Tích phân bất định

Tích phân bất định 1.. Tích phân bất định 1.

Tích phân bất định

1 Nguyên hàm

1 Cho f : I  ℝ

 Hàm F : I  ℝ là nguyên hàm của hàm f

F’(x) = f(x)

Ví dụ f(x) = cos(x), F = sin(x) + C

Maple (1)

2 Cho F(x) là nguyên hàm của f(x)

1) F(x) + C là nguyên hàm

2)  C : G(x) = F(x) + C

3 Tích phân bất định là họ các nguyên hàm

∫ f(x)dx = F(x) + C

2 Tích phân bất định

1 Các tính chất

1 (Phép toán ngược)

d( f(x)dx) = f(x)dx  dF(x) = F(x) + C

2 (Tuyến tính)

 (f(x) + g(x))dx =  f(x)dx +  g(x)dx

3 (Bất biến)

 f(x)dx = F(x) + C   f(u)du = F(u) + C

2 Các phương pháp

1 (Phương pháp thế) Cho f : I  ℝ liên tục

 Cho x = (t) với t  J thoả mãn

1) (t)  C1, ’(t)  0

2) f((t))’(t) = g(t)

3)  g(t)dt = G(t) + C

 Khi đó

 f(x)dx = G(–1(x)) + C

Ví dụ Tìm ∫ √1 −

Giải

 f(x) = √1 − , | x |  1

Đổi biến x = sin(t), t  [− , ]

x’(t) = cos(t), dx = cos(t)dt

 Thay vào tích phân

∫ √1 − sin cos = ∫ |cos | cos

= ∫(1 + cos 2 ) = t + sin 2t + C

= t + sin √1 − sin + C

 Thế t = arcsin(x)

∫ √1 − = arcsin x + √1 − + C

Maple (2)

2 (Phương pháp nhóm) Cho f : I  ℝ liên tục

 Cho u = (x) với x  I thoả mãn

1) (x)  C1, ’(x)  0

2) f(x)dx = g(u)du

3)  g(u)du = G(u) + C

 Khi đó

 f(x)dx = G((x)) + C

Ví dụ Tìm ∫

Giải

 f(x) = , x  ℝ

Đổi biến u = ex + 1, x  ℝ

du = ex dx, =

−1

 Thay vào tích phân

∫ ( ) = ∫ − ∫ = ln + C

 Thế u = ex + 1

∫ = ln + C

3 (Tích phân từng phần) Cho u, v : I  ℝ là các hàm có đạo hàm liên tục

 u(x)dv(x) = u(x)v(x) –  v(x)du(x)

Ví dụ Tìm  x.ex dx

Giải

 Ta có

u = x, dv = ex dx  du = dx, v = ex

 Thay vào công thức

 x.exdx = xex –  exdx = (x – 1)ex + C

3 Bảng nguyên hàm

1 Hàm mũ, hàm luỹ thừa

 Ta có

(xn)’ = nxn–1  ( xn+1)’ = xn ( n  –1)

Suy ra công thức

1)  xn dx = xn+1 + C, n  –1

 Tương tự

2)  dx = ln| x | + C

3)  ex dx = ex + C

4)  ax dx = ax + C

5)  ln x dx = x(ln x – 1) + C

2 Hàm hữu tỷ, hàm vô tỷ

1) ∫ = arctan +

3) ∫

√ = arcsin +

4) ∫

3 Hàm hyperbole

1)  coshx dx = sinh x + C

2)  sinhx dx = coshx + C

3)  tanhx dx = ln(ch x) + C

4) ∫ = tanh x + C

4 Hàm lượng giác

1)  cosx dx = sinx + C

2)  sinx dx = – cosx + C

3)  tanx dx = – ln| cosx | + C

4) ∫ = tan x + C