010 đề hsg toán 8 cưm gar 22 23

a Tính tổng b Gọi AIlà phân giác của tam giác ABC.Gọi IM IN, thứ tự là phân giác của góc AICvà.. AIBChứng minh rằng AN BI CM... Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC ABI ACI,

PHÒNG GD&ĐT CƯM’ GAR

TRƯỜNG THCS

NGUYỄN TẤT THÀNH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 _ NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian : 150 phút Bài 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức

 

 

:

A

x x

 

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của xđể A  1

Bài 2 (6,0 điểm)

a) Cho 4a2b2  5abvà 2a b 0 Tính 4 2 2

ab P





c) Xác định avà b để đa thức f x x4 9x321x2ax b chia hết cho đa thức x2 x 2

Bài 3 (5,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A có góc ABCbằng 60, phân giác BD.Gọi

, ,

M N Itheo thứ tự là trung điểm của BD BC CD, ,

a) Tứ giác AMNIlà hình gì ? Chứng minh ?

b) Cho AB 4 cm Tính các cạnh của tứ giác AMNI

Bài 4 (5,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn, các đường cao AA BB CC H', ', ', là trực tâm

a) Tính tổng

b) Gọi AIlà phân giác của tam giác ABC.Gọi IM IN, thứ tự là phân giác của góc AICvà

.

AIBChứng minh rằng AN BI CM BN IC AM .

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức

 

 

:

A

x x

 

c) Rút gọn biểu thức A

ĐKXĐ: x0;x1 Rút gọn được

2 1 1

x A x







d) Tìm giá trị của xđể A  1

Để

A

Do đó x2 x 2và x 1phải cùng dấu mà

2

x   x x     x   x 

Kết hợp với điều kiện xác định ta có x 1,x0,x1thì A  1

Bài 2 (6,0 điểm)

d) Cho 4a2b2  5abvà 2a b 0 Tính 4 2 2

ab P





   

4a b 5ab 4a b a b 0 b a

b a







Mà 2a b   0 4a 2b b  a b

2

2 2

1

a P

a a

 Vậy 4a2 b2  5abvà 2a b  0thì

1 3

P 

ĐKXĐ: x1,x2,x3,x4,x5

               

   

   

8( 5) 8( 1) 1 5

3( )

9( )

x tm





      

 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3; 9 

f) Xác định avà b để đa thức f x x4 9x321x2ax b chia hết cho đa thức

x  x

Gọi thương của phép chia đa thức f x cho đa thức x2 x 2là P x 

Để đa thức f x chia hết cho đa thức x2 x 2ta có :

   

x  x  x ax b  x  x P x

đúng với mọi x Hay x4 9x321x2ax b x 2 x1    P x 1 đúng với mọi x

Vì đẳng thức (1) đúng với mọi x

Với x 2,ta có : 24 9.2321.222a b  0 2a b 28 2 

Với x  1  14 9 1 321 1 2 a b  0 b a  31 3 

Thay (3) vào (2) ta được : 2a a  3128 a1,b 1 3130

Vậy với

1 30

a

b









 thì f x chia hết cho đa thức x2  x 2

Bài 3 (5,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A có góc ABCbằng 60, phân giác BD.

Gọi M N I, , theo thứ tự là trung điểm của BD BC CD, ,

M

D

N B

c) Tứ giác AMNIlà hình gì ? Chứng minh ?

Chứng minh tứ giác AMNIlà hình thang

Chứng minh được AN MI,từ đó suy ra tứ giác AMNIlà hình thang cân

d) Cho AB 4cm.Tính các cạnh của tứ giác AMNI

Tính được

AD BD AD cm

,

AM  BD cm

Tính được

NI AM  cm DC BC  cm MN DC cm

Tính được

8 3 3

AI  cm

Bài 4 (5,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn, các đường cao AA BB CC H', ', ', là trực tâm

M N

C' B'

A'

H

I

A

c) Tính tổng

Ta có :

1

2

'.

2

HBC

ABC

HA BC

S  AA BC AA

Tương tự:

;

HAC HAB

S

S CC S BB

1

HA HB HC

AA BB CC S S S 

d) Gọi AIlà phân giác của tam giác ABC.Gọi IM IN, thứ tự là phân giác của góc

AICvà AIB.Chứng minh rằng AN BI CM BN IC AM .

Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC ABI ACI, ,

BI AN CM AB AI IC AB IC

IC NB MA AC BI AC AC BI

BI AN CM BN IC AM