Tích phân hàm sơ cấp

Tích phân hàm sơ cấp 1.. Phân thức đơn Lập luận như tích phân 2.

Tích phân hàm sơ cấp

1 Hàm hữu tỷ

1 (Phân thức đơn)

2 (Phân thức đơn)

1)  > 0 : x1,2 = ±√∆

Đưa về các tích phân 1

2)  = 0 : x0 = −

( )

Đưa về các tích phân 1

3)  < 0 : x1,2 = ± √ ∆

Khi đó

= M ln(u) + arctan( ) + C

3 (Phân thức đơn)

Lập luận như tích phân 2

1)  > 0 : PT =

( )

2)  = 0 : PT =

( )

3)  < 0 : PT = +

( )

4 (Công thức truy hồi)

In = ∫( )

1) I1 = ∫ = arctan +

2) In = ∫( ) với n > 1

 In =

5 (Phân thức hữu tỷ)

 f(x) = ( )

( ) Q(x) = (x – a)m (x2 + px + q)n ,  = p2 – 4q < 0

 Tích phân các phân thức đơn

Giải

 Maple (3) Phân tích

( )( ) = − +

√

 Tích phân

∫ = – 2ln| x + 1 | + ln(x2 – x + 1) +

√ arctan

2 Hàm vô tỷ

1 (Căn nhị thức)

 n = BSCNN(n, )

Đưa về tích phân hữu tỷ

√ √

Giải

 Maple (4) N = 6, đổi biến

t6 = x  dx = 6t5 dt

 Thay vào tích phân

= 2t3 –3t2 + 6t – ln | t + 1| + C

 Thay t = √

2 (Căn tam thức)

1) a > 0,  < 0 : Đổi biến u =

√ ∆ = .sh

TT = a(u2 + 2)

2) a > 0,  > 0 : Đổi biến u =

√∆ = .ch

TT = a(u2 – 2)

3) a < 0,  > 0 : Đổi biến u =

√∆ = .sin

TT = (–a)(2 – u2)

Ví dụ Tìm ∫

√

Giải

 Maple (5)

TT =

( )

( )

=

√ + ∫

= √ + ln + − +

 Thay u = u(x), v = v(x)

TP = √ − 3 + 2 + ln − + √ − 3 + 2 +

3 (Căn tam thức)

Đổi biến y = đưa về tích phân 2

Ví dụ Tìm ∫

( )√

Giải

 Maple (6) Đổi biến

y =  x + 1 = , dx = −

 Thay vào tích phân

√ +

 Thay y =

3 Hàm lượng giác

1 (Hàm hữu tỷ)

  R(cosx, sinx)dx

 Đổi biến t = tan

Đưa về tích phân hàm hữu tỷ

Giải

 Đổi biến t = tan

cos x = , dx =

 Thay vào tích phân

 Thay t = tan

2 Có thể chọn phép đổi biến đơn giản hơn

 R(–cosx, sinx) = –R(cosx, sinx) : t = sin(x)

 R( cosx, –sinx) = –R(cosx, sinx) : t = cos(x)

 R(–cosx, –sinx) = R(cosx, sinx) : t = tan(x)

Giải

 Phân thức lẻ với sinx, đổi biến t = cosx

dt = – sinxdx, sin2x = 1 – t2

 Thay vào tích phân

TP = ∫ = t2 – ln| t | + C

 Thay t = cosx

TP = cos2x – ln| cosx | + C

3 (Các dạng khác)

  cos(x)cos(x)dx

 sin(x)cos(x)dx

 sin(x)sin(x)dx

 Biến đổi tích thành tổng, hạ bậc,

Ví dụ Tìm  cos2 x sin3 x dx

Giải

 m = 3, đổi biến t = cos x

dt = –sin x dx, sin2 x = 1 – t2

 Thay vào tích phân

Tp = –  t2(1 – t2)dt = – t3 + t5 + C

 Thay t = cos x

Tp = – cos3 x + cos5 x + C