i Nhân tử hóa factor gx thành các nhân tử tuyến tính linear factor.. ii Sử dụng phương pháp Heaviside để khai triển phân thức Hx thành các phân thức hữu tỉ đơn giản partial fractions.. i
Trang 1Bài tập chương 3 - phần 2
Ngày 15 tháng 3 năm 2022
1 Bài tập 1
(i) Hãy chứng minh dựa trên phương pháp truy hồi
ˆ
du
(a2± u2)n = 1
2a2(n − 1)
(a2± u2)n−1+ (2n − 3)
ˆ
du (a2± u2)n−1
, n ̸= 1
(ii) Áp dụng để tính tích phân:
ˆ
x + 1 (x2+ x + 1)2dx
Lời giải:
(i)
u = 1 (x2+ a2)n
dv = dv
⇒
du = − 2nx
(x2+ a2)n+1
v = x
Ta có
In= x (x2+ a2)n + 2n
ˆ
x2
(x2+ a2)n+1dx
Ta tính
ˆ
x2
(x2+ a2)n+1dx =
ˆ (x2+ a2) − a2
(x2+ a2)n+1 dx =
ˆ dx (x2+ a2)n − a2
ˆ
dx (x2+ a2)n+1
= I − a2I
Trang 2In= x (x+a2)n + 2n(In− a2In+1)
(x2+ a2)n + 2n(In− 2na2In+1)
Vậy
In+1= x
2na2(x2+ a2)n +2n − 1
2na2 In
Với
I1=
ˆ dx
x2+ a2 = 1
aarctan
x
a ⇒ I2, I3, , In
Vậy
ˆ
du
(a2± u2)n = 1
2a2(n − 1)
(a2± u2)n+1+ (2n − 3)
ˆ
du (a2± u2)n−1
(i)
ˆ
x + 1
(x2+ x + 1)2dx = 1
2
ˆ 2x + 1 (x2+ x + 1)2dx +1
2
ˆ
1
"
(x +1
2)
2+ (
√ 3
2 )
2)
#2dx
= −1 2
1
x2+ x + 1+
1 2
ˆ
1
"
(x +1
2)
2+ (
√ 3
2 )
2)
#2dx
= −1 2
1
x2+ x + 1+
1 3
x + 1 2
(x +1
2)
2+3 4
2 +1 2
ˆ
dx (x +1
2)
2+3 4
= −1 2
1
x2+ x + 1+
1 3
x + 1 2
(x +1
2)
2+3 4
2 +
√ 3
3 arctan
2x + 1
√
3 + C
Trang 32 Bài tập 2
Cho phân thức hữu tỉ sau
h(x) = f (x)
g(x) =
4x3− 18x2+ 22x − 6
x4− 6x3+ 11x2− 6x.
(i) Nhân tử hóa (factor) g(x) thành các nhân tử tuyến tính (linear factor)
(ii) Sử dụng phương pháp Heaviside để khai triển phân thức H(x) thành các
phân thức hữu tỉ đơn giản (partial fractions)
(iii) Tính tích phân I =
ˆ h(x) dx
Lời giải:
(i)
g(x) = x4− 6x3+ 11x2− 6x = x(x − 1)(x − 2)(x − 3)
(ii)
h(x) = f (x)
g(x) =
4x3− 18x2+ 22x − 6
x4− 6x3+ 11x2− 6x =
4x3− 18x2+ 22x − 6 x(x − 1)(x − 2)(x − 3) =
1
x+
1
x − 1+
1
x − 2+
1
x − 3
(iii)
ˆ
h(x) =
ˆ 1
x+
1
x − 1+
1
x − 2+
1
x − 3 = ln |x| + ln |x − 1| + ln |x − 2| + ln |x − 3| + c
3 Bài tập 3
Cho phân thức hữu tỉ sau:
H(x) = x
6+ 5x5+ 12x4+ 18x3+ 19x2+ 12x + 4
x6+ 4x5+ 8x4+ 10x3+ 8x2+ 4x + 1 .
(i) Chia đa thức tử cho đa thức mẫu
Trang 4H(x) = x
6+ 5x5+ 12x4+ 18x3+ 19x2+ 12x + 4
x6+ 4x5+ 8x4+ 10x3+ 8x2+ 4x + 1 = 1 +
x5+ 4x4+ 8x3+ 11x2+ 8x + 3
x6+ 4x5+ 8x4+ 10x3+ 8x2+ 4x + 1
(ii)
x6+ 4x5+ 8x4+ 10x3+ 8x2+ 4x + 1 = (x + 1)2(x2+ x + 1)2
(iii)
ˆ
H(x) =
ˆ
x5+ 4x4+ 8x3+ 11x2+ 8x + 3
x6+ 4x5+ 8x4+ 10x3+ 8x2+ 4x + 1 =
ˆ
x5+ 4x4+ 8x3+ 11x2+ 8x + 3 (x + 1)2(x2+ x + 1)2
=
ˆ
1 + A
x + 1 +
B (x + 1)2 + Cx + D
x2+ x + 1 +
Ex + F (x2+ x + 1)2
⇒
A = 1
B = 1
C = 0
D = 0
E = 1
F = 1
⇒
ˆ
1 + A
x + 1 +
B (x + 1)2 + Cx + D
x2+ x + 1+
Ex + F (x2+ x + 1)2
=
ˆ
1 + 1
x + 1 +
1 (x + 1)2 + x + 1
(x2+ x + 1)2
= x + ln |x + 1| − 1
x + 1+
1 2
ˆ d(x2+ x + 1) (x2+ x + 1)2 +1
2
ˆ d(x +1
2)
(x +1
2)
2+3 4
2
= x + ln |x + 1| − 1
x + 1− 1
x2+ x + 1 +
2 3
x +1 2
x2+ x + 1 +
2√ 3
3 arctan
2x + 1
√ 3
+ c
Trang 54 Bài tập 4
(i) Bằng cách đổi biến x = a sin t, hãy chứng minh
ˆ dx
√
a2− x2 = arcsinx
a+ C.
(ii) Áp dụng kết quả trên và sử dụng tích phân từng phần để chứng minh
ˆ p
a2− x2dx = 1
2
xpa2− x2+ a2arcsinx
a
+ C
Lời giải:
(i)
x = a sin t ⇒ dx = a cos tdt, t = arcsinx
a
Sử dụng hệ thức sin2t + cos2t = 1
⇒
ˆ
dx
√
a2− x2 =
ˆ
a cos tdt p
a2− a2sin2t
=
ˆ
a cos tdt
a cos t = t + c = arcsin
x
a+ c
5 Bài tập 5
Sử dụng phép thế Euler thứ nhất (Euler’s first substitution)
1 Từ phép đổi biến:√
ax2+ bx + c = ±x√
a + t, hãy dẫn ra x = c − t
2
±2t√a − b.
2 Với cách đổi biến trên, hãy tính các tích phân sau
(i)
ˆ
dx
√
x2+ c. (ii)
ˆ
dx
x√
x2+ 4x − 4. Lời giải:
1
Trang 6dx
√
x2+ c p
x2+ c = x + t ⇒ x2+ c = x2+ 2xt + t2⇒ x = c − t
2
2t
⇒ dx = −1
2dt
⇒
ˆ dx
√
x2+ c =
ˆ
−1 2
dt r (c − t
2
2t )
2+ c
= −1
2ln
c − t2 2t
√
c +
v
uc + (c − t
2
2t )
2
c
= −1
2ln
x
√
c+
r
c + x2 c
6 Bài tập 6
Sử dụng phép thế Euler thứ hai (Euler’s second substitution)
1 Từ phép đổi biến:√
ax2+ bx + c = xt ±√
c, hãy dẫn ra x = ±2t√c − b
a − t2
2 Với cách đổi biến trên, hãy tính các tích phân sau
(i)
ˆ
dx
x√
−x2+ x + 2.
(ii)
ˆ √
c2− x2
x dx.
Lời giải:
1
p
ax2+ bx + c = xt ±√
c ⇒ ax2+ bx + c = x2t2± 2xt√c + c ⇒ (a − t2)x2+ x(b ± 2t√
c) = 0
⇒ x = ±2t
√
c − b
a − t2
Trang 72 (i)
p
−x2+ x + 2 = xt −√
2 ⇒ −x2+ x + 2 = x2t2− 2√2xt + 2 ⇒ x = 1 + 2t
√ 2
1 + t2
⇒ dx = 2
√
2 − 2√ 2t2+ 2t (1 + t2)2 dt p
−x2+ x + 2 = xt −√
2 = t
2√
2 + t −√
2
t2+ 1
⇒ xp−x2+ x + 2 = x(xt −√
2) = (1 + 2t
√ 2)(t2√
2 + t −√
2) (t2+ 1)2
⇒
ˆ
dx
x√
−x2+ x + 2 =
ˆ
−2
1 + 2t√
2dt =
−1
√ 2
ˆ d(1 + 2t√
2)
1 + 2t√
2
= −√2
2 ln |1 + 2t
√ 2| + c
= −√2
2 ln
1 + 2√ 2
√
−x2+ x + 2 +√
2 x
! + c
(ii)
ˆ √
c2− x2
x dx p
c2− x2= xt − c ⇒ x = 2tc
1 + t2 ⇒ x2= 4t
2c2 (1 + t2)2
⇒ dx = −2t
2c + 2c (1 + t2)2 dt p
c2− x2= xt − c = 2t
2c
1 + t2 − c = c(t
2− 1)
t2+ 1
⇒ xt − c
x =
t2− 1 2t
⇒
ˆ √
c2− x2
x dx = c
ˆ (t2− 1)2
t(t2+ 1)2 = c
ˆ
t4− 2t2+ 1 t(t2+ 1)2 = c(
ˆ 1
tdt −
ˆ 2d(t2+ 1) (t2+ 1)2
= c(ln |t| + 2
t2+ 1 + c) = c ln
√
−x2+ c2+ c c
√
−x2+ c2+ c x
!2
+ 1
Trang 8Từ phép đổi biến:√
ax2+ bx + c = (x − α)t, hãy dẫn ra x = aβ − αt
2
a − t2
2 Với cách đổi biến trên, hãy tính các tích phân sau
(i)
ˆ
dx
√
x2+ 3x − 4dx.
(ii)
ˆ
x2
√
−x2+ 3x − 2dx.
Lời giải:
1
p
ax2+ bx + c = (x − α)t ⇒ ax2+ bx + c = (x − α)2t2
⇔ (x − α)(ax − aβ) = (x − α)2t2
⇔ (ax − aβ) = (x − α)t2
⇔ x = aβ − αt
2
a − t2
2 (i)
ˆ
1
√
x2+ 3x − 4dx p
x2+ 3x − 4 = (x − 1)t ⇒ x2+ 3x − 4 = (x − 1)2t2
⇒ (x − 1)(x + 4) = (x − 1)2t2⇒ x = −4 − t
2
1 − t2
⇒ dx = −10t
(1 − t2)2dt
⇒
ˆ
1
√
x2+ 3x − 4dx =
ˆ 2
1 − t2dt = ln |x + 1| + ln |x − 1| + c
(ii)
ˆ
x2
√
−x2+ 3x − 2dx
p
−x2+ 3x − 2 = (x − 1)t ⇒ x = −t2+ 2
1 − t2 ⇒ dx = 2t
(1 − t2)2dt
⇒
ˆ
x2
√
−x2+ 3x − 2dx = 2
ˆ (−t2+ 2)2
(1 − t2)3 dt = 2
ˆ 1
1 − t2 − 2
ˆ 2t − 3 (1 − t2)3
= ln |x + 1| + ln |x − 1|−
Trang 98 Bài tập 8
Không sử dụng phép thế Euler, hãy tính các tính phân sau:
(i)
ˆ
dx
√
x2+ x + 1.
(ii)
ˆ
x + 1
√
x2+ x + 1dx.
(iii)
ˆ
x2+ 1
√
x2+ x + 1dx.
Lời giải:
(i)
ˆ
dx
√
x2+ x + 1 =
ˆ
dx r (x+1
2)
2+3 4
= ln |x + 1
2+
r (x + 1
2)
2+3
4 + c|
(ii)
ˆ
x + 1
√
x2+ x + 1dx =
1 2
ˆ 2x + 1
√
x2+ x + 1 +
1 2
ˆ
dx
√
x2+ x + 1
=1 2
ˆ d(x2+ x + 1)
√
x2+ x + 1 +
1 2
ˆ d(x +1
2) r
(x + 1
2)
2+3 4
=px2+ x + 1 +1
2ln |x +
1 2
r (x + 1
2)
2+3
4| + c
... class="text_page_counter">Trang 98 Bài tập 8
Không sử dụng phép Euler, tính tính phân sau:
(i)
ˆ
dx
√
x2+... x = ±2t√c − b
a − t2
2 Với cách đổi biến trên, tính tích phân sau
(i)
ˆ
dx
x√
−x2+ x + 2.... αt
2
a − t2
2 Với cách đổi biến trên, tính tích phân sau
(i)
ˆ
dx
√
x2+ 3x − 4dx.