Tích phân xác định

Tích phân xác định 1.. Tích phân xác định 1.. Tích phân xác định 1.. Diện tích hình thang cong Maple 1.. Điều kiện khả tích Hàm liên tục từng khúc thì khả tích trên đoạn [a, b] 4.. Cá

Tích phân xác định

1 Tích phân xác định

1 Tích phân xác định

1 (Diện tích hình thang cong)

Maple (1)

2 Cho f : I  ℝ và [a, b]  I

 Chia tuỳ ý [a, b]

x0 = a < x1 < < xn = b

Chọn tuỳ ý ci  [xi–1 , xi] và kí hiệu

xi = xi – xi–1, p = max{ xi }

In = f(c1)x1 + + f(cn)xn

 Cho n   : p  0 Nếu In  I <  KPT cách chia, cách chọn thì f là khả tích và I là tích phân xác định

 Kí hiệu

→

3 (Điều kiện khả tích) Hàm liên tục từng khúc thì khả

tích trên đoạn [a, b]

4 (Các lưu ý)

 Hàm sơ cấp khả tích trong I

 Có hàm khả tích không liên tục từng khúc

 Tích phân là giới hạn của tổng tích phân

2 Các tính chất

1 Tính tuyến tính

 ∫ (l + ) = l∫ + ∫

2 Liên hệ với diện tích

 ∫ (l) = l(b – a)

 ∫ ( ≥ 0) = S({ a  x  b, 0  y  f(x) )

3 Tính đơn điệu (a  b)

 f  g  ∫  ∫

4 (Trị trung bình) Maple (2)

2) Hàm liên tục đạt trị trung bình tích phân

f  C([a, b], ℝ)   c  [a, b] :  = f(c)

2 Công thức Newton–Leibniz

1 (Hàm cận trên) Cho f : I  ℝ khả tích trên mọi khoảng [a, x]  I Hàm cận trên

Maple (3)

2 (Đạo hàm hàm cận trên)

Nếu f(x) liên tục thì (x) có đạo hàm liên tục

 x  I, ’(x) = f(x)

3 (Công thức Newton – Leibniz) Cho f(x) liên tục và

có nguyên hàm là F(x)

Giải

 Hàm f(x) = 3x2 – x liên tục và có F(x) = x3 – x2

4 (Các hệ quả khác)

1) Hàm f(x) liên tục thì có nguyên hàm

F(x) = (x) + C

2) Cho f(x) liên tục trên [a, b]

3) Cho f(x) liên tục và u(x), v(x) có đạo hàm

∫ ( )( ) ( ) = f(v)v’(x) – f(u)u’(x)

Ví dụ Tính

Giải

 Biến đổi

→

3 Tính tích phân xác định

1 (Phương pháp thế)

 Cho f  C([a, b]) và x = (t)  C1([, ]) :

1)  t  (, ), ’(t)  0

2) () = a, () = b

Khi đó

Giải

 f(x) = √1 − , 0  x  1

x = sin(t) với t  [0, ]

x’(t) = cos(t)  0 và x(0) = 0, x( ) = 1

= ∫ cos = ∫ (2 1 + cos 2 )

2 (Phương pháp nhóm)

 Cho f  C([a, b]) và u = (x)  C1([a, b]) :

1)  x  (a, b), ’(x)  0

2) f(x)dx  g(u)du

Khi đó

Ví dụ Tính ∫

Giải

 u = ex + 1, 0  x  1

u’(x) = ex > 0, u(0) = 2, u(1) = e+1

4 (Các hệ quả) Cho f  C(ℝ)

5 (Tích phân từng phần)

 Cho u, v  C1(I) và [a, b]  I Khi đó

Giải

= =

Ví dụ Cho n  ℕ*, tính

In = ∫ sin , Jn = ∫ cos

Giải

a)

 In>1 = –∫ sin (cos )

= (n–1)In–2 – (n–1)In

 In = In–2 = In–4 =

=

( )‼ = 2 ( )‼

b)

 x = – t với  t  0

dx = – dt và cosx = cos( – t) = sint

 Jn = – ∫ sin = In