Ứng dụng tích phân

Ứng dụng tích phân 1... Diện tích hình phẳng 1.. Phương trình chính tắc Maple 4... Thể tích vật thể là tích phân của thiết diện Maple 8.. Ví dụ Tính thể tích vật thể tạo bởi hình phẳn

Ứng dụng tích phân

1 Độ dài cung

1 () : x = x(t), y = y(t) với t  [, ]

 s() = ∫ +

Ví dụ Tính độ dài cung cycloit

x = t – sint, y = 1 – cost với t  [0, 2]

Giải

 Maple (1)

s = 2s()

() : x = t – sint, y = 1 – cost, t  [0, ]

 x’(t) = 1 – cost, y’(t) = sint

s = 2 ∫ (1 − cos ) + (sin )

= 4 ∫ sin = 8 (dvdd)

2 () : y = y(x), x  [a, b]

 s() = ∫ 1 + ( )

Ví dụ Tính độ dài cung y3 = x2 bị chắn trong y = 2 – x2

Giải

 Maple (2) Giao điểm

=

= 2 − 

= ±1

= 1

 s = 2s()

() : x = y3/2, y  [0, 1]

 x’(y) =

s = ∫ 4 + 9 = 13 − 8 (dvdd)

3 () : r = r() với   [, ]

 s() = ∫ +

Ví dụ Tính độ dài cung cacdioit r = 1 + cos

Giải

 Maple (3)

s = 2s()

() : r = 1 + cos với   [0, ]

 r’() = – sin

s = 2 ∫ (1 + cos ) + (− sin )

= 4 ∫ sin = 8 (dvdd)

2 Diện tích hình phẳng

1 Phương trình chính tắc

Maple (4)

1) D = { a  x  b, f(x)  y  g(x) }

 S(D) = ∫ ( ) − ( )

2) D = { c  x  d, f(y)  x  g(y) }

 S(D) = ∫ ( ) − ( )

3) S(D) = S(D1) + + S(Dn)

Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

x2 = y và y2 = x

Giải

 Maple (5) Giao điểm

=

= 

= 0

= 0 và

= 1

= 1

 D = { 0  x  1, x2  y  √ }

S(D) = ∫ √ − = (dvdt)

2 Phương trình tham số

1) D = { a  x = x(t)  b, 0  y  y(t) với t  [, ] }

 S(D) = ∫ ( )| ( )|

2) (D) : x = x(t), y = y(t) với t  [, ]

 S(D) = ∫ ( ) ( ) − ( ) ( )

Ví dụ Tính diện tích của miền hình sao

x = a.cos3t, y = a.sin3t với t  [0, 2]

Giải

 Maple (6)

x’(t) = –3acos2tsint, y’(t) = 3asin2t cost

S(D) = 4 ∫ 3 cos sin = a2 (dvdt)

3 Phương trình tọa độ cực

D = {     , 0  r  r() }

 S(D) = ∫ ( )

Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

r = 2cos và r  1

Giải

 Maple (7) Giao điểm

r = 2cos và r = 1 với –       = ±

 S = 2S(D)

D = { 0    , 1  r  2cos}



r()



 S(D) = ∫ (2cos ) − ∫ (1)

= ∫ (1 + 2 cos 2 ) = + √

3 Thể tích của vật thể

1 Thể tích vật thể là tích phân của thiết diện

Maple (8)

 V() = ∫ ( )

Ví dụ Tính thể tích vật giới hạn bởi hai hình trụ

y2 + z2 = a2 và z2 + x2 = a2

Giải

 Maple (9)

V = 8V()

 Thiết diện qua (0, 0, z) là hình vuông cạnh

x = y = √ − , S(z) = a2 – z2

 V = 8∫ ( − ) = a3 (dvtt)

2 Vật tròn xoay  tạo bởi D quay quanh trục 

1) D = { a  x  b, 0  y  y(x) } trục Ox

 V() = ∫ ( )

2) D = { a  x  b, 0  y  y(x) } trục Oy

 V() = 2∫ | ( )|

3) D = {     , 0  r  r() } trục cực

 V() = ∫ ( ) sin

Maple (10)

Ví dụ Tính thể tích vật thể tạo bởi hình phẳng giới hạn

bởi y2 = x và y = x2, quay quanh trục Ox

Giải

 Maple (11) V = V1 – V2

D1 = { 0  x  1, 0  y  √ }

D2 = { 0  x  1, 0  y  x2 }

quay quanh trục Ox

 V = ∫ – ∫ =  (dvtt)

4 Diện tích mặt tròn xoay

1 Mặt S tạo bởi  : y = f(x), x  [a, b]

1) Quay quanh trục Ox

 S = 2∫ 1 + ( )

2) Quay quanh trục Oy

 S = 2∫ 1 + ( )

Maple (12)

Ví dụ Tính diện tích mặt nón x2 + y2 = z2 , 0  z  a

Giải

 Mặt nón tạo bởi x = z với 0  z  a

quay quanh Oz

 S = 2∫ 1 + (1) = 2 a2 (dvdt)

2 Mặt S tạo bởi cung  quay quanh Ox

() : x = x(t), y = y(t), t  [, ]

 S = 2∫ ( ) +

Ví dụ Tính diện tích mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2

Giải

 Mặt cầu tạo bởi nửa đường tròn

x = acost và y = asint với t  [0, ]

quay quanh Ox

S = 2∫ asin (− asin ) + (acos )

= 4a2 (dvdt)

3 Mặt S tạo bởi cung  quay quanh trục Ox

() r = r(),   [, ]

 S = 2∫ ( ) sin +

Ví dụ Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường hình tim r = 1 + cos với   [0, 2]

quay quanh trục cực

Giải

 () : r = 1 + cos với   [0, ]

 S = 2∫ (1 + cos ) sin (1 + cos ) + (− sin )

=  (dvdt)