Bài toán tính tích phân xác định bằng định nghĩa và một số vấn đề liên quan

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẰNG ĐỊNH NGHĨA.. Bài toán xét tính khả tích của hàm số và tính tích phân xác định bằng định nghĩa.. Với mục đích tìm hiểu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS LÊ THỊ HOÀI THU

TS NGUYỄN THÀNH CHUNG

Đà Nẵng - 2020

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các sốliệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bốtrong bất kì công trình nào khác.

Tác giả

Đinh Lý Mỹ Huệ

Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bêncạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quýThầy Cô, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốtthời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ.

Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô giáo và Thầygiáo hướng dẫn em là TS LÊ THỊ HOÀI THU và TS NGUYỄN THÀNHCHUNG, người đã hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho emhoàn thành luận văn này Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến toàn thểquý Thầy Cô trong khoa Toán và khoa Sau đại học - Trường Đại học sưphạm Đà Nẵng đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng nhưtạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho em trong suốt quá trình học tập nghiêncứu cho đến khi thực hiện đề tài luận văn

Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến Trường THCS-THPT Trung Hóa,xin cảm ơn các anh chị và các bạn đồng nghiệp đã không ngừng hỗ trợ vàtạo mọi điều kiện tốt nhất cho em trong suốt thời gian học tập nghiên cứu

và làm luận văn

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp Cao học PhươngPháp Toán Sơ cấp K36 đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình học tập vừaqua

Đinh Lý Mỹ Huệ

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3

1.1 Khái niệm tích phân xác định 3

1.2 Điều kiện khả tích 8

1.3 Tính chất 13

1.4 Các lớp hàm khả tích 19

1.5 Công thức Newton-Leibnitz 21

1.6 Phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần 22

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẰNG ĐỊNH NGHĨA 24

2.1 Bài toán xét tính khả tích của hàm số và tính tích phân xác định bằng định nghĩa 24

2.2 Bài toán tính giới hạn của dãy số bằng tích phân xác định 28

2.3 Bài toán tính độ dài đường cong phẳng 33

2.4 Bài toán tính diện tích hình phẳng 38

2.5 Bài toán tính thể tích vật thể 48

2.6 Bài toán tính diện tích mặt tròn xoay 55

2.7 Bài toán tính xấp xỉ tích phân xác định 60

5

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết tích phân đóng vai trò rất quan trọng trong các ngành toán họcnói riêng và khoa học nói chung Chính vì vậy, các vấn đề cơ bản nhất của lýthuyết tích phân được chọn lọc và đưa vào chương trình trung học phổ thôngnăm lớp 12 Những nội dung kiến thức này được trình bày đầy đủ và chi tiếthơn trong chương trình đại học, đồng thời mở rộng các khái niệm tích phântrên các miền khác nhau với những cách hiểu khác nhau Bài toán tính tíchphân gắn liền với nhiều ứng dụng trong thực tiễn, vì thế nó gần gũi và được

sử dụng khá phổ biến trong công việc đo đạc và tính toán

Trong những năm trở lại đây, việc giảng dạy những khái niệm toán họcđược đòi hỏi gắn liền với các mô hình thực tiễn nhiều hơn Học sinh khôngchỉ biết các dạng toán và cách giải nó mà cần hiểu được khái niệm toán học

đó có ý nghĩa gì, mối liên hệ của khái niệm đó với các khái niệm toán họcliên quan và cuối cùng là thấy được những ứng dụng của nó trong thực tiễncông việc, cuộc sống hàng ngày Trong chương trình phổ thông, khái niệmtích phân được giới thiệu sơ lược, chủ yếu nhằm mục đích cho học sinh nắmbắt được phương pháp tính tích phân Với những hạn chế về kiến thức chuẩn

bị, cách xây dựng lý thuyết tích phân xác định ở chương trình phổ thông dấnđến cách tính hầu hết dựa vào việc tìm nguyên hàm Hơn nữa, các vấn đề lýthuyết không được chứng minh chi tiết mà công nhận để vận dụng Điều nàylàm mờ nhạt khái niệm tích phân xác định và dẫn đến việc ít học sinh hiểuđược đầy đủ khái niệm này, không thấy rõ liên hệ với các khái niệm độ dài,diện tích, thể tích,

Với mục đích tìm hiểu rõ hơn khái niệm tích phân xác định, phương pháptính tích phân xác định bằng định nghĩa và các vấn đền liên quan, chúng tôilựa chọn đề tài luận văn thạc sĩ là "Bài toán tính tích phân xác định bằngđịnh nghĩa và một số vấn đề liên quan"

2 Mục đích nghiên cứu

Với mong muốn cung cấp cho học sinh, đồng nghiệp có cái nhìn tổng quáthơn về việc tính tính phân xác định bằng định nghĩa và một số vấn đề liênquan.

3 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán tính tích phân xác định bằng định nghĩa và một số ứng dụng củatích phân xác định

4 Phạm vi nghiên cứu

Những nội dung về lý thuyết tích phân trong chương trình THPT Ngoài

ra, chúng tôi cũng tham khảo thêm một số kiến thức tích phân trong chươngtrình đại học

5 Phương pháp nghiên cứu

• Tham khảo các tài liệu về tính tích phân xác định bằng định nghĩa vàcác vấn đề liên quan đến tích phân xác định trên tập số thực

• Xin ý kiến, trao đổi và thảo luận với giáo viên hướng dẫn

6 Tổng quan và cấu trúc luận văn

Đề tài nhằm mang lại cách nhìn tổng quan hơn về tính tích phân xác địnhbằng định nghĩa và một số vấn đề liên quan Nó giúp các em học sinh THPT

có thêm nhãn quan khi học và giải những bài toán về tích phân xác định vàứng dụng Nó là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh trongviệc nâng cao chất lượng dạy và học tại Trường THPT

Nội dung luận văn được trình bày gồm hai chương Ngoài ra luận văn còn

có phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo

• Chương 1: Khái niệm và tính chất cơ bản về tích phân xác định

• Chương 2: Một số dạng toán liên quan đến bài toán tính tích phân xácđịnh bằng định nghĩa

CHƯƠNG1 KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về tíchphân xác định, bao gồm định nghĩa, tính chất, các lớp hàm khả tích,công thức Newton-Leibnitz và một số phương pháp tính tích phân xácđịnh, đó cũng là những kiến thức cần cho chương 2 Các tài liệu thamkhảo được sử dụng trong chương này bao gồm [1, 2, 6, 7, 9]

1.1 Khái niệm tích phân xác định

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f là một hàm số xác định trên đoạn [a, b](a, b ∈ R, a < b) Chia đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ bởi các điểm chia

Ta kí hiệu ∆xi là đoạn [xi−1, xi] và cả độ dài đoạn [xi−1, xi] Như vậy

ta có ∆x1 + ∆x2 + + ∆xn = b − a Độ dài của đoạn lớn nhất trongcác đoạn ∆x1, ∆x2, , ∆xn gọi là đường kính của phép phân hoạch Π,

Định nghĩa 1.1.2 Trên mỗi đoạn ∆xi = [xi−1, xi] ta lấy một điểmbất kì ξi ∈ [xi−1, xi], i = 1, n Khi đó, ta lập tổng

σn = σ(Π; ξ1, ξ2, , ξn) = f (ξ1)∆x1 + f (ξ2)∆x2 + + f (ξn)∆xn

gọi là tổng tích phân của hàm số f ứng với phép phân hoạch Π của đoạn[a, b] và với cách chọn các điểm ξ1, ξ2, , ξn trên các đoạn ∆x1, ∆x2, , ∆xn.Định nghĩa 1.1.3 Giả sử f là một hàm số bị chặn trên đoạn [a, b].Đặt

Rõ ràng với một phép phân hoạch Π của đoạn [a, b] chỉ có một tổngDarboux dưới và một tổng Darboux trên của hàm số f nhưng có vô sốtổng tích phân của f (Vì với mỗi cách chọn điểm ξi ∈ ∆xi ta được mộttổng tích phân của f )

Đặt m = inf

x∈[a,b]f (x), M = sup

x∈[a,b]

f (x), khi đó ta cóm(b − a) ≤ s(Π) ≤ σ(Π; ξ1, , ξn) ≤ S(Π) ≤ M (b − a),

với mọi cách chọn các điểm ξi ∈ ∆xi

Định lí 1.1.4 Giả sử f là một hàm số bị chặn trên [a, b] và Π là mộtphép phân hoạch đoạn này Khi đó

a) Tổng Darboux trên S(Π) của hàm số f ứng với phép phân hoạch Π

là cận trên đúng của tập hợp các tổng tích phân của f ứng với Π

f (ξi)∆xi >

nXi=1

(Mi − 

b − a)∆xi

=

nXi=1

Mi∆xi − 

b − a

nXi=1

f (ξi)∆xi <

nXi=1

(mi + 

b − a)∆xi

=

nXi=1

mi∆xi + 

b − a

nXi=1

∆xi = s(Π) + 

Vậy s(Π) = inf

ξi∈∆xiσ(Π; ξ1, , ξn)

Nhận xét 1.1.5 Giả sử Π và Π0 là hai phép phân hoạch đoạn [a, b]

Ta nói rằng Π0 mịn hơn Π nếu Π ⊂ Π0, tức là mỗi điểm chia của Π làmột điểm chia của Π0

Định lí 1.1.6 Giả sử f là một hàm số bị chặn trên đoạn [a, b], Π và

Π0 là hai phép phân hoạch đoạn [a, b] Nếu Π0 mịn hơn Π thì

Mi(xi − xi−1) = S(Π)

Định nghĩa 1.1.7 Giả sử {Πn} là một dãy phép phân hoạch đoạn [a, b]

Πn : a = x0 < x1 < < xP = b

{Πn} gọi là một dãy chuẩn tắc nếu lim

f (ξi)∆xi, n = 1, 2, 3,

Định nghĩa 1.1.8 Nếu tồn tại một số I ∈ R sao cho với một dãychuẩn tắc bất kỳ {Πn} những phép phân hoạch đoạn [a, b] và với mộtcách chọn bất kì các điểm ξi ∈ ∆xi, i = 1, 2, , Pn, ta đều có lim

n→∞σn = Ithì I được gọi là tích phân xác đinh của hàm số f trên đoạn [a, b], kíhiệu là

bZa

f (x)dx bằng định nghĩa như sau:

Bước 1 Xét tính khả tích của hàm số f (x) trên đoạn [a, b]

Bước 2 Chọn một phân hoạch Π của đoạn [a, b]

f (ξi)∆xi

Bước 4 Theo định nghĩa tích phân xác định, ta có

bZa

f (x)dx = lim

n→∞σn = lim

d(Π)→0

nXi=0

f (ξi)∆xi

1.2 Điều kiện khả tích

Định lí 1.2.1 Nếu hàm số f : [a, b] → R khả tích trên đoạn [a, b] thì

nó bị chặn trên đoạn này

Chứng minh Giả sử f khả tích nhưng không bị chặn trên đoạn [a, b].Gọi {Πn} là một dãy chuẩn tắc những phép phân hoạch đoạn [a, b]

Πn : a = x0 < x1 < x2 < < xPn = b

Khi đó, tồn tại ít nhất một đoạn ∆xi0 = [xi0−1, xi0] trên đó f không

bị chặn Chọn ξi0 ∈ [xi0−1, xi0] sao cho |f (ξi0)| lớn tùy ý Lấy các điểmbất kì ξi ∈ ∆xi với i 6= i0 và chọn điểm ξi0 ∈ ∆xi0 sao cho

|σn| = |σ(Πn; ξ1, ξ2, , ξPn)| > n

Dãy {σn} không hội tụ Do đó f không khả tích trên [a, b] Điều nàytrái với giả thiết

Vậy hàm số f bị chặn trên đoạn [a, b]

Định lí 1.2.2 Giả sử f là một hàm số bị chặn trên đoạn [a, b], {Πn}

là một dãy chuẩn tắc bất kì những phép phân hoạch đoạn [a, b]; S(Πn)

và s(Πn) là các tổng Darboux của f ứng với phép phân hoạch Πn Khi

đó, các dãy {S(Πn)} và {s(Πn)} đều hội tụ và giới hạn của chúng khôngphụ thuộc vào dãy {Πn}

Chứng minh Ta chứng minh rằng nếu {Πn} và {Π0n} là hai dãy chuẩntắc bất kì những phép phân hoạch đoạn [a, b] thì

limn→∞S(Π0n) = lim

kì của đoạn [a, b]

Π : a = t0 < t1 < t2 < < tl = b

thì

limn→∞sup S(Πn) ≤ S(Π)với S(Π) là tổng Darboux trên của hàm số f (x) ứng với phép phân hoạchΠ

S(Π) =

lXj=1

Kj∆tj =

lXj=1

Mi∆xi; s(Πn) =

P n

Xi=1

X

2(Mi− mi)∆xi ≤ l(M − m)d(Πn)

Từ các bất đẳng thức trên suy ra

S(Πn) ≤ S(Π) + l(M − m)d(Πn), ∀n

Khi n → ∞ thì d(Πn) → 0 Do đó

limn→∞sup S(Πn) ≤ S(Π)

Bây giờ giả sử {Π0n} là một dãy chuẩn tắc những phép phân hoạchđoạn [a, b] Ta có

limn→∞sup S(Πn) ≤ S(Π0k), ∀k

Do đó

limn→∞sup S(Πn) ≤ lim

k→∞inf S(Π0k)

Thay đổi vai trò của {Πn} và {Π0n} ta có

limk→∞sup S(Π0k) ≤ lim

n→∞s(Πn)

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử f là một hàm số bị chặn trên đoạn [a, b].Gọi {Πn} là một dãy chuẩn tắc bất kì những phép phân hoạch đoạn[a, b], {s(Πn)} và {S(Πn)} là dãy các tổng Darboux dưới và dãy các tổngDarboux trên ứng với dãy {Πn} Khi đó

bZa

f (x)dx = lim

n→∞s(Πn),

f (x)dx =

bZa

bZa

f (x)dx =

bZa

f (x)dx

Vậy f khả tích trên đoạn [a, b] và

bZa

f (x)dx = lim

n→∞σn =

bZa

f (x)dx =

bZa

f (x)dx

Đảo lại, giả sử

bZa

f (x)dx <

bZa

n→∞s(Πn) =

bZa

f (x)dx

Nếu chọn các điểm ξi0 ∈ ∆xi sao cho

f (x)dx Vậy tích phân

bZa

f (x)dx không

tồn tại Từ đó suy ra

bZa

f (x)dx =

bZa

f (x)dx

Định lí 1.2.5 Hàm số f bị chặn trên [a, b] là khả tích trên đoạn nàykhi và chỉ khi với một số dương bất kì , tồn tại một phép phân hoạch Πđoạn [a, b] sao cho

S(Π) − s(Π) < 

Chứng minh Giả sử f khả tích trên đoạn [a, b] và {Πn} là một dãy chuẩntắc những phép phân hoạch đoạn [a, b] Khi đó

limn→∞[S(Πn) − s(Πn)] = 0

f (x)dx <

bZa

f (x)dx ≤ S(Π)

suy ra

0 ≤

bZa

f (x)dx −

bZa

f (x)dx ≤ S(Π) − s(Π) < ,với mọi  > 0 Do đó hai tích phân trên và dưới của hàm số f bằngnhau Theo Định lí 1.2.4 suy ra f khả tích trên đoạn [a, b]

f (x)dx =

cZa

f (x)dx +

bZc

f (x)dx

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh f khả tích trên đoạn [a, b] Thậtvậy, cho  > 0 bất kì Vì f khả tích trên đoạn [a, c] nên tồn tại một phépphân hoạch Π1 của đoạn [a, c] sao cho S(Π1) − s(Π1) < 

2 Tương tự,tồn tại một phép phân hoạch Π2 đoạn [c, b] sao cho S(Π2) − s(Π2) < 

Bây giờ ta sẽ chứng minh đẳng thức tích phân Gọi {Π1n} và {Π2n}lần lượt là dãy chuẩn tắc những phép phân hoạch đoạn [a, c] và [c, b].Khi đó {Πn} = {Π1n ∪ Π2n} là một dãy chuẩn tắc những phép phân

hoạch của đoạn [a, b] và S(Πn) = S(Π1n) + S(Π2n) Do đó

bZ

f (x)dx +

bZc

f (x)dx

Định lí 1.3.3 a) Nếu f và g là hai hàm số khả tích trên đoạn [a, b] thìhàm số f + g cũng khả tích trên [a, b] và

bZa[f (x) + g(x)]dx =

bZa

f (x)dx +

bZag(x)dx

b) Nếu f khả tích trên đoạn [a, b] và α ∈ R là một hằng số thì

bZa

αf (x)dx = α

bZa

σn(f + g) =

PnXi=1[f (ξi) + g(ξi)]∆xi

=

P n

Xi=1

f (ξi)∆xi +

P n

Xi=1g(ξi)∆xi = σn(f ) + σn(g)

Do đó

limn→∞σn(f + g) = lim

n→∞σn(f ) + lim

n→∞σn(g)

=

bZa

f (x)dx +

bZag(x)dx

Vậy f + g khả tích trên đoạn [a, b] và

bZa[f (x) + g(x)]dx =

bZa

f (x)dx +

bZag(x)dx

b) Chứng minh tương tự ý a)

Định lí 1.3.4 Nếu f và g là hai hàm số khả tích trên đoạn [a, b] và

f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [a, b] thì

bZa

f (x)dx ≤

bZa

Đặc biệt, nếu f khả tích trên [a, b] và f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, b] thì

bZa

f (ξi)∆xi ≥ 0

Do đó lim

n→∞σn ≥ 0

Từ định nghĩa tích phân xác định suy ra

bZa

f (x)dx ≥ 0

Ta chứng minh bất đẳng thức (1.1): Nếu f và g khả tích trên đoạn[a, b] và f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [a, b] thì hàm số g − f khả tích trên[a, b] và g(x) − f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, b] Do đó

bZ

a

[g(x) − f (x)]dx ≥ 0 ⇔

bZag(x)dx −

bZa

f (x)dx ≥ 0

⇔

bZag(x)dx ≥

bZa

f (x)dx

Định lí 1.3.5 Nếu hàm số f khả tích trên [a, b] thì hàm số |f | cũngkhả tích trên [a, b] và

bZa

f (x)dx