Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu qua dưới vi phân suy rộng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ NHÀN ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ NHÀN

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU QUA DƯỚI

VI PHÂN SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2015

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sựgiúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin tríchdẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Người viết luận văn

Trần Thị Nhàn

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Đỗ Văn Lưu Qua đây,tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoahọc của mình, PGS TS Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn trong suốtquá trình nghiên cứu của tác giả Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn cácthầy cô trong khoa Toán, khoa Sau đại học - Trường Đại học sư phạm, Đại họcThái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành bản luận văn này Tácgiả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong lớp Cao học Toán K21b,

đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn

Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được

sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Người viết luận văn

Trần Thị Nhàn

thiểu 101.2 Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu 13

2 Điều kiện chính quy và điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker 242.1 Điều kiện chính quy và điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker 242.2 Điều kiện đủ cho cực tiểu Pareto yếu 28Kết luận 30Tài liệu tham khảo 31

Mở đầu

1 Lý do chọn luận văn

Năm 1994, Demyanov [5] đã đưa ra khái niệm dưới vi phân suy rộng compăclồi Khái niệm này là một tổng quát hoá của khái niệm lồi trên và lõm dưới (xem[6]) Các khái niệm dưới vi phân suy rộng đóng, không lồi và Jacobian xấp xỉ

được đề xuất bởi Jeyakumar và Luc trong [9] và [10] Khái niệm dưới vi phânsuy rộng là tổng quát hoá của một số các khái niệm dưới vi phân đã biết củaClarke [4], Michel-Penot [17], Mordukhovich [18] Một điều kiện cần Fritz Johncho cực tiểu yếu của bài toán quy hoạch đa mục tiêu dưới ngôn ngữ Jacobianxấp xỉ được đưa ra bởi Luc [12] Điều kiện cần tối ưu Fritz John cho cực tiểuyếu dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng được đưa ra bởi Dutta- Chandra [7,8]cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với các ràng buộc bất đẳng thức Điều kiện cầncho cực tiểu yếu và cực tiểu Pareto được đưa ra bởi Luu [15] với các ràng buộc

đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập

Dựa trên định lí Ljusternik mở rộng của Jiménez-Novo (2002), D.V.Luu(2014) đã thiết lập các điều kiện tối ưu cho cực tiểu Pareto yếu của bài toántối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập dướingôn ngữ dưới vi phân suy rộng (convexificator) Đây là đề tài đang được nhiềutác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Chính vì thế em chọn đề tài :

“Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu quadưới vi phân suy rộng”

2 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm và đọc tài liệu từ các sách, tạp chí toán học trong nước và quốc tếliên quan đến điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véc tơ Qua đó, tìm hiểu vànghiên cứu về vấn đề này.

3 Mục đích của luận văn

Luận văn trình bày các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu dưới ngônngữ dưới vi phân suy rộng trong bài báo của D V Lưu đăng trong tạp chí Journal

of Optimization Theory and Applications, Vol 160 (2014), pp 510-526

4 Nội dung của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, 2 chương, kết luận và danh mục các tài liệutham khảo

Chương 1: Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu

Trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân suy rộng và điều kiện cầnFritz John cho cực tiểu Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc

đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập với các hàm Lipschitz địa phương.Chương 2: Điều kiện chính quy và điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker

Trình bày các điều kiện chính quy và điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker chobài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộctập với các hàm Lipschitz địa phương dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng vớicác giả thiết về tính lồi suy rộng, các điều kiện cần tối ưu trở thành các điều kiện

đủ tối ưu

Chương 1

Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu

Trong chương 1 chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phânsuy rộng và điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu của bài toán tối ưu

đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập dưới ngônngữ dưới vi phân suy rộng Các kết quả trình bày trong chương này được thamkhảo trong [9], [14]

Nếu f+(¯x; v) = f−(¯x; v), thì giá trị chung đó được gọi là đạo hàm của hàm

f tại x¯ theo phương v và ký hiệu là f0(¯x; v) Hàm f gọi là khả vi theo phươngtại x¯ nếu tồn tại đạo hàm theo phương của nó tại x¯ theo mọi phương Nếu f làkhả vi Fréchet tại x¯ với đạo hàm Fréchet ∇f (¯x) thì f0(¯x; v) = h∇f (¯x, v)i

Theo [9] hàm f được gọi là có dưới vi phân suy rộng trên ∂∗f (¯x) (hay dưới

∂∗f (¯x)) tại x ∈¯ Rn nếu ∂∗f (¯x) (hay (∂∗f (¯x)) ⊆ Rn) là tập đóng và

Một tập đóng ∂∗f (¯x) ⊆ Rn được gọi là một dưới vi phân suy rộng của f tại x¯

nếu ∂∗f (¯x) đồng thời là dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f tại x¯

Theo [8] hàm f được gọi là có dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên

Tập {0; 1} là dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên của f tại x¯, cho nên

nó cũng là dưới vi phân suy rộng trên của f tại x¯ Tập {0} là dưới vi phân suyrộng dưới của f tại x¯

Theo [9], nếu xảy ra đẳng thức trong (1.1) thì ∂∗f (¯x) được gọi là dưới viphân suy rộng chính quy trên Với một hàm Lipschitz địa phương, dưới vi phân

Clarke và dưới vi phân Michel-Penot là những dưới vi phân suy rộng của f tại

¯

x (xem [9]) Hơn nữa với một hàm Lipschitz địa phương chính quy trong theonghĩa Clarke [4], dưới vi phân Clarke là một dưới vi phân suy rộng chính quytrên (xem [7]) Chú ý rằng, nếu hàm f có một dưới vi phân suy rộng chính quytrên tại x¯ thì nó cũng là dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên tại x¯, và do

đó nó được là dưới vi phân suy rộng trên tại x¯

tại x ∈ Q¯ theo tập lồi Q Khi đó,

hξ, x − ¯xi = f+(¯x; x − ¯x) ≤ 0

Theo [20], hàm thực mở rộngf có một dưới vi phân suy rộng dưới lồi∂∗f (x)

trên Qđược gọi là giả lồi tiệm cận dưới trên Qnếu với mỗi x, y ∈ Q,

Hàm giá trị thực mở rộng f có một dưới vi phân suy rộng∂∗f (¯x)tại x¯được gọi

là giả lồi tiệm cận tại x¯ theo Qnếu, với mỗi x ∈ Q ta có

2x, khi x ∈ (R\Q) ∩ [0, ∞[

Khi đó một dưới vi phân suy rộng của f tại 0 là ∂∗f (0) = 12; 1 và f là giảlồi tiệm cận tại 0 theo Q = R Một dưới vi phân suy rộng dưới của g tại 0 là

∂∗g(0) = 12; 2 và g là giả lồi tiệm cận dưới tại 0 theo Q = R.

Cho K là một nón lồi đóng trong Rn và

K∗ := {ξ ∈Rn : hξ, xi ≥ 0, ∀x ∈ K}

là nón cực không âm của K Cho f : Q ⊆ Rn → Rm và như vậy f =(f1, , fm) Giả sửfk có một dưới vi phân suy rộng∂∗fk(¯ tạix¯ Hàmf đượcgọi là giả lồi K - tiệm cận vô hướng tại x¯ theo Q nếu với mỗi λ ∈ K∗, hàm

λTf là giả lồi tiệm cận tại x¯trên Q

Các nón tiếp tuyến Bouligand và Clarke của tập C ⊆ Rn tại một điểm x ∈ C¯

1.1.2 Các dưới vi phân Clarke-Rockafellar, Clarke, Michel-Penot

Sau đây ta sẽ thấy rằng các dưới vi phân Clarke-Rockafellar, Clarke, Penot, đều là dưới vi phân suy rộng

Michel-Cho hàm f : Rn → ¯R là hữu hạn tại điểm x ∈ X Nếu f là nửa liên tụcdưới tại x thì dưới đạo hàm trên Clarke - Rockafellar của f tại x theo v đượcxác định bởi:

f↑(x, v) = lim sup

x 0 → f t↓0

x

inf

v 0 →v[f (x0 + tv0) − f (x0)] /t,

trong đó x0 → fx nghĩa là x0 → x và f (x0) → f (x)

Nếuf là nửa liên tục trên tại xthì dưới đạo hàm dưới Clarke-Rockafellar của

f tại x theo v được xác định bởi

f↓(x, v) = lim inf

x 0 →

t↓0fx sup

v 0 →v[f (x0 + tv0) − f (x0)] /t

Nếu f là liên tục tại x thì x0 → fx trong các định nghĩa trên trở thành x0 → x.Dưới gradient suy rộng trên và dưới của f tại x được cho bởi

fo(x, v) = lim inf

x 0 → x [f (x0 + tv) − f (x0)] /t

là các đạo hàm theo phương suy rộng trên và dưới Clarke củaf tạixtheo phương

v Dưới vi phân suy rộng Clarke được xác định bởi

1.1.3 Dưới vi phân suy rộng chính quy, dưới vi phân suy rộng tối thiểu

Rõ ràng từ định nghĩa ta thấy dưới vi phân suy rộng trên và dưới không duynhất Vì vậy trong phần này chúng ta sẽ trình bày các điều kiện về tính duy nhất

và tối thiểu của dưới vi phân suy rộng trên hoặc dưới Trước tiên ta trình bàykhái niệm dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới

Hàm f : Rn → R được gọi là có một dưới vi phân suy rộng chính quy trên

∂∗f (x) ⊆ Rn tại x nếu ∂∗f (x)là tập đóng và với mỗi v ∈ Rn,

f+(x, v) = sup

x ∗ ∈∂ ∗ f (x)

hx∗, vi

Tương tự, hàm f được gọi là có một dưới vi phân suy rộng chính quy dưới

∂∗f (x) ⊆ Rn tại x nếu ∂∗f (x) là tập đóng và với mỗi v ∈ Rn

dưới tại x0.

Chứng minh

Nếu f là khả vi Gâteaux tại x0 thì nó khả vi theo phương và đạo hàm Gâteaux

{f0(x0)} và là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới của f tại x0.Ngược lại, nếu f khả vi theo phương tại x0 và nếu ∂∗f (x0) là một dưới vi phânsuy rộng chính quy trên và dưới thì với mỗi v ∈ Rn

Do đó ∂∗f (x0) là tập một phân tử và vì vậy f khả vi Gâteaux tại x0 2

Ta nói rằng ∂∗f (x) là dưới vi phân suy rộng tối thiểu (trên/dưới) của f tại x

nếu không tồn tại một tập đóng C (x)trong Rn sao cho C (x) ⊂ ∂∗f (x) ,

C (x) 6= ∂∗f (x) và C (x) là một dưới vi phân suy rộng (trên/dưới) của f tại x

Ký hiệu tập các điểm cực biên của dưới vi phân suy rộng ∂∗f (x) của f tại

x là Ext (∂∗f (x))

Mệnh đề 1.1.3

Giả sử rằng f : Rn → R có một dưới vi phân suy rộng chính quy compăc trên

(dưới) ∂∗f (x) tại x Khi đó Ext (co (∂∗f (x))) là dưới vi phân suy rộng chínhquy trên (dưới) tối thiểu duy nhất của f tại x

Chúng ta chỉ ra rằng

Ext (co (∂∗f (x))) ⊆ A

Thật vậy hiển nhiên ta có

Ext (co (A)) ⊆ Ext (A)

Ta nói hàm f hữu hạn và liên tục tại x là chính quy trên tại x nếu với mỗi

v ∈ Rn,

f+(x, v) = f↑(x, v)

Tương tự hàm f là chính quy dưới tạix nếu với mỗi v ∈ Rn,

f−(x, v) = f↓(x, v)

Chú ý rằng, nếu f : Rn → R là Lipschitz địa phương trên Rn và nếu với mỗi

v ∈ Rn, f+(., v) [f−(., v)] là nửa liên tục trên [dưới], thì với mỗi x ∈ Rn và

v ∈ Rn,

f+(x, v) = fo(x, v) = f↑(x, v)f−(x, v) = fo(x, v) = f↓(x, v),

cho nên, f là chính quy trên [dưới] tại x (xem [6])

Nếu f↑(x, 0) > −∞ và nếu f là chính quy trên tại x thì ∂↑f (x) khác rỗng,lồi, đóng của Rn và với mỗiv ∈ Rn,

f+(x, v) = f↑(x, v) = sup

x ∗ ∈∂ ↑ f (x)

hx∗, vi

Do đó, ∂↑f (x) là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên của f tạix Tương

tự, nếuf↓(x, 0) < ∞vàf chính quy dưới tạixthì∂↓f (x)khác rỗng, lồi, đóngcủa Rn và với mỗi v ∈ Rn,

f−(x, v) = f↓(x, v) = inf

x ∗ ∈∂ ↓ f (x)

hx∗, vi

Cho nên ∂↓f (x) là dưới vi phân suy rộng chính quy dưới của f tại x

Nếu f :Rn → R là Lipschitz địa phương trên Rn và chính quy trên tại x, thìvới mỗi v ∈ Rn,

f+(x, v) = f↑(x, v) = fo(x, v) = max

x ∗ ∈∂ o f (x)hx∗, vi

Do đó, Ext (∂of (x)) là dưới vi phân suy rộng chính quy tối thiểu trên duy nhấtcủa f tại x Chú ý rằng, nếu f là lồi thì Ext (∂f (x)) là dưới vi phân suy rộngchính quy tối thiểu trên duy nhất của f tại x, trong đó

∂f (x) := {x∗ ∈ X∗ : f (y) − f (x) ≥ hx∗, y − xi , ∀y ∈ Rn}

là dưới vi phân lồi của f tại x

1.2 Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu

Phần này trình bày các điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu địa phươngdưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng chính quy trên và bán chính quy trên Xétbài toán tối ưu đa mục tiêu (P) sau:

f1, , fr, g1, , gm, h1, , hl là những hàm giá trị thực mở rộng xác định trên

Rn Vớix, y ∈ Rn, ta viết x ≤ y nếuxi ≤ yi , (i = 1, , n) Như vậyg(x) ≤ 0

có nghĩa là gi(x) ≤ 0, (i = 1, , m) và h(x) = 0 có nghĩa là hj(x) = 0,

(j = 1, , l) Đặt I = {1, , m}, J = {1, , r}, L = {1, , l} Chú ý rằng

điều kiện cần dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng cho bài toán với ràng buộctập hoặc ràng buộc bất đẳng thức đã được nghiên cứu bởi Dutta-Chandra [7,8]

và có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức đã được nghiên cứu bởi Luu [15]

Kí hiệu M là tập chấp nhận được của bài toán (P):

M := {x ∈ C : g(x) ≤ 0, h(x) = 0} ,

và

I(¯x) := {i ∈ I : g(¯x) = 0} ,

H := {x ∈ Rn : h(x) = 0}

Mở rộng của định lý Ljusternik cổ điển của Jiménez-Novo trong [11] sẽ được

sử dụng để dẫn điều kiện cần tối ưu

Nhận xét 1.2.1

NếuC = Rn, hthuộc lớp C1 trong một lân cận của x¯và ∇h1(¯x), , ∇hr(¯ là

độc lập tuyến tính, thì mệnh đề 1.2.1 trở thành định lý Ljusternik cổ điển Thậtvậy, khi đó ánh xạ ∇h(¯x)là toàn ánh, T (C; ¯x) =Rn, điều kiện chính quy (RC)

khi đó ta suy ra γ1 = γ2 = 0 Do đó, điều kiện (RC) đúng

Nhắc lại rằng điểm x ∈ M¯ được gọi là cực tiểu Pareto yếu địa phương củabài toán (P) nếu tồn tại một số δ > 0 sao cho không tồn tại x ∈ M ∩ B (¯x; δ)

Giả thiết 1.2.1

Tồn tại một chỉ số s ∈ J sao chofs có một dưới vi phân suy rộng trên ∂∗fs(¯

tại x¯ Với mỗi k ∈ J, k 6= s và i ∈ I (¯x), các hàm fk và gi có các dưới viphân suy rộng bán chính quy trên ∂∗fk(¯ và ∂∗gi(¯ tại x¯; tất cả các hàm

gi(i /∈ I (¯x)) liên tục tại x¯

Trên cơ sở định lý Ljusternik suy rộng của Jiménez-Novo [11], ta chứng minh

điều kiện cần cho cực tiểu Pareto yếu địa phương của (P)

Giả sử ngược lại rằng hệ (1.6) - (1.10) có một nghiệm v0 ∈ Rn.

fs(x+t ¯ (γ(t)−γ(0)

t +o(t)t ))−f s (¯

t

= lim inft↓0

f s (¯ x+(γ(t)−¯ x))−f s (¯

t

= lim inft↓0

Vì fk là Lipschitz địa phương tại x¯, cho nên từ (1.11) với ∀k ∈ J, k 6= s ta có

t∈]o,p1[

fk(γ (t)) − fk(¯

Do đó, tồn tại số tự nhiên N2(≥ N1) sao cho với mọi p ≥ N2, t ∈ i0, 1ph,

fk(γ (t)) < fk(¯ Vì vậy với mọi ∀k ∈ J, k 6= s, ta có

fk(γ (tp)) < fk(¯x) (1.14)Tương tự, tồn tại một số tự nhiên N3(≥ N2) sao cho với ∀i ∈ I (¯x) , p ≥ N3,

Điều này mâu thuẫn với giả thiết x¯ là cực tiểu Pareto yếu địa phương của (P)

Từ giả thiết (1.2.1) ta suy ra rằng hệ (1.2) - (1.5) không tương thích

Đặt

D (¯x) := S

P

γj ∈ R(∀j ∈ L) , (λ, à, γ) 6= (0, 0, 0)



,

trong đó λ = (λk)k∈J, à = (ài)i∈I(¯x), γ = (γj)j∈L

Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu Pareto yếu địa phương của (P) dướingôn ngữ dưới vi phân suy rộng được phát biểu như sau

Định lý 1.2.2

Giả sử rằng x¯ là cực tiểu Pareto yếu địa phương của (P) và các giả thiết của

định lý 1.2.1 thoả mãn Khi đó tồn tại λ¯

Theo định lý 1.2.1, hệ (1.2) - (1.5) là không tương thích Khi đó, bằng cáchchọn λk = 1, λp = 0, (∀p ∈ J, p 6= k), ài = 0 (∀i ∈ I(¯x)), γ = 0 và

0 = ζ ∈ N (C; ¯x), từ (1.19) ta suy ra

sup

ξ k ∈conv∂ ∗ f k (¯

hξk, v0i < 0 (∀k ∈ J) (1.20)Tương tự như trên, ta có

sup

η ∈conv∂ ∗ g (¯

hηi, v0i < 0 (∀i ∈ I(¯x)) (1.21)

Ta chỉ ra

h∇hj(¯x), v0i = 0 (∀j ∈ L) (1.22)Thật vậy nếu (1.22) là sai, thì h∇hj0(¯x), v0i 6= 0 với j0 nào đó ∈ L Bằngcách lấy ξs ∈ ∂∗fs(¯x) , λs = 1, λk = 0 (∀k ∈ J, k 6= s) , ài = 0(∀i ∈ I(¯x)),

λshξ0, v0i + α hη0, v0i < 0 (1.25)Vì hη0, v0i > 0 với α đủ lớn ta nhận được một mâu thuẫn với (1.25) Do đó

vậy (1.18) đúng và do đó tồn tạiλ(n)k ≥ 0, ξk(n) ∈ conv∂∗fk(¯x) (∀k ∈ J ) , à(n)i ≥

0, ηi(n) ∈ conv∂∗gi(¯x) (∀i ∈ I (¯x)) , γj(n) ∈ R(∀j ∈ L) và ζ(n) ∈ N (C; ¯x) với

Do đó λ, ¯¯ à

6= (0, 0) Suy ra điều phải chứng minh 2

Hệ quả 1.2.1

Giả sử rằng C = Rn và các giả thiết của định lý 1.2.2 thoả mãn trong đó

điều kiện chính quy (RC) trong mệnh đề 1.2.1 được thay thế bởi điều kiện: hệ

∇h1(¯x), , ∇hl(¯ là độc lập tuyến tính Khi đó, tồn tạiλ¯k ≥ 0 (∀k ∈ J), ¯ài ≥

0 (∀i ∈ I(¯x)) với λ, ¯¯ à

6= (0, 0) và ¯j ∈ R (∀j ∈ L) sao cho (1.17) đúng.Chứng minh

Với C = Rn, ta có N (C; ¯x) = {0} Do đó, nếu ∇h1(¯x), , ∇hl(¯ là độc lậptuyến tính thì điều kiện chính quy (RC) thỏa mãn Theo định lý 1.2.2 ta suy ra

Trong trường hợp tập D(¯x) là tập đóng, ta nhận được hệ quả trực tiếp sau đâycủa định lý 1.2.1, trong đó bao đóng trong (1.17) có thể bỏ được

Hệ quả 1.2.2

Giả sử C = Rn Giả sử các giả thiết của định lý 1.2.2 đúng và tập D(¯x)

đóng Khi đó ∃¯λk ≥ 0 (∀k ∈ J), ¯ài ≥ 0 (∀i ∈ I(¯x)) với λ, ¯¯ à



+ lin {∇hj(¯x) : j ∈ L} ,

thì D(¯x) là tập đóng, trong đó lin kí hiệu bao tuyến tính Thật vậy ta có

conv∂∗fk(¯x) (k ∈ J ) và conv∂∗gi(¯x)(i ∈ (I(¯x)) là compăc và do đó tập saucũng compăc:

conv

[

k∈J

conv∂∗fk(¯x) ∪ [

i∈I(¯ x)conv∂∗gi(¯