Vi phân

Các qui tắc tính.

Vi phân

1 Vi phân cấp một

1 Cho f : I  ℝ và a  I0

 So sánh

f = f(x) – f(a) với x = x – a

 Hàm f là khả vi tại a

f = .x + x.(x)

  ℝ, (x)

∆ →⎯⎯⎯ 0

Vi phân tại a là df(a) = .x

Ví dụ Xét tính khả vi của f(x) = x2 tại a = 1

Giải

 a = 1, f(a) = 1, x = 1 + h

f = (1 + h)2 – 1 = 2.h + h2 với  = 2, (h) = h

 f khả vi tại a = 1 và df(1) = 2.h

2 (Định lý cơ bản) Hàm khả vi  có đạo hàm

df(x) = f’(x)dx

1) Khả vi  liên tục

2) C1  khả vi

3 Cho f : I  ℝ

 Hàm khả vi trên I  khả vi tại  x  I

 Vi phân cấp một

df : I  L(ℝ, ℝ), x  f’(x)dx

Tập D(I, ℝ)

4 Các qui tắc tính

1) Tổng (hiệu), tích (thương), hàm hợp, hàm ngược của các hàm khả vi là hàm khả vi

a) d(u + v) = du + dv

b) d(u.v) = du.v + u.dv

2) Hàm sơ cấp khả vi bên trong I

5 Bảng vi phân suy ra từ bảng đạo hàm

1) d(ex) = (ex)’.dx = ex.dx

d(lnx) = (lnx)’dx = dx

4) d(arcsin(x)) = (arcsin(x))’dx =

√

2 Vi phân cấp cao

1 Vi phân của d(n–1)f là vi phân cấp n

d2f(x) = d{df(x)}, …, dnf(x) = d{ d(n–1)f(x) }

Tập Dn(I, ℝ)

2 Hàm khả vi cấp n  có đạo hàm cấp n

dnf (x) = f(n)(x)dxn

3 Các qui tắc tính

1) Tổng (hiệu), tích (thương), hàm hợp, hàm ngược của các hàm khả vi cấp n là hàm khả vi cấp n

a) dn(u + v) = dnu + dnv

b) dn(uv) = ∑ ( ) ( ) (Leibniz) 2) Hàm sơ cấp khả vi mọi cấp bên trong I

Ví dụ Tìm vi phân cấp cao y = x3 – 3x2 + 2

Giải

 Hàm có đạo hàm

y’ = 3x2 – 6x, y” = 6x – 6, y”’ = 6, y(4) = 0, …

 Hàm khả vi

dy = (3x2 – 6x)dx, d2y = (6x – 6)dx2

d3y = (6)dx3, d4y = 0,

3 Ứng dụng vi phân

1 Công thức tính đạo hàm

y’(x) =

 Hàm ngược x = x(y)  y = y(x)

x’(y) = = =

( )

 Hàm hợp z = z(y), y = y(x)

z’(x) = = = z’(y).y’(x)

2 Cho x = x(t) và y = y(t) với t  I

y’(x) = = ( )

( ) = ( )

( )

y”(x) = = ( )

( ) = ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Ví dụ Tính đạo hàm

1) y = arcsin x

Giải

 y = arcsin x  x = sin y

y’(x) =

( ) =

√

 y” = (1 − ) = − (1 − ) (−2 )

2) x = t2 – t , y = ln(t + 1)

Giải

 Các hàm có đạo hàm với t > –1

x’(t) = 2t – 1, x”(t) = 2,

y’(t) = , y”(t) = −

( ) ,

 Với t > –1

y’(x) = =

y”(x) = ((2t2 + t – 1)-1)’t (2t – 1)-1

= (-1) (2t2 + t – 1)-2.(4t + 1) (2t – 1)-1

= −

3 Tính xấp xỉ giá trị của hàm khả vi

f(x) = f(a) + f  f(a) + f’(a)(x – a)

Ví dụ Tính xấp xỉ A = √2

Giải

 f(x) = √ , f’(x) =

√

a = 1, x = 2, h = x – a = 1

 √2  1 + 1 = 1.5