (x, y) trở thành hàm 1 biến theo x (hoặc y).

2 Sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm 1 biến, ta tìm được cực trị

của f (x) (hoặc f (y)).

Giả sử f (x) có đạo hàm cấp 1,2 trên (a, b) chứa điểm dừng x 0 với

f ′ (x) = 0

Nếu f ′′ (x 0 ) < 0 =⇒: f (x) đạt cực đại tại x 0

Nếu f ′′ (x 0 ) > 0 =⇒: f (x) đạt cực tiểu tại x 0

3 Kết luận cực trị của hàm 2 biến.

Ví dụ 3.3 Khảo sát cực trị các hàm số sau: f (x, y) = xy với điều kiện

x + y = 1

39

Tìm cực trị của z = f (x, y) với điều kiện φ(x, y) = a bằng



41

2 =⇒ x =

√ 2

2 , y =

√ 2 2

λ =

√ 2

2 =⇒ x = −

√ 2

2 , y = −

√ 2 2

3 Các đạo hàm riêng L ′′ xx = 2λ , L ′′ yy = 2λ , L ′′ xy = 0 và φ ′ x = 2x , φ ′ y = 2y

42

2 , ta được

d 2 L = 2λ dx 2 + dy 2
< 0

=⇒ f đạt cực đại tại 

√ 2

2 ,

√ 2

2 ; −

√ 2 2

2 , ta được

d 2 L = 2λ dx 2 + dy 2
> 0

=⇒ f đạt cực tiểu tại  −

√ 2

2 , −

√ 2

2 ;

√ 2 2



và f CT = − √

2

43

i) Nếu định thức