Ban Học tập và NCKH LCĐ Viện Toán ứng dụng và Tin học Nguyễn Trung Nghĩa Lương Tùng Dương TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1 Định nghĩa Xét hàm số f (x) liên tục, dương trên [a,b] Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ ([.]
Trang 1TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1 Định nghĩa
Xét hàm số f (x)liên tục, dương trên[a, b]
Chia đoạn[a, b]thành n đoạn nhỏ (không nhất thiết bằng nhau) bởi các điểm
a = x0< x1< x2< · · · < xi−1< xi< · · · < xn−1< xn= b
Ta gọi phép chia đó là một phân hoạch P của đoạn[a, b] Đặt ∆xi= xi− xi−1 Khi đó, kPk = max
i=1,n∆xi được gọi là chuẩn của phân hoạchP
Trên mỗi đoạn [xi−1, xi]lấy một điểm ξi tùy ý Tổng In=
n
P
i=1
f (ξi)∆xi gọi là tổng tích phân của hàm
f trên[a, b]ứng với phân hoạch P của đoạn[a, b] Nếu khikPk → 0, tổng tích phân In dần tới một giới hạn xác định không phụ thuộc vào phân hoạchP và vào việc chọn điểmξi trên[xi−1, xi]thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f trên[a, b]và được kí hiệu là:
b
Z
a
f (x) dx = lim
kPk→0
n
X
i=1
f (ξi)∆xi
Khi đó ta nói f khả tích trên[a, b], alà cận dưới, b là cận trên, kí hiệu dx có ý nghĩa x là biến tích phân Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến lấy tích phân
- Mở rộng: a > b ⇒
b
Z
a
f (x) dx = −
a
Z
b
f (x) dx;a = b ⇒
b
Z
a
f (x) dx = 0
2 Điều kiện khả tích
- Điều kiện Riemann
- Hệ quả:
+ Mọi hàm f (x)liên tục trên[a, b] đều khả tích trên đoạn đó
+ Mọi hàm f (x)bị chặn và có một số hữu hạn điểm gián đoạn trên[a, b] đều khả tích trên đoạn đó + Mọi hàm f (x)đơn điệu và bị chặn trên[a, b]đều khả tích trên đoạn đó
3 Tính chất
1
b
Z
a
[c1f1(x) + c2f2(x)] dx = c1
b
Z
a
f1(x) dx + c2
b
Z
a
f2(x) dx, với c1, c2=const
2
b
Z
a
f (x) dx =
c
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c
f (x) dx, ∀a, b, c
3 f (x) ≥ 0,∀x ∈ [a, b] ⇒
b
Z
a
f (x) dx ≥ 0
4 f (x) ≥ g (x),∀x ∈ [a, b] ⇒
b
Z
a
f (x) dx ≥
b
Z
a
g (x) dx
Trang 25 m ≤ f (x) ≤ M,∀x ∈ [a, b] ⇒ m (b − a) ≤
b
Z
a
f (x) dx ≤ M (b − a)
6
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b
Z
a
f (x) dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤
b
R
a | f (x)| dx
4 Các định lý
4.1 Định lý giá trị trung bình thứ nhất
Nếu hàm f (x)liên tục trên đoạn[a, b] thì tồn tại một điểm c trên đoạn đó sao cho:
b
Z
a
f (x) dx = f (c).(b − a)
4.2 Định lý giá trị trung bình thứ hai
Giả sử:
+ f (x)khả tích và f (x)g(x)khả tích trên [a.b]
+m ≤ f (x) ≤ M
+ g(x)không đổi dấu trên [a,b], g(x) ≥ 0
Khi đó:
Z b
a
f (x)g(x)dx = f (c)
Z b
a
g(x)dx vớic ∈ [a, b]
4.3 Định lý cơ bản 1 Nếu hàm f liên tục trên đoạn[a, b]thì hàm G xác định bởi:G(x) =
x
Z
a
f (t) dt với
a ≤ x ≤ bcũng liên tục trên[a, b], khả vi trên[a, b]và ta có:
d dx
x
Z
a
f (t) dt = f (x)
.• Mở rộng: Công thức đạo hàm theo cận: d
dx
h(x)
Z
g(x)
f (t) dt = h0(x) f [h (x)] − g0(x) f [g (x)]
4.4 Định lý cơ bản 2 (Công thức Newton - Leibniz)
Nếu hàm f liên tục trên[a, b],F là một nguyên hàm của f trên khoảng đó thì:
b
Z
a
f (x) dx = F (x)
¯
¯
¯
b
a =F (b) − F (a)
5 Một số phương pháp tính tích phân xác định
5.1 Phương pháp đổi biến số
5.2 Phương pháp tích phân từng phần
Xem lại tích phân bất định
Trang 36 Ứng dụng tợch phón xõc định
6.1 Sử dụng định nghĩa tợch phón xõc định để tợnh giới hạn
Bỏi toõn: ChoSn= u1+ u2+ · · · + un.Tợnh lim
n→+∞Sn
Phương phõp giải
- Bước 1: Biến đổiSn về dạng:
Sn=b − a
n
· f
Ế
a + 1.b − a
n
ả + f
Ế
a + 2.b − a
n
ả + + f
Ế
a + n.b − a
n
ảÌ
=b − a
n
n
X
i=1
f
Ế
a + i.b − a
n
ả
- Bước 2: Chỉ ra hỏm f (x)vỏ chứng minh f (x)liởn tục trởn[a, b]
- Bước 3: Từ định nghĩa của tợch phón xõc định suy ra lim
n→+∞Sn=
b
Z
a
f (x) dx
Thực tế, ta hay gặp trường hợpa = 0, b = 1 Khi đụ, cõc bước trởn được rỷt gọn dễ hiểu như sau:
- Bước 1: Biến đổiSn về dạng:
Sn= 1 n
· f Ế 1 n
ả + f
Ế 2 n
ả + + f
Ển n
ỄÌ
=1
n
n
X
i=1
f
Ếi n
ả
- Bước 2: Chỉ ra hỏm f (x)vỏ chứng minh f (x)liởn tục trởn[a, b]
- Bước 3: Từ định nghĩa của tợch phón xõc định suy ra lim
n→+∞Sn=
b
Z
a
f (x) dx
6.2 Sơ đồ tổng tợch phón, vi phón
Giả sử cần tớm một đại lượng Atương ứng với đoạn[a, b], ký hiệu A[a, b] Biết A cụ hai tợnh chất: (1) Nếu chia[a, b]thỏnh nphần: a = x1< x2< · · · < xi< xi+1< · · · < xn+1= b thớ
A [a, b] =
n
X
i=1
A [xi, xi+1](tợnh cộng được) (2) Nếu xờt[x, x +∆x] ⊂ [a, b], với∆x khõ bờ, thớ cụ thể coi A[x, x +∆x] ≈ f (x).∆x
Từ (1) vỏ (2) suy ra: A [a, b] ≈
n
X
i=1
f (xi)∆xi,với∆xi= xi+1− xi
⇒ A [a, b] = lim
max ∆xi→0
n
X
i=1
f (xi)∆xi=
b
Z
a
f (x) dx
6.3 Tợnh diện tợch hớnh phẳng
6.3.1 Diện tợch hớnh thang cong
- Hớnh thang cong giới hạn bởi
y = f (x)
y = 0(trụcOx)
x = a, x = b
⇒ S =
b
Z
a
| f (x)| dx
- Diện tợch miền giới hạn bởi
y = f (x)
y = g (x)
x = a, x = b
⇒ S =
b
Z
a
| f (x) − g (x)|dx
- Trường hợp đường cong cho bởi phương trớnh tham số:
x = x (t)
y = y(t)
t1≤ t ≤ t2
⇒ S =
t2
Z
t1
É
y (t) x0(t)Édt
6.3.2 Diện tợch hớnh quạt
- Đường cong trong tọa độ cực:
½
r = râ
ϕđ
α ≤ ϕ ≤ β ⇒S =
1 2
β
Z
α
êr âϕđô2dϕ
Trang 46.4 Tợnh độ dỏi đường cong
- Cung đường congỉAB cụ phương trớnh:
y = y(x)
y0(x) liởn tục trởn[a, b]
a ≤ x ≤ b
⇒ lỉAB=
b
Z
a
q
1 + [y0(x)]2dx
- Cung đường congỉAB cụ phương trớnh tham số:
x = x (t)
y = y(t)
α ≤ t ≤ β
⇒ lỉAB=
β
Z
α
q [x0(t)]2+ [y0(t)]2dt
- Cung đường congỉAB trong tọa độ cực:
½
r = râ
ϕđ
α ≤ ϕ ≤ β ⇒lỉ AB=
β
Z
α
q
êr âϕđô2+êr0â
ϕđô2dϕ
6.5 Tợnh thể tợch vật thể
•Tổng quõt: Thể tợch V của vật thể mỏ thiết diện thẳng gục vớiOxcụ diện tợch S(x) lỏ một hỏm liởn tục củax : a ≤ x ≤ b lỏ:
V =
b
Z
a
S (x)dx
•Vật thể trún xoay do hớnh giới hạn bởi
a ≤ x ≤ b
y = f (x) liởn tục trởn[a, b]
x = ϕ(y) liởn tục trởn[c, d]
y = 0(trụcOx)
x = 0(trụcO y) + quay quanh Ox:VOx= π
b
Z
a
y2(x) dx
+ quay quanh Oy:VO y= π
d
Z
c
ϕ(x)2dx
+ quay quanh Oy:VO y= 2π
b
Z
a
|x f (x)| dx
•Vật thể trún xoay do hớnh giới hạn bởi
c ≤ y ≤ d
x = x (y) liởn tục trởn[c, d]
x = 0(trụcO y)
quay quanh Oy:VO y= π
d
Z
c
x2( y) d y
•Vật thể trún xoay do hớnh giới hạn bởi
½
0 ≤ α ≤ ϕ ≤ β ≤ π
r = râϕđ liởn tục trởn[α,β] quay quanh trục cực:
V =2π
3
β
Z
α
r3â
ϕđsinϕdϕ
6.6 Diện tợch mặt trún xoay
- Diện tợch mặt trún xoay do cungỉAB:
y = f (x)
f0(x) liởn tục trởn[a, b]
a ≤ x ≤ b
quay quanhOx :σ = 2π
b
Z
a
y
q
1 + [y0(x)]2dx
- Diện tợch mặt trún xoay do cungỉAB:
x = x (y)
x0( y) liởn tục trởn[c, d]
c ≤ y ≤ d
quay quanhO y :σ = 2π
d
Z
c
x q
1 + [x0( y)]2d y
Trang 5- Diện tợch mặt trún xoay do cung ỉABcụ phương trớnh tham số:
x = x (t)
y = y(t)
α ≤ t ≤ β
:
+ quay quanh Ox:σ = 2π
β
Z
α
y (t)
q [x0(t)]2+ [y0(t)]2dt
+ quay quanh Oy:σ = 2π
β
Z
α
x (t)
q [x0(t)]2+ [y0(t)]2dt
- Diện tợch mặt trún xoay do cung ỉAB cụ phương trớnh tọa độ cực:
½
r = râ
ϕđ
α ≤ ϕ ≤ β quay quanh trục cực:
σ = 2π
β
Z
α
râ
ϕđsinϕqêr âϕđô2+êr0â
ϕđô2dϕ
BáI TẬP TẻCH PHằN XạC ĐỊNH
1) Cho hỏm số f (x) =
Z x
0
sin(t2)dt Tợnh f0(p
π) 2) Tợnh tợch phón
Z 1
0
cos(arctan x)dx 3) Tợnh tợch phón
Z p 3 0
arccosx
2dx 4) Tợnh tợch phón
Z ln 2
0
e3x
ex+ 2dx
5) Tợnh giới hạn lim
x→+∞
x
Z
0
(arctan t)3dt p
3 + x2 6) Tợnh giới hạn: lim
n→+∞
Ế 1
n + 1+
1
n + 2+ +
1
n + n
ả
7) Tợnh giới hạn: lim
n→+∞
Ế 1 p 4n2− 12+
1 p 4n2− 22+ +
1 p 4n2− n2
ả
8) Tợnh giới hạn: lim
n→+∞
1 n
Ế sinπ
n+ sin2π
n + + sin(n − 1)π
n
ả 9) Tợnh độ dỏi đường cong y = x
3
6 + 1 2x, x ∈ [1;2]
10) Tợnh diện tợch mặt trún xoay tạo bởi khi quay đường cong
y =p4 − x2
−1 ≤ x ≤ 1
quanh trụcOxmột vúng 11) Tợnh diện tợch mặt trún xoay tạo ra khi quay đường y =p4x − x2, x ∈ [1;2]quanh trụcOxmột vúng 12) Tợnh diện tợch hớnh phẳng được giới hạn bởi đường cong trong tọa độ cực r = 5 + 2cosϕ
13) Cho miền D được giới hạn bởi cõc đường y = sinx,(0 ≤ x ≤ π
2), x = 0, x =π
2 Tớm a để khối trún xoay sinh ra khi quay miền D quanh đường thẳng y = acụ thể tợch nhỏ nhất?
Trang 614) Tính diện tích của hình phẳng nằm trên trục hoành giới hạn bởi các đường y = x + 1, y = cos x, y = 0 15) Tính độ dài đường cong y = ln xvới1 ≤ x ≤ 2
16) Tính diện tích mặt cong tròn xoay tạo nên khi quay y = sin x,−π
2≤ x ≤ 0 17) Tính thể tích vật thể là phần chung của 2 hình trụx2+ y2≤ 4, x2+ z2≤ 4
18) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởix ≥ y2, x2+ y2= 2y
19) Tính diện tích mặt cong tròn xoay tạo nên khi quay đường r = 2(1 + cosϕ)quanh trục cực
20) Tính lực hấp dẫn do một quả cầu nhỏ khối lượng m kích thước không đáng kể tác dụng lên một thanh kim loại thẳng, đồng chất, tiết diện đều, khối lượngM, chiều dàil Biết rằng quả cầu nằm trên đường kéo dài của thanh, cách một đầu thanh một khoảnga