Tính chất Parametrix của lớp toán tử giả vi phân loại Elliptic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2LÊ HỒNG QUÂN TÍNH CHẤT PARAMETRIX CỦA LỚP TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN LOẠI ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017... BỘ GIÁO DỤC VÀ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ HỒNG QUÂN

TÍNH CHẤT PARAMETRIX CỦA LỚP TOÁN TỬ

GIẢ VI PHÂN LOẠI ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ HỒNG QUÂN

TÍNH CHẤT PARAMETRIX CỦA LỚP TOÁN TỬ

GIẢ VI PHÂN LOẠI ELLIPTIC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Bùi Kiên Cường

Hà Nội, 2017

Mục lục

Mở đầu 1

Lý do chọn đề tài 1

Mục đích nghiên cứu 4

Nhiệm vụ nghiên cứu 4

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5

Phương pháp nghiên cứu 5

Cấu trúc luận vă 5

Dự kiến đóng góp của đề tài 5

Chương 1 Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị 6

1.1 Hàm trong Rn 6

1.2 Tích phân Lebesgue và không gian Lp 8

1.3 Biến đổi Fourier 12

1.4 Không gian các hàm số giảm nhanh S(Rn) 14

1.5 Không gian Fréchet 16

1.6 Phép biến đổi Fourier ngược và công thức Parseval 18

1.7 Hàm suy rộng tăng chậm và biến đổi Fourier 20

Chương 2 Tính chất parametrix của lớp toán tử giả vi phân elliptic 23

2.1 Biểu trưng và các tính chất cơ bản 23

2.2 Về hợp thành các toán tử giả vi phân 28

2.3 Tích phân dao động 30

2.4 Biểu trưng kép 36

2.5 Sự hợp thành của hai toán tử giả vi phân 40

2.6 Các toán tử giả vi phân elliptic và parametrix 42

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường đã tận tình hướng dẫn để em

có thể hoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô củatrường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốtquá trình học tập tại trường

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Lê Hồng Quân

Lời cam đoan

Dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường luận văn Thạc sĩchuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Tính chất Parametrix củamột lớp toán tử giả vi phân elliptic" được hoàn thành bởi sự nhậnthức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác

Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Tôi cũng xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn

đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 06 năm 2017

Tác giả

Lê Hồng Quân

liên tục trên đoạn [a, b]

B (a, r) hình cầu mở tâm a bán kính r

B (a, b) hình cầu đóng tâm a bán kính rkxk chuẩn của vectơ x

bd(S) biên của S

conv(S) bao lồi của S

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Một trong những ý tưởng hàng đầu trong lý thuyết toán tử giả viphân là đưa việc nghiên cứu các tính chất của một toán tử đạo hàmriêng tuyến tính

|α|≤m

cα(x)∂xα

có dạng một đa thức theo các đạo hàm ∂x = (∂x1, , ∂xn) với các hệ

số cα không đổi phụ thuộc x thành nghiên cứu biểu trưng của nó được

Công cụ chủ yếu trong lý thuyết này là biến đổi Fourier

với ζ ∈ Rn cố định, ở đó (·, ·) là tích vô hướng trên L2(Rn) Vì thếb

f (ζ) có thể được hiểu như là sự đóng góp của dao động phức x → eix.ζ

để thành một hàm theo biến ζ = (ζ1, , ζn) ∈ Rn mô tả tần số củadao động

Biết biến đổi Fourier g(ζ) = bf (ζ) của hàm f có thể được xây dựnglại nhờ sự giúp đỡ của biến đổi Fourier ngược

với hàm nằm trong phép hàm biến đổi Fourier Vì thế ta định nghĩa:

Qf := F−1

hp(ζ)−1f (ζ)ˆ

ˆ

f (ζ)dζvới giả thiết p(ζ) 6= 0 với mọi ζ ∈ Rn Khi đó thì

F [Qf ] = p(ζ)−1f (ζ)ˆvì

F F−1 = I (Công thức nghịch đảo)

và vì thế:

P Qf = F−1[p(ζ)F [Qf ]] = F−1

hp(ζ)p(ζ)−1fˆ

i

= F−1h ˆf (ζ)i

= ftức là Q là ngược của P Dĩ nhiên, Q không là toán tử vi phân, nó thuộcvào lớp toán tử giả vi phân, mà ta định nghĩa bởi

Trong trường hợp hệ số của P phụ thuộc trong x, biến đổi ngược của

P là không dễ dàng Nếu ta định nghĩa tương tự như trường hợp hệ sốkhông đổi:

ˆ

f (ζ)dζthì

ˆ

f (ζ)dζBởi vì trong quy tắc nhân:

ở đó số dư r(x, ζ) bao gồm số hạng trong đó p(x,ζ)1 là khả vi theo biến x

ít nhất là một lần Vì thế

P Qf = I + r(x, Dx)trong đó r(x, Dx) 6= 0 nếu p(x, ζ) là không độc lập với x Nhưng trongmột nghĩa nào đó r(x, Dx) có bậc thấp (bậc nhỏ hơn 0) và không đóngvai trò quan trọng

Đến nay các dự đoán đã được thực hiện chính thức và được chínhxác hóa và chứng minh một cách đầy đủ, tạo thành lý thuyết, gọi là lýthuyết giả vi phân Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi trình bàycác kết quả nghiên cứu sự hợp thành, tính chất parametrix của toán tửgiả vi phân elliptic

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm một báo cáo tổng quan thể hiện đầy đủ mục đích nghiên cứu,nội dung và phương pháp nghiên cứu Báo cáo có thể là một tài liệutham khảo tốt cho những người quan tâm về lý thuyết toán tử giả viphân elliptic

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Các không gian hàm, các phép biến đổi trênkhông gian hàm: biến đổi Fourier,

+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoàinước liên quan đến các đối tượng nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, phươngpháp nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề

+ Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là cáctài liệu trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm hai chương , cụ thể gồm các chương như sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Tính chất parametrix của lớp toán tử giả vi phân elliptic

7 Đóng góp của đề tài

Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về lý thuyết toán

tử giả vi phân trên Rn, đặc biệt là tính chất parametrix của lớp toán tửgiả vi phân elliptic

Chương 1 Một số khái niệm và kết quả chuẩn

số đơn giản là kí hiệu cho C, mặc dù nó có thể thay đổi từ dòng nàysang dòng tiếp theo

Chúng ta sẽ sử dụng các đa chỉ số, một đa chỉ số là một vec tơ

α = (α1, , αn) ∈ Nn0 Với α ∈ Nn0 chúng ta định nghĩa độ dài của α là

|α| = α1 + + αn và giai thừa của nó α! = α1! αn!

Đa chỉ số được sử dụng để viết các đa thức cho x ∈ Nn0 và α ∈ Nn0

tổng đối với tất cả đa chỉ số α ∈ Nn0 có độ dài |α| ≤ m Hơn nữa, nếu

α, β ∈ Nn0 ta viết α ≤ β nếu và chỉ nếu αj ≤ βj với mọi j = 1, , n

Hệ số nhị thức được định nghĩa bởi:



αβ



+



n

(x + y)α = X

β≤α



αβ

k=0Cbk(Rn) Ta có Cbk(Rn) là không gian Banachtrang bị cùng chuẩn: kf k Cbk = sup

|α|≤k

sup

x∈R n

|∂αf (x)|

Nhắc lại: Một hàm f : Rn → R là khả tích Lebesgue’s hay khả tíchnếu f là đo được và

Ngoài ra, nếu (1.1) thỏa mãn, f+ := max {f, 0} và f− := max {−f, 0}

là các hàm không âm với tích phân hữu hạn và:

kf k1 :=

Z

Rn

|f (x)| dx

L1(Rn) là đủ với chuẩn k·k1 nếu hàm số khác nhau trên một tập của độ

đo không là coi đồng nhất

Trong hầu hết các hàm số đề cập dưới đây sẽ ít nhất là liên tục, một

số trường hợp khả vi vô hạn Nếu f và g liên tục và f = g hầu hếtkhắp nơi Tức là, chúng khác nhau trên một tập của độ đo không, thì(x) = g(x) với mọi x ∈ Rn

Bởi vậy chúng ta không cần chú ý vào các tập có độ đo không, trong

đó các hàm có thể khác nhau nếu chúng ta chỉ tập trung vào các hàm

1 Với mọi x ∈ Rn hàm số t 7→ f (x, t) là liên tục theo t

2 Với mọi t ∈ U hàm số x 7→ f (x, t) là khả tích trên Rn

3 Có một F ∈ L1(Rn) sao cho |f (x, t)| ≤ F (x) hầu hết tất cả x ∈ Rn

Định lý 1.4 Cho I ⊂ R là một khoảng mở và f : Rn× I → C sao cho:

1 Với mỗi x ∈ Rn thì hàm số t 7→ f (x, t) là khả vi trên I

2 Với mỗi t ∈ I thì hàm số x 7→ f (x, t) là tích phân trên Rn

Bổ đề 1.1 Cho s > n Thì hxi−s ∈ L1

(Rn) và (1 + |x|)−s ∈ L1

(Rn)Chúng ta sẽ sử dụng định lý đổi biến trong các trường hợp sau:R

RnR (Φ(x) |detDΦ(x)| dx = R

Rnf (y)dy cho tất cả f ∈ L1(Rn) và C1 - viđồng phôi Φ : Rn → Rn Đặc biệt, chúng ta có:

Z

Rn

Z(Ax + b) |det A| dx =

Z

Rn

f (y)dyvới mọi f ∈ L1(Rn), b ∈ Rn và A ∈ Rn×n mà det A 6= 0

Chúng ta sử dụng không gian Lp(Rn), 1 ≤ p < ∞ bao gồm tất cảhàm số đo được f : Rn → C , sao cho

kf k2 = p(f, f )(f, g) ≡ (f, g)L2 (R n ) =

Z

Rn

f (x)g(x)dxTích L2−vô hướng sẽ đóng một vai trò cơ bản

Một không gian con quan trọng trong không gian Lp(Rn) là C0∞(Rn)

là bộ tất cả hàm f : Rn → C trơn vô hạn với giá compact

supp f := {x ∈ Rn : f (x) 6= 0}

Bổ đề 1.2 Cho 1 ≤ p < ∞ Thì C0∞(Rn) là một trù mật trong Lp(Rn).Tức là cho mọi f ∈ Lp(Rn) là một dãy fk ∈ C0∞(R0n) khi lim

k→∞kf − fkkp =

0 Như vậy C0∞(Rn)k.kp

= Lp(Rn)

1.3 Biến đổi Fourier

Cho f ∈ L1(Rn) Chúng ta có biến đổi Fourier của f bởi

L1(Rn) đối với x và (1.4) được xác định

Nếu f ∈ L1(Rn) là khả vi liên tục và ∂if ∈ L1(Rn) với mọi j = 1, , nthì bf (ξ) và ξjf (ξ) là hàm số bị chặn Vì thếb

(1 + |ξ|)

f (ξ)b

≤ C ⇔

f (ξ)b

... L2(Rn) toán tử bị chặn Rj gọi tốn tử Riesz

Nó biểu diễn dạng tích phân

(Rn) tốn tử

là ví dụ điển hình tốn tử tích phân suy biến Nếu n... tốn tử ngựơc −∆ cho toán tử (−∆)−1f =

Trong Rj, Rk tốn tử. .. S0(Rn) định nghĩabởi

hδ, ϕi := ϕ (0) ; ϕ ∈ S (Rn)Một tính chất quan trọng hàm suy rộng chúng đượclấy vi phân vô hạn

Định nghĩa 1.5 Cho f ∈ S0(Rn)