Tích phân suy rộng

Tích phân suy rộng 1... Tích phân hàm gián đoạn 1.

Tích phân suy rộng

1 Tích phân cận vô hạn

1 Cho f : [a, +)  ℝ khả tích trên [a, b]

 Tích phân suy rộng

∫ ( ) = lim

→ ∫ ( )

 Sự hội tụ, phân kỳ

Ví dụ Khảo sát các tích phân

1) I = ∫ 2) J = ∫

Giải

1) I = lim

→ ∫ = lim

→ (ln − ln 1) = +

2) J = lim

→ ∫ = lim

→ 1 − = 1

Maple (1)

2 Tương tự, có các tích phân

 ∫ ( ) =

→ ∫ ( )

 ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( )

 Phép đổi biến y = – x

3 Các tính chất

1) (Điều kiện cần)

 TP hội tụ  f(x)

→

⎯⎯⎯⎯ 0

 f(x)

→

⎯⎯⎯⎯ 0  TP phân kỳ

2) (Tuyến tính)

∫ (l + ) = l ∫ + ∫

 HT + HT = HT, HT + PK = PK

HT.HT = ? PK + PK = ?

3) (Cộng tính)

∫ = ∫ + ∫

4) (Tích phân Riemann) Cho a > 0,   ℝ

∫ = ℎộ ụ > 1

ℎâ ỳ ≤ 1

2 Tích phân hàm gián đoạn

1 Cho f : [a, b)  ℝ, khả tích trên [a, b–]

 Tích phân suy rộng

∫ ( ) = lim

 Sự hội tụ, phân kỳ

Ví dụ Khảo sát các tích phân

1) I = ∫ 2) J = ∫

√

Giải

1) I = lim

→ ∫ = lim

→ (ln 1 − ln(1 − )) = +

2) J = lim

√ = lim

→ 1 − √1 − = 2

Maple (2)

2 Tương tự, có các tích phân

 ∫ ( ) = lim

→ ∫ ( )

 ∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( )

 Phép đổi biến y = , ,

3 (Tích phân Riemann) Cho a < b và   ℝ

∫ ( ) , ∫ ( ) = ℎộ ụ ℎâ ỳ ≥ 1< 1

3 Các định lý về hội tụ

1 (So sánh bất đẳng thức) Cho f, g : [a, +)  ℝ+ :

 x > b, 0 < f(x)  g(x)

1) ∫ hội tụ  ∫ hội tụ

2) ∫ phân kỳ  ∫ phân kỳ

Ví dụ Khảo sát tích phân ∫

Giải

 Hàm f(x) = liên tục x  0

∫ = ∫ + ∫

 Ước lượng

 x  1, 0 < f(x) =  = g(x)

TP g(x) hội tụ, suy ra Tp f(x) hội tụ

Maple (3)

2 (So sánh giới hạn) Cho f, g : [a, +)  ℝ+ :

K = lim

→ ( )( ) ( 0  K  + ) 1) K < +, ∫ hội tụ  ∫ hội tụ 2) K > 0, ∫ phân kỳ  ∫ phân kỳ

 0 < K < + : TP cùng hội tụ hoặc phân kỳ

Ví dụ Khảo sát tích phân ∫ .

Giải

 Hàm f(x) = . liên tục x  0

 Chọn g(x) =

( )

( ) = . :

→

⎯⎯⎯⎯ = K

 K < +, TP g(x) hội tụ, suy ra TP f(x) hội tụ

Maple (4)

3 (Tiêu chuẩn Riemann) Cho f : [a, +)  ℝ+ :

K = lim

→ ( ) (0  K  + ) 1) K < +,  > 1  ∫ hội tụ

2) K > 0,   1  ∫ phân kỳ

Ví dụ Khảo sát tích phân ∫

√

Giải

 Hàm f(x) = liên tục x  1

x5/2f(x) = sin

→

⎯⎯⎯⎯ 1 = K

 K < +,  = > 1 : TP f(x) hội tụ

Maple (5)

4 (Sự hội tụ tuyệt đối) Cho f : [a, +)  ℝ

∫ | | hội tụ  ∫ hội tụ

5 (Phân loại hội tụ)

 | f | hội tụ, f hội tụ : hội tụ tuyệt đối (khả tích)

 | f | phân kỳ, f hội tụ : bán hội tụ

 | f |  0 dùng được các định lý hội tụ ở trên

Ví dụ Khảo sát các tích phân

1) I = ∫ 2) J = ∫

Giải

1) Maple (6)

 | f(x) | = ≤ = g(x)

 TP g(x) hội tụ  TP | f(x) | hội tụ

 TP f(x) hội tụ tuyệt đối 2)

 ∫ = − + ∫ hội tụ

 ∫ phân kỳ