184 đề hsg toán 8 hoài nhơn 22 23

b Tính độ dài các cạnh của tam giác, biết rằng số đo các cạnh của tam giác là ba số tự nhiên liên tiếp ĐÁP ÁN Bài 1.

UBND THỊ XÃ HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _ĐỀ THI HSG CẤP THỊ XÃ

MÔN TOÁN _NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1 (4,5 điểm)

a) Cho x y z, , là các số thực khác 0 thỏa

1 1 1

2

x yz  và xyz x y z   Tính giá trị

biểu thức 2 2 2

1 1 1

A

b) Cho số nguyên tố có ba chữ số abc, chứng minh rằng b2 4ackhông thể là số chính phương

c) Tìm cặp số nguyên dương x y; thỏa 3x24y2 6x13

Bài 2 (4,5 điểm)

a) Cho a b c d, , , là các số nguyên thỏa a3d3 11b3 5c3

Chứng minh rằng :

M    a b c dchia hết cho 6

b) Tìm n N để B n 3 n2 n 1là số nguyên tố

c) Cho đa thức f x  ax2bx c với 2a b 0 Chứng minh rằng f 3   f 5 0

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c  6.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức :

A

b) Giải phương trình : 2 2

3

x  x x  x 

Bài 4 (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD,đường thẳng qua A song song với BCcắt BD ở E, đường thẳng qua B song song với ADcắt ACở F

a) Chứng minh EF CD/ /

b) Giả sử AB CD/ / ,chứng minh rằng AB2 CD EF.

Bài 5 (3,0 điểm) Cho ABCcó  B 2 ; C Đặt AB c BC a CA b ,  , 

a) Chứng minh rằng b2 c c a  

b) Tính độ dài các cạnh của tam giác, biết rằng số đo các cạnh của tam giác là ba số

tự nhiên liên tiếp

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,5 điểm)

d) Cho x y z, , là các số thực khác 0 thỏa

1 1 1

2

x yz  và xyz x y z   Tính giá trị

1 1 1

A

  

Với x y z , , 0 Ta có :

2

               

A

e) Cho số nguyên tố có ba chữ số abc, chứng minh rằng b2 4ackhông thể là số chính phương

Giả sử b2 4aclà số chính phương, suy ra tồn tại số tự nhiên nsao cho

b  ac n  ac b  n Ta có :

2

2

4 4 100 10 400 40 4

Hay 4 a abc20a b n   20a b n  

Vì 4ac b 2 n2nên n b , do đó :

20a b n   20a b n   20a 2b 100a 10  c abc

Mặt khác abclà số nguyên tố mà 4 a abc20a b n   20a b n  nên một trong hai số

20a b n  , 20a b n  phải chia hết cho abc Điều này vô lý vì cả hai số đều nhỏ hơn abc Vậy b2 4ackhông thể là số chính phương

f) Tìm cặp số nguyên dương x y; thỏa 3x24y2 6x13

3x 4y 6x13 3x  6x 3 4y 16 3 x1  2y 16

0 2y 16 2y 0;1; 4;9;16 2y 0;2;4

1;2

y

  (do y nguyên dương)

*Với    

y  x    x   x

Vì x y, nguyên dương nên

3; 1 1; 2

x y



  



Bài 2 (4,5 điểm)

d) Cho a b c d, , , là các số nguyên thỏa 3 3  3 3

11 5

a d  b  c

Chứng minh rằng :

M    a b c dchia hết cho 6

Ta có a3d3 11b3 5c3 a3b3c3d3 11b3 54c3

3

3

12 6

54 6

b

c











Lại có n3 n(n1) (n n1)

Lập luận chứng minh được n1 n n1 6  n3 n6 n Z

6

6 2

a b c d a b c d

         

       



 Kết hợp (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

e) Tìm n N để B n 3 n2 n 1là số nguyên tố

Phân tích được B n 3 n2 n 1n n2 1  n 1  n1 n21

Lập luận có được

1 1

n ktm n

n



   



  

  

 Vậy n 2thì B =5 là số nguyên tố

f) Cho đa thức f x ax2bx c với 2a b 0 Chứng minh rằng f 3   f 5 0

Xét đa thức f x ax2bx c ,ta có :

     

 

2 2

2

5 5 5 25 5

        

        

Bài 3 (4,0 điểm)

c) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c  6.Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức :

A

Chứng minh được bất đẳng thức a2b22ab Dấu bằng xảy ra khi a b

Ta có

a b   a b   ab  Dấu bằng xảy ra khi a b

Chứng minh tương tự :

3

b

b c   Dấu bằng xảy ra khi b c ;

3

c

a b   Dấu bằng xảy ra khi c a

6 3

 

Dấu bằng xảy ra khi

2 6

a b c

a b c

a b c

 



   



  

 Vậy Min A 3 a b c  2

d) Giải phương trình : 2 2

3

x  x x  x 

Điều kiện x R vì x2  x 1 0và x2 x 1 0với mọi x R

Với x   0 0 3(vô lý)

Với x 0, ta có

Đặt

1

.

x

 

Điều kiện y 1 Khi đó ta có phương trình

3

y  y 

3 y 1 2 y 1 3 y 1 y 1 3y 3 2y 2 3y 3 3y 5y 2 0

   

1

2 3 1 0

( )

x

x



     



    



Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Bài 4 (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD,đường thẳng qua A song song với BCcắt BD ở

E, đường thẳng qua B song song với ADcắt ACở F

O

F

A

D

C

B

E

c) Chứng minh EF CD/ /

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Áp dụng định lý Talet với OBCcó AE BC/ / nên  1

OE OA

OB OC

Tương tự với OADcó BF/ /ADnên  2

OB OF

ODOA

Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có :

OE OF

OD OC Theo định lý Talet đảo ta có EF CD/ /

d) Giả sử AB CD/ / ,chứng minh rằng AB2 CD EF.

Áp dụng hệ quả Talet với ODCcó AB CD/ / nên  3

AB OA

DC OC

EF OE

AB CD AB EF

AB OB

Kết hợp      1 , 3 , 4 ta được:

AB EF

AB CD EF

CD AB 

Bài 5 (3,0 điểm) Cho ABCcó  B 2 ; C Đặt AB c BC a CA b ,  , 

α

2α

B

A

c) Chứng minh rằng b2 c c a  

Trên tia đối của tia BA lấy D sao cho BD BC  BDCcân tại B có ABC2là góc ngoài nên BCDBDC   ACD2

Chứng minh được ACD∽ABC g g( )

AC AD

AC AB AD AB AB BD AB AB BC b c a c

AB AC

d) Tính độ dài các cạnh của tam giác, biết rằng số đo các cạnh của tam giác là

ba số tự nhiên liên tiếp

Theo kết quả câu a, ta có b2 c c a   c2ac b c

Lại có a b c, , là ba số tự nhiên liên tiếp nên b c 1hoặc b c 2

Với    

b c   c c ac c a   c a b ktm (vì ko là 3 cạnh )

b c   c c ac c a   c

Lập luận xác định được a5,b6,c4thỏa mãn điều kiện đề bài