Vi phân toàn phần

Vi phân toàn phần 1... Đạo hàm hàm hợp... Đạo hàm hàm ngược.

Vi phân toàn phần

1 Vi phân cấp một

1 Cho f : D  ℝ và A(a, b)  D0

 Quan hệ hàm – biến

x = x – a, y = y – b và f = f(x, y) – f(a, b)

 Hàm f là khả vi tại A 

f = x + y + .()

,   ℝ,  = ∆ + ∆ , ()

∆ →⎯⎯⎯ 0

 Vi phân toàn phần

df(a, b) = x + y

Ví dụ Khảo sát tính khả vi của f(x, y) = xy tại A(1, 2)

Giải

 x = x – 1, y = y – 2

f = xy – 2

= 2(x – 1) + (y – 2) + (x – 1)(y – 2)

= 2x + y + .()

| () | = |∆ ∆ |

∆ 2+∆ 2  ||

∆ →⎯⎯⎯ 0

 Hàm f khả vi tại điểm A

df(1, 2) = 2x + y

2 (Định lý cơ bản) Cho f : D  ℝ và A  D0

1) f khả vi   DHR

2)  DHR liên tục  khả vi

 df(x, y) = +

3 Cho f : D  ℝ

 Hàm f khả vi trên D  khả vi  X  D

 Vi phân cấp một

df : D  ℝ, (x, y)  df(x, y)

4 Các tính chất như vi phân một biến

1) f khả vi  liên tục

2) f  C1  khả vi

3) Các qui tắc tính như vi phân một biến

4) Hàm sơ cấp khả vi bên trong D

Ví dụ Tính vi phân toàn phần của

f(x, y) = x3 + y3 – 3xy

Giải

 f  C1(D = ℝ2)

= 3x2 – 3y, = 3y2 – 3x

df = (3x2 – 3y)dx + (3y2 – 3x)dy

 Tại A(1, 2)

(1, 2) = –3, (1, 0) = 9

df(1, 0) = –3dx + 9dy

2 Vi phân cấp cao

1 Cho f : D  ℝ

 Vi phân cấp hai d2 f(X) = d{ df(X) }

 Vi phân cấp n dn f(X) = d{ d(n–1)f(X) }

2 Cho f : D  ℝ

1) f  C2  khả vi cấp 2

d2f(x, y) = dx2 + 2 dxdy + dy2

= + ( , ) 2) f  Cn  khả vi cấp n

3) Các qui tắc tính như vi phân một biến

4) Hàm sơ cấp khả vi mọi cấp bên trong D

Ví dụ Tính vi phân cấp cao của

f(x, y) = x3 + y3 – 3xy

Giải

 f  C(D = ℝ2)

= 3x2 – 3y, = 3y2 – 3x

= 6x, = –3, = 6y

= 6, = = 0, = 6

f(4) = 0,

 df = (3x2 – 3y)dx + (3y2 – 3x)dy

d2f = 6xdx2 – 6dxdy + 6ydy2

d3f = 6dx3 + 6dy3

d4f = 0,

3 (Công thức Taylor) Cho f  Cn+1(D, ℝ) và A  D0

 H  ℝ2 : [A, A + H]  D

f(A + H) = f(A) + df(A)(H) + d2f(A)(H2) +

+ +

!dnf(A)(Hn) + o(|| H ||n)

3 Ứng dụng vi phân

1 Đạo hàm hàm hợp

 z = f(u, v) và u = u(x, y), v = v(x, y)

 z = f(u(x, y), v(x, y)) = g(x, y)

 f, u, v  C1  g  C1

dz = z’u du + z’v dv

du = u’x dx + u’y dy, dv = v’x dx + v’y dy

dz = z’u ( ) + z’v( ) = ( )dx + ( )dy

= z’x dx + z’y dy

2 Đạo hàm hàm ẩn

 f(x, y, z) = 0  z = (x, y)

 f  C1, f’z  0    C1

df = f’x dx + f’y dy + f’z dz = 0

dz = ( )dx + ( )dy = z’x dx + z’y dy

 z = z(x, y)

dz = A.dx + B.dy  z’x = A, z’y = B

Ví dụ Cho f  C1 Tìm đạo hàm hàm ẩn z = z(x, y) xác định bởi f(x + z, y – z) = 0

Giải

 f , u = x + z, v = y – z  C1

df = f’u du + f’v dv = 0

f’u(dx + dz) + f’v(dy – dz) = 0

(f’u – f’v)dz = f’udx + f’vdy

 f’u – f’v  0

 = , =

3 Đạo hàm hàm ngược

 f : D  ℝ2, (x, y)  (u = u(x, y), v = v(x, y))

 u, v  C1 và Jf = ′ ′

′ ′  0

= ′ + ′

= ′ + ′

 = (… ) + (… )

= (… ) + (… )

= ′ + ′

 f–1 : E  D  ℝ2, (u, v)  (x, y)

x, y  C1 và Jf–1 = |… | = (Jf)–1

Ví dụ Cho u, v  C1 và u = x2 – y2, v = xy Tìm đạo hàm của x(u, v), y(u, v)

Giải

 Jf = 2 −2 = 2(x2 + y2)  0  (x, y)  (0, 0)

 = 2 − 2

= +



=

( ) +

=

( ) +

 x’u =

( ) , x’v =

y’u =

( ) , y’v =