Các đường bậc hai 1... Các mặt bậc hai 1.
Trang 1Hình vi phân
1 Hình phẳng
1 Đường cong
1 Cho = (Oxy) M(x, y)
Maple (1)
2 (Phương trình tham số) Cho x, y C1(I)
x = x(t), y = y(t) , t I (TS)
⃗ = (x’(t), y’(t)) 0⃗
Tiếp tuyến D = M + vect( ⃗)
Pháp tuyến P = M + ( ⃗)
Tại t =
M(a = x(), b = y()) , ⃗(A = x’(), B = y’())
= + , u ℝ (PT) A(X – a) + B(Y – b) = 0
Ví dụ Khảo sát đường cong
x = t + t2, y = t – t2 tại t = 1
Giải
Maple (2) Các hàm (x, y) C1(ℝ)
⃗ = (1 + 2t, 1 – 2t)
Tại t = 1
M(2, 0) , ⃗ = (3, –1)
⃗
A
⃗
Trang 2(TT) X = 2 + 3u, Y = – u , u ℝ
(PT) 3(X – 2) – (Y – 0) = 0 3X – Y – 6 = 0
3 (Phương trình chính tắc) Cho y C1(I)
1) y = y(x) , x I (CT)
⃗ = (1, y’(x)) 0⃗
Tại x = a
M(a = x, b = y(a)) , ⃗ (A = 1, B = y’(a))
= + , u ℝ (PT) (X – x) + B(Y – y) = 0
2) x = x(y) , y I
Ví dụ Khảo sát đường parabole
y = x2 tại x = 1
Giải
Maple (3) Hàm y C1(ℝ)
⃗ = (1, 2x)
Tại x = 1
M(1, 1) , ⃗ = (1, 2)
(TT) X = 1 + u, Y = 1 + 2u , u ℝ
(PT) (X – 1) + 2(Y – 1) = 0
4 (Phương trình tổng quát) Cho f C1(D)
⃗ = (f’x, f’y) 0⃗
Tiếp tuyến D = M + ( ⃗)
Pháp tuyến P = M + vect( ⃗)
Tại (x = a, y = b)
Trang 3M(a = x, b = y) , ⃗(A = f’x(M), B = f’y(M)) (TT) A(X – a) + B(Y – b) = 0
= + , u ℝ
Ví dụ Khảo sát đường hyperbole
x2 – y2 = 1 tại A(√2, 1)
Giải
Maple (4)
f(x, y) = x2 – y2 – 1 = 0, f C1(ℝ2)
⃗(x, y) = (2x, –2y)
Tại x = √2, y = 1
M(√2, 1) , ⃗ (2√2, –2) // (√2, –1)
(TT) √2(X – √2) – (Y – 1) = 0
(PT) X = √2 + √2.u , Y = 1 – u , u ℝ
5 (Phương trình tọa độ cực) Chuyển qua tham số
r = r() x = r()cos() = x(φ)
y = r()sin() = y(φ), I
2 Các đường bậc hai
1 Cho (O, ⃗, ⃗) Tập điểm M(x, y) thoả
(C) a11 x2 + a22 y2 + 2a12 xy + a1 x + a2 y + a0 = 0
DL (O, ⃗, ⃗)
(C) 1x2 + 2y2 + b1x + b2y + b0 = 0
2 Các 1,2 cùng dấu : (, ⃗, ⃗)
(E) + = với = –1, 0, 1
Trang 43 Các 1,2 khác dấu : (, ⃗, ⃗)
(H) − = với = –1, 0, 1
4 Các 1 = 0, 2 0, b1 0 : (, ⃗, ⃗)
(P) y2 = 2px với p 0
5 Các 1 = 0, 2 0, b1 = 0 : (, ⃗, ⃗)
(T) y2 = với = –1, 0, 1
Maple (5)
2 Hình không gian
1 Mặt cong
1 Cho S (Oxyz) M(x, y, z) S
2 (Phương trình tham số) Cho (x, y, z) C1(D)
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) (TS)
⃗u = (x’u, y’u, z’u) và ⃗v = (x’v, y’v, z’v)
⃗ = ⃗u ⃗v = (D1, D2, D3) 0⃗
Pháp tuyến D = M + vect( ⃗)
Tiếp diện P = M + ( ⃗)
Tại (u = , v = )
M(a = x(, ), b = y(, ), c = z(, ))
⃗ (A = D1(, ), B = D2(, ), C = D3(, ))
M
⃗
Trang 5(PT)
với t ℝ
(TD) A(X – a) + B(Y – b) + C(Z – c) = 0
Ví dụ Khảo sát mặt cong tại điểm (u = 1, v = 1)
x = u + v2, y = u2 + v, z = uv
Giải
Maple (1) Hàm ⃗ C1
(ℝ2)
⃗u = (1, 2u, v), ⃗v = (2v, 1, u)
⃗u ⃗v = (2u2
– v, 2v2 – u, 1 – 4uv)
Tại (u = 1, v = 1)
M(2, 2, 1), ⃗ (1, 1, –3)
(PT) x = 2 + t, y = 2 + t, z = 1 – 3t với t ℝ (TD) (x – 2) + (y – 2) – 3(z – 1) = 0
3 (Phương trình chính tắc) Cho z C1(D) 1) z = z(x, y) , (x, y) D (CT)
⃗ = (–z’x, –z’y, 1)
Tại (x = a, y = b)
M(a, b, c = z(a, b))
⃗ (A = –z’x(a, b), B = –z’y(a, b), C = 1)
(PT)
với t ℝ
(TD) A(X – a) + B(Y – b) + C(Z – c) = 0 2) Tương tự
x = x(y, z) , (y, z) D
y = y(z, x) , (z, x) D
Trang 6Ví dụ Khảo sát mặt parabole
z = x2 – y2 tại (x = 1, y = 1)
Giải
Maple (2) (x, y, z) C1(ℝ2)
⃗ = (–2x, 2y, 1)
Tại (x = 1, y = 1)
M(1, 1, 0) và ⃗ (–2, 2, 1)
(PT) x = 1 – 2t, y = 1 + 2t, z = t với t ℝ
(TD) –2(x – 1) + 2(y – 1) + (z – 0) = 0
4 (Phương trình tổng quát) Cho f C1()
⃗ = (f’x, f’y, f’z) 0⃗
Tại (x = a, y = b, z = c)
M(a, b, c)
⃗ (A = f’x(a, b, c), B = f’y(a, b, c), C = f’z(a, b, c))
(PT)
với t ℝ
(TD) A(X – a) + B(Y – b) + C(Z – c) = 0
Ví dụ Khảo sát mặt hyperbole
x2 + y2 – z2 = 1 tại M(1, 1, 1)
Giải
Maple (3) f C1(ℝ3)
⃗ = ⃗(f) = (2x, 2y, –2z)
Tại (x = 1, y = 1, z = 1)
M(1, 1, 1), ⃗ (2, 2, –2)
(PT) x = 1 + 2t, y = 1 + 2t, z = 1 – 2t với t ℝ
(TD) 2(x – 1) + 2(y – 1) – 2(z – 1) = 0
Trang 72 Các mặt bậc hai
1 Trong (O, ⃗, ⃗, ⃗) Tập các điểm M(x, y, z)
(S) a11x2 + a22y2 + a33z2 +
+ 2(a12xy + a23yz + a13zx) +
+ a1x + a2y + a3z + a0 = 0
DL (O, ⃗, ⃗, ⃗)
(S) 1x2 + 2y2 + 3z2 + b1x + b2y + b3z + b0 = 0
2 Các 1,2,3 cùng dấu : (, ⃗, ⃗, ⃗)
(E) + + = với = –1, 0, 1
3 Các 3 khác dấu 1,2 : (, ⃗, ⃗, ⃗)
(H) + − = với = –1, 0, 1
4 Trường hợp 1,2 0, 3 = 0, b3 0 : (, ⃗, ⃗, ⃗) (P) ± = 2pz với p 0
5 Trường hợp 3 = b3 = 0 : (, ⃗, ⃗, ⃗)
a) 1,2 0
(S) ± = với = –1, 0, 1
b) 1 0, 2 = 0, b2 0
(C) x2 = 2py với p 0
c) 1 0, 2 = 0, b2 = 0
(P) x2 = với = –1, 0, 1
Maple (4)
Trang 83 Đường xoắn
1 (Phương trình tham số) Cho x, y, z C1(I)
x = x(t), y = x(t), z = z(t) , t I (TS)
⃗ = (x’(t), y’(t), z’(t)) 0⃗
Tiếp tuyến D = M + vect( ⃗)
Pháp diện P = M + ( ⃗)
Tại t =
M(a = x(), b = y(), c = z())
⃗ (A = x’(), B = y’(), C = z’())
(TT)
với u ℝ
(PD) A(X – a) + B(Y – b) + A(Z – c) = 0
Ví dụ Khảo sát đường ốc trụ
x = √2cost, y = √2sin t , z = t tại t =
Giải
Maple (1) Các hàm (x, y, z) C1(ℝ)
⃗ = (–√2sint, √2cos t, 1)
Tại t =
M(1, 1, ) và ⃗ = (–1, 1, 1)
(TT) X = 1 – u, Y = 1 + u, X = + u với u ℝ (PD) –(X – 1) + (Y – 1) + (Z – ) = 0
2 (Phương trình chính tắc) Cho (y, z) C1(I)
y = y(x), z = z(x) , x I (CT)
⃗ = (1, y’(x), z’(x))
Trang 9 Tại điểm x = a
M(a, b = y(a), c = z(a))
⃗(A = 1, B = y’(a), C = z’(a))
(TT)
với u ℝ
(PD) (X – a) + B(Y – b) + A(Z – c) = 0
2) Tương tự
z = z(y), x = x(y) , y I
x = x(z), y = y(z) , z I
Ví dụ Khảo sát đường cong
y = x2 và z = x3 tại x = 1
Giải
Maple (2) Các hàm (y, z) C1(ℝ)
⃗ = (1, 2x, 3x2
)
Tại x = 1
M(1, 1, 1) và ⃗ = (1, 2, 3)
(TT) X = 1 + u, Y = 1+ 2u, Z = 1 + 3u với u ℝ (PD) (X – 1) + 2(Y – 1) + 3(Z – 1) = 0
3 (Phương trình tổng quát) Cho f, g C1()
( , , ) = 0
⃗ = ⃗ (f) ⃗ (g) = (D1, D2, D3)
Tại (x = a, y = b, z = c)
M(a, b, c)
⃗ (A = D1(a, b, c), B = D2(a, b, c), C = D3(a, b, c))
(TT)
với u ℝ
Trang 10(PD) A(X – a) + B(Y – b) + A(Z – c) = 0
Ví dụ Khảo sát đường cong
+ = 2 tại M(a, b > 0,√2)
Giải
Maple (3) Các hàm f, g C1(ℝ)
⃗(f) = (2x, 2y, 2z)
⃗(g) = (2x – 2, 2y, 0) ⃗ = ⃗ (f) ⃗ (g) = (– 4yz, 4yz – 4z, 4y)
Tại (x = a, y = b, z = √2)
+ = 2 a = 1, 0 < b = 1 M(1, 1, √2) và ⃗ (–4√2, 0, 4) // (–√2 , 0, 1)
(TT) x = 1 – √2t, y = 1, z = √2 + t với t ℝ
(PD) –√2(x – 1) + 0(y – 1) + (z – √2) = 0